Cálculo Multivariable

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### Derivada para funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ - **Definición:** La derivada de una función $f(x)$ en un punto $a$ es: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ si el límite existe. - **Interpretación geométrica:** Pendiente de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $(a, f(a))$. - **Interpretación física:** Tasa de cambio instantánea de $f$ con respecto a $x$. - **Notaciones:** $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}f(x)$, $D_x f(x)$. ### Derivada Parcial para $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ - **Definición:** Para una función $f(x_1, ..., x_n)$, la derivada parcial con respecto a $x_i$ se calcula manteniendo todas las otras variables constantes: $$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, ..., x_i+h, ..., x_n) - f(x_1, ..., x_n)}{h}$$ - **Interpretación geométrica:** Pendiente de la curva que resulta de la intersección de la superficie $z=f(x,y)$ con un plano paralelo a uno de los ejes coordenados. - **Notaciones:** $\frac{\partial f}{\partial x_i}$, $f_{x_i}$. - **Ejemplo:** Si $f(x,y) = x^2y + \sin(y)$, entonces: - $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ - $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + \cos(y)$ ### Gradiente para $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ - **Definición:** El gradiente de una función escalar $f$ es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de $f$: $$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)$$ - **Propiedades:** - Apunta en la dirección de máximo crecimiento de $f$. - Su magnitud $|\nabla f|$ es la tasa máxima de crecimiento. - Es ortogonal a las curvas (o superficies) de nivel de $f$. - **Notación:** $\nabla f$, $\text{grad } f$. - **Ejemplo:** Si $f(x,y,z) = x^2y + yz^3$, entonces $\nabla f = (2xy, x^2+z^3, 3yz^2)$. ### Derivada Direccional para $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ - **Definición:** La tasa de cambio de $f$ en la dirección de un vector unitario $\vec{u}$ es: $$D_{\vec{u}} f = \nabla f \cdot \vec{u}$$ - **Propósito:** Mide qué tan rápido cambia la función cuando nos movemos en una dirección específica. - **Caso especial:** Si $\vec{u}$ es un vector unitario en la dirección $x_i$, entonces $D_{\vec{u}} f = \frac{\partial f}{\partial x_i}$. ### Matriz Jacobiana para $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ - **Definición:** Para una función vectorial $\vec{f}(\vec{x}) = (f_1(\vec{x}), ..., f_m(\vec{x}))^T$, donde cada $f_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, la matriz Jacobiana $J\vec{f}(\vec{x})$ es una matriz de $m \times n$ cuyas entradas son las derivadas parciales de las funciones componentes: $$J\vec{f}(\vec{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$ - **Propósito:** Generaliza la derivada de una función de una variable para funciones vectoriales. Describe la mejor aproximación lineal de la función cerca de un punto. - **Determinante Jacobiano:** Si $m=n$, el determinante de la matriz Jacobiana $|\det(J\vec{f}(\vec{x}))|$ es importante para el cambio de variables en integrales múltiples. ### Matriz Hessiana para $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ - **Definición:** Para una función escalar $f(\vec{x})$, la matriz Hessiana $H f(\vec{x})$ es una matriz cuadrada de $n \times n$ de segundas derivadas parciales: $$H f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix}$$ - **Teorema de Clairaut (Schwarz):** Si las segundas derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas parciales mixtas son iguales (e.g., $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$), haciendo la matriz Hessiana simétrica. - **Propósito:** Se usa para determinar la concavidad de una función y en la optimización para encontrar máximos, mínimos y puntos de silla.