Cálculo Vectorial

Cheatsheet Content

### Vectores en $\mathbb{R}^n$ - **Definición:** Un vector $\vec{v}$ en $\mathbb{R}^n$ es una lista ordenada de $n$ números reales, $\vec{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)$. - **Magnitud (o Norma):** La longitud de un vector $\vec{v}$ en $\mathbb{R}^n$ se denota por $||\vec{v}||$ y se calcula como: $$||\vec{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}$$ - **Vector Unitario:** Un vector $\hat{u}$ es unitario si $||\hat{u}|| = 1$. Para encontrar el vector unitario en la dirección de $\vec{v}$, se calcula: $$\hat{u} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}$$ - **Suma de Vectores:** Si $\vec{a} = (a_1, ..., a_n)$ y $\vec{b} = (b_1, ..., b_n)$, entonces: $$\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1, ..., a_n+b_n)$$ - **Multiplicación por un Escalar:** Si $c$ es un escalar y $\vec{v} = (v_1, ..., v_n)$, entonces: $$c\vec{v} = (cv_1, ..., cv_n)$$ ### Producto Punto (Escalar) - **Definición en $\mathbb{R}^n$:** Para $\vec{a} = (a_1, ..., a_n)$ y $\vec{b} = (b_1, ..., b_n)$: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$$ - **Propiedades:** - Conmutativa: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ - Distributiva: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ - Propiedad escalar: $(c\vec{a}) \cdot \vec{b} = c(\vec{a} \cdot \vec{b})$ - Relación con la magnitud: $\vec{a} \cdot \vec{a} = ||\vec{a}||^2$ - **Ángulo entre Vectores:** El ángulo $\theta$ entre dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ (no nulos) se puede encontrar usando: $$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||}$$ - **Vectores Ortogonales:** Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. - **Proyección Escalar:** La componente de $\vec{b}$ en la dirección de $\vec{a}$ es: $$\text{comp}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}||}$$ - **Proyección Vectorial:** El vector proyección de $\vec{b}$ sobre $\vec{a}$ es: $$\text{proy}_{\vec{a}}\vec{b} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}||^2} \right) \vec{a}$$ ### Producto Cruz (Vectorial) en $\mathbb{R}^3$ - **Definición:** Para $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ y $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$: $$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$$ - **Propiedades:** - Anticonmutativa: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ - Distributiva: $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ - Propiedad escalar: $(c\vec{a}) \times \vec{b} = c(\vec{a} \times \vec{b})$ - $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ - **Magnitud del Producto Cruz:** $$||\vec{a} \times \vec{b}|| = ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cdot \sin\theta$$ Donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$. Esta magnitud representa el área del paralelogramo formado por $\vec{a}$ y $\vec{b}$. - **Dirección:** El vector $\vec{a} \times \vec{b}$ es ortogonal tanto a $\vec{a}$ como a $\vec{b}$, y su dirección está dada por la regla de la mano derecha. - **Vectores Paralelos:** Dos vectores son paralelos si $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$. ### Triple Producto Escalar - **Definición:** Para $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ en $\mathbb{R}^3$: $$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$$ - **Interpretación Geométrica:** El valor absoluto del triple producto escalar es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$. - **Vectores Coplanares:** Tres vectores son coplanares (se encuentran en el mismo plano) si su triple producto escalar es cero. ### Rectas y Planos en $\mathbb{R}^3$ #### Ecuaciones de la Recta - **Ecuación Vectorial:** Una recta que pasa por un punto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ y es paralela a un vector $\vec{v} = (a, b, c)$ se describe como: $$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{v} = (x_0 + at, y_0 + bt, z_0 + ct)$$ Donde $\vec{r}_0 = (x_0, y_0, z_0)$ es el vector de posición de $P_0$. - **Ecuaciones Paramétricas:** $$x = x_0 + at \quad y = y_0 + bt \quad z = z_0 + ct$$ - **Ecuaciones Simétricas:** Si $a, b, c \neq 0$: $$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$$ #### Ecuaciones del Plano - **Ecuación Vectorial:** Un plano que pasa por un punto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ y tiene un vector normal $\vec{n} = (a, b, c)$ se describe como: $$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) = 0$$ Donde $\vec{r} = (x, y, z)$ y $\vec{r}_0 = (x_0, y_0, z_0)$. - **Ecuación Escalar (General):** $$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$ O, expandiendo: $$ax + by + cz + d = 0 \quad \text{donde } d = -(ax_0 + by_0 + cz_0)$$ ### Funciones Vectoriales de una Variable Real - **Definición:** Una función vectorial $\vec{r}(t)$ asigna un vector a cada valor de un escalar $t$ (parámetro). $$\vec{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$$ - **Límites y Continuidad:** Se calculan componente a componente. - **Derivada de una Función Vectorial:** $$\vec{r}'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle$$ El vector $\vec{r}'(t)$ es el vector tangente a la curva en el punto $\vec{r}(t)$. - **Reglas de Derivación:** - $(c\vec{u})' = c\vec{u}'$ - $(\vec{u} + \vec{v})' = \vec{u}' + \vec{v}'$ - $(\vec{u} \cdot \vec{v})' = \vec{u}' \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{v}'$ - $(\vec{u} \times \vec{v})' = \vec{u}' \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{v}'$ - $(\vec{u}(f(t)))' = f'(t)\vec{u}'(f(t))$ (Regla de la Cadena) - **Integral de una Función Vectorial:** $$\int \vec{r}(t) dt = \left\langle \int f(t) dt, \int g(t) dt, \int h(t) dt \right\rangle + \vec{C}$$ ### Longitud de Arco y Curvatura - **Longitud de Arco:** La longitud de una curva $\vec{r}(t)$ desde $t=a$ hasta $t=b$ es: $$L = \int_a^b ||\vec{r}'(t)|| dt$$ - **Parámetro de Longitud de Arco:** Si $s(t) = \int_a^t ||\vec{r}'(u)|| du$, entonces $ds/dt = ||\vec{r}'(t)||$. - **Vector Tangente Unitario:** $$\vec{T}(t) = \frac{\vec{r}'(t)}{||\vec{r}'(t)||}$$ - **Vector Normal Principal:** $$\vec{N}(t) = \frac{\vec{T}'(t)}{||\vec{T}'(t)||}$$ - **Vector Binormal:** $\vec{B}(t) = \vec{T}(t) \times \vec{N}(t)$. El sistema $\{\vec{T}, \vec{N}, \vec{B}\}$ forma el triedro de Frenet. - **Curvatura ($\kappa$):** Una medida de qué tan rápido cambia la dirección de la curva. $$\kappa = \frac{||\vec{T}'(t)||}{||\vec{r}'(t)||} = \frac{||\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)||}{||\vec{r}'(t)||^3}$$ ### Funciones de Varias Variables - **Definición:** Una función $f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ asigna un número real a cada vector de entrada. - Ejemplo: $f(x, y) = x^2 + y^2$ - **Gráficas:** Para $f(x, y)$, la gráfica es una superficie en $\mathbb{R}^3$. - **Curvas de Nivel:** Para $f(x, y)$, son las curvas $f(x, y) = k$ (donde $k$ es una constante). Ayudan a visualizar la superficie en 2D. - **Límites y Continuidad:** Más complejos que en una variable; el límite debe ser el mismo sin importar la trayectoria de aproximación. - **Derivadas Parciales:** La derivada de una función de varias variables con respecto a una de sus variables, manteniendo las otras constantes. $$\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = f_y = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h}$$ - **Derivadas Parciales de Orden Superior:** $$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$$ Teorema de Clairaut: Si $f_{xy}$ y $f_{yx}$ son continuas, entonces $f_{xy} = f_{yx}$. ### Regla de la Cadena Multivariable - **Caso 1:** $z = f(x, y)$ donde $x = g(t)$ y $y = h(t)$. $$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$ - **Caso 2:** $z = f(x, y)$ donde $x = g(s, t)$ y $y = h(s, t)$. $$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$$ $$\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$ - **Caso General:** Para $u = f(x_1, ..., x_n)$ donde cada $x_i = x_i(t_1, ..., t_m)$. $$\frac{\partial u}{\partial t_j} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t_j}$$ ### Gradiente y Derivada Direccional - **Vector Gradiente:** Para una función $f(x, y, z)$, el gradiente es: $$\nabla f(x, y, z) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle$$ El gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de $f$ y su magnitud es la tasa máxima de cambio. El gradiente es normal a las superficies de nivel $f(x,y,z)=k$. - **Derivada Direccional:** La tasa de cambio de $f$ en la dirección de un vector unitario $\vec{u}$ es: $$D_{\vec{u}}f(x, y, z) = \nabla f(x, y, z) \cdot \vec{u}$$ ### Optimización Multivariable - **Puntos Críticos:** Puntos $(x_0, y_0)$ donde $\nabla f(x_0, y_0) = \vec{0}$ o donde las derivadas parciales no existen. - **Criterio de la Segunda Derivada (para $f(x, y)$):** Sea $D(x, y) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$. 1. Si $D > 0$ y $f_{xx} > 0$, hay un mínimo local. 2. Si $D > 0$ y $f_{xx} ### Integrales Múltiples #### Integrales Dobles - **Sobre una Región Rectangular:** $$\iint_R f(x, y) dA = \int_a^b \int_c^d f(x, y) dy dx = \int_c^d \int_a^b f(x, y) dx dy$$ - **Sobre una Región General:** Depende del tipo de región (Tipo I o Tipo II). - Tipo I: $D = \{(x, y) | a \le x \le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$ $$\iint_D f(x, y) dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) dy dx$$ - Tipo II: $D = \{(x, y) | c \le y \le d, h_1(y) \le x \le h_2(y)\}$ $$\iint_D f(x, y) dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y) dx dy$$ - **Coordenadas Polares:** Si la región es circular o tiene simetría radial, usa: $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dA = r dr d\theta$$ $$\iint_D f(x, y) dA = \iint_R f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr d\theta$$ #### Integrales Triples - **Sobre una Región Rectangular:** $$\iiint_E f(x, y, z) dV = \int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_3}^{b_3} f(x, y, z) dz dy dx$$ - **Coordenadas Cilíndricas:** Para regiones con simetría alrededor del eje z. $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z, \quad dV = r dz dr d\theta$$ - **Coordenadas Esféricas:** Para regiones con simetría esférica. $$x = \rho\sin\phi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\phi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\phi, \quad dV = \rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta$$ Donde $\rho \ge 0$, $0 \le \phi \le \pi$, $0 \le \theta \le 2\pi$. ### Campos Vectoriales - **Definición:** Una función $\vec{F}$ que asigna un vector a cada punto en su dominio. - En $\mathbb{R}^2$: $\vec{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j}$ - En $\mathbb{R}^3$: $\vec{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ - **Campo Gradiente (Conservativo):** Un campo vectorial $\vec{F}$ es conservativo si es el gradiente de una función escalar $f$ (llamada función potencial), es decir, $\vec{F} = \nabla f$. - **Criterio para Campo Conservativo:** - En $\mathbb{R}^2$: Si $\vec{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j}$ y las derivadas parciales son continuas, $\vec{F}$ es conservativo si $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$. - En $\mathbb{R}^3$: Si $\vec{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$ y las derivadas parciales son continuas, $\vec{F}$ es conservativo si $\text{curl } \vec{F} = \vec{0}$. ### Integrales de Línea - **De funciones escalares:** Para una función $f(x, y, z)$ sobre una curva $C$ parametrizada por $\vec{r}(t)$: $$\int_C f(x, y, z) ds = \int_a^b f(\vec{r}(t)) ||\vec{r}'(t)|| dt$$ Donde $ds = ||\vec{r}'(t)|| dt$ es el elemento de longitud de arco. - **De campos vectoriales:** Para un campo vectorial $\vec{F}$ sobre una curva $C$: $$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) dt$$ Si $\vec{F}$ es conservativo ($\vec{F} = \nabla f$), entonces la integral de línea es independiente de la trayectoria y solo depende de los puntos inicial y final: $$\int_C \nabla f \cdot d\vec{r} = f(\vec{r}(b)) - f(\vec{r}(a))$$ (Teorema Fundamental de las Integrales de Línea) ### Teorema de Green - **Relaciona una integral de línea sobre una curva cerrada con una integral doble sobre la región que encierra la curva.** - Para una curva $C$ simple, cerrada, suave a trozos, orientada positivamente, que encierra una región $D$, y un campo vectorial $\vec{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j}$: $$\oint_C P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$$ ### Rotacional y Divergencia #### Operador Nabla ($\nabla$) - En $\mathbb{R}^3$: $\nabla = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right\rangle$ #### Rotacional (Curl) - Para un campo vectorial $\vec{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$ en $\mathbb{R}^3$: $$\text{curl } \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$ $$= \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)\mathbf{i} - \left( \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z} \right)\mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathbf{k}$$ - El rotacional mide la tendencia de un campo vectorial a hacer rotar un objeto. Si $\text{curl } \vec{F} = \vec{0}$, el campo es irrotacional (y conservativo si el dominio es simplemente conexo). #### Divergencia - Para un campo vectorial $\vec{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$ en $\mathbb{R}^3$: $$\text{div } \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$ - La divergencia mide la tendencia de un campo vectorial a expandirse o contraerse desde un punto. Si $\text{div } \vec{F} = 0$, el campo es incompresible. #### Laplaciano - Para una función escalar $f$: $$\nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$ ### Integrales de Superficie - **De funciones escalares:** Para una función $f(x, y, z)$ sobre una superficie $S$ parametrizada por $\vec{r}(u, v)$: $$\iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(\vec{r}(u, v)) ||\vec{r}_u \times \vec{r}_v|| dA$$ Donde $dS = ||\vec{r}_u \times \vec{r}_v|| dA$ es el elemento de área de superficie. - **De campos vectoriales (Flujo):** El flujo de un campo vectorial $\vec{F}$ a través de una superficie orientada $S$: $$\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \iint_D \vec{F}(\vec{r}(u, v)) \cdot (\vec{r}_u \times \vec{r}_v) dA$$ Donde $\vec{n}$ es el vector normal unitario a la superficie. ### Teorema de Stokes - **Relaciona una integral de línea de un campo vectorial sobre una curva cerrada con una integral de superficie de su rotacional sobre la superficie que tiene a la curva como frontera.** - Para una superficie $S$ con frontera $C$ (curva simple, cerrada, suave a trozos, orientada positivamente), y un campo vectorial $\vec{F}$: $$\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S \text{curl } \vec{F} \cdot d\vec{S}$$ ### Teorema de la Divergencia (Gauss) - **Relaciona una integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie cerrada con una integral triple de su divergencia sobre el sólido que encierra la superficie.** - Para un sólido $E$ cuya frontera es una superficie cerrada $S$ orientada positivamente (normal exterior), y un campo vectorial $\vec{F}$: $$\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_E \text{div } \vec{F} dV$$