Para integrales definidas: $\int_a^b u dv = [uv]_a^b - \int_a^b v du$.

Se usa para integrar funciones racionales $\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde el grado de $P(x)$ es menor que el grado de $Q(x)$.
Factorizar el denominador $Q(x)$ en factores lineales y cuadráticos irreducibles.
Casos:
- Factores Lineales Distintos: $\frac{A}{ax+b}$
- Factores Lineales Repetidos: $\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \dots$
- Factores Cuadráticos Irreducibles Distintos: $\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$
- Factores Cuadráticos Repetidos: $\frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c} + \frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \dots$
Ejemplo: $\int \frac{1}{x^2-1} dx = \int \frac{1}{(x-1)(x+1)} dx$. $\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$. Resolver para $A$ y $B$. $1 = A(x+1) + B(x-1)$. Si $x=1 \implies 1=2A \implies A=1/2$. Si $x=-1 \implies 1=-2B \implies B=-1/2$. $\int \left(\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}\right) dx = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln|x+1| + C = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$.

Se usa para integrales que contienen expresiones de las formas $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$.

Sustituciones Comunes:

Expresión	Sustitución	Identidad
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x = a \sin \theta$, $dx = a \cos \theta d\theta$	$a^2 - a^2 \sin^2 \theta = a^2 \cos^2 \theta$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x = a \tan \theta$, $dx = a \sec^2 \theta d\theta$	$a^2 + a^2 \tan^2 \theta = a^2 \sec^2 \theta$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x = a \sec \theta$, $dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta$	$a^2 \sec^2 \theta - a^2 = a^2 \tan^2 \theta$

Después de integrar en términos de $\theta$, se debe regresar a la variable original $x$ usando un triángulo rectángulo.

Área entre $y=f(x)$ y $y=g(x)$ de $x=a$ a $x=b$: $$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$ Si $f(x) \ge g(x)$ en $[a, b]$, entonces $A = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$.
Área entre $x=f(y)$ y $x=g(y)$ de $y=c$ a $y=d$: $$A = \int_c^d |f(y) - g(y)| dy$$

Método del Disco/Arandela:
- Revolución alrededor del eje $x$: $V = \int_a^b \pi [R(x)^2 - r(x)^2] dx$. (Si es un disco, $r(x)=0$).
- Revolución alrededor del eje $y$: $V = \int_c^d \pi [R(y)^2 - r(y)^2] dy$.
Método de las Capas Cilíndricas:
- Revolución alrededor del eje $y$: $V = \int_a^b 2\pi x f(x) dx$.
- Revolución alrededor del eje $x$: $V = \int_c^d 2\pi y f(y) dy$.

Para $y=f(x)$ de $x=a$ a $x=b$, girando alrededor del eje $x$: $$S = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'