Teorema Fundamental del Cálculo

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Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) Primera Parte del TFC Si $f$ es continua en $[a, b]$, entonces la función $g$ definida por: $$g(x) = \int_a^x f(t) dt \quad a \le x \le b$$ es continua en $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$, y $g'(x) = f(x)$. Esto significa que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Ejemplo: Si $g(x) = \int_1^x \sin(t^2) dt$, entonces $g'(x) = \sin(x^2)$. Regla de la Cadena con TFC: Si $g(x) = \int_a^{u(x)} f(t) dt$, entonces $g'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$. Ejemplo de Regla de la Cadena: Si $g(x) = \int_0^{x^2} e^{-t^2} dt$, entonces $g'(x) = e^{-(x^2)^2} \cdot (2x) = 2x e^{-x^4}$. Límites de Integración Variables: Si $g(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt$, entonces $g'(x) = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x)$. Segunda Parte del TFC Si $f$ es continua en $[a, b]$, entonces: $$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$ donde $F$ es cualquier antiderivada de $f$, es decir, $F'(x) = f(x)$. Esta parte permite calcular integrales definidas sin recurrir a sumas de Riemann. Antiderivada (Integral Indefinida): Una función $F$ tal que $F'(x) = f(x)$. La notación es $\int f(x) dx = F(x) + C$. Ejemplo: $\int_0^2 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$. Técnicas de Integración 1. Integrales Básicas $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$ $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ $\int e^x dx = e^x + C$ $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ $\int \sin x dx = -\cos x + C$ $\int \cos x dx = \sin x + C$ $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$ $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$ $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$ $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$ $\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$ 2. Sustitución (Cambio de Variable) Se usa para integrar funciones compuestas. Sea $u = g(x)$, entonces $du = g'(x) dx$. La integral se transforma en $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$. Para integrales definidas: Cambiar los límites de integración. Si $x=a \implies u=g(a)$ y si $x=b \implies u=g(b)$. $$\int_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$$ Ejemplo: $\int x \cos(x^2) dx$. Sea $u = x^2$, $du = 2x dx \implies x dx = \frac{1}{2} du$. $\int \cos(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C$. 3. Integración por Partes Fórmula: $\int u dv = uv - \int v du$. Se usa para integrar productos de funciones. La clave es elegir $u$ y $dv$ correctamente. Regla LIATE/ILATE para elegir $u$: L ogarítmicas ($\ln x$) I nversas trigonométricas ($\arctan x$) A lgebraicas ($x^n$) T rigonométricas ($\sin x$) E xponenciales ($e^x$) La función que aparece primero en la lista suele ser una buena elección para $u$. Ejemplo: $\int x e^x dx$. Sea $u=x, dv=e^x dx$. Entonces $du=dx, v=e^x$. $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$. Para integrales definidas: $\int_a^b u dv = [uv]_a^b - \int_a^b v du$. 4. Fracciones Parciales Se usa para integrar funciones racionales $\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde el grado de $P(x)$ es menor que el grado de $Q(x)$. Factorizar el denominador $Q(x)$ en factores lineales y cuadráticos irreducibles. Casos: Factores Lineales Distintos: $\frac{A}{ax+b}$ Factores Lineales Repetidos: $\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \dots$ Factores Cuadráticos Irreducibles Distintos: $\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$ Factores Cuadráticos Repetidos: $\frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c} + \frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \dots$ Ejemplo: $\int \frac{1}{x^2-1} dx = \int \frac{1}{(x-1)(x+1)} dx$. $\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$. Resolver para $A$ y $B$. $1 = A(x+1) + B(x-1)$. Si $x=1 \implies 1=2A \implies A=1/2$. Si $x=-1 \implies 1=-2B \implies B=-1/2$. $\int \left(\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}\right) dx = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln|x+1| + C = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$. 5. Sustitución Trigonométrica Se usa para integrales que contienen expresiones de las formas $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$. Sustituciones Comunes: Expresión Sustitución Identidad $\sqrt{a^2-x^2}$ $x = a \sin \theta$, $dx = a \cos \theta d\theta$ $a^2 - a^2 \sin^2 \theta = a^2 \cos^2 \theta$ $\sqrt{a^2+x^2}$ $x = a \tan \theta$, $dx = a \sec^2 \theta d\theta$ $a^2 + a^2 \tan^2 \theta = a^2 \sec^2 \theta$ $\sqrt{x^2-a^2}$ $x = a \sec \theta$, $dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta$ $a^2 \sec^2 \theta - a^2 = a^2 \tan^2 \theta$ Después de integrar en términos de $\theta$, se debe regresar a la variable original $x$ usando un triángulo rectángulo. Aplicaciones de la Integración Área entre Curvas Área entre $y=f(x)$ y $y=g(x)$ de $x=a$ a $x=b$: $$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$ Si $f(x) \ge g(x)$ en $[a, b]$, entonces $A = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$. Área entre $x=f(y)$ y $x=g(y)$ de $y=c$ a $y=d$: $$A = \int_c^d |f(y) - g(y)| dy$$ Volumen de Sólidos de Revolución Método del Disco/Arandela: Revolución alrededor del eje $x$: $V = \int_a^b \pi [R(x)^2 - r(x)^2] dx$. (Si es un disco, $r(x)=0$). Revolución alrededor del eje $y$: $V = \int_c^d \pi [R(y)^2 - r(y)^2] dy$. Método de las Capas Cilíndricas: Revolución alrededor del eje $y$: $V = \int_a^b 2\pi x f(x) dx$. Revolución alrededor del eje $x$: $V = \int_c^d 2\pi y f(y) dy$. Longitud de Arco Para $y=f(x)$ de $x=a$ a $x=b$: $$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$$ Para $x=g(y)$ de $y=c$ a $y=d$: $$L = \int_c^d \sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy$$ Área de Superficie de Revolución Para $y=f(x)$ de $x=a$ a $x=b$, girando alrededor del eje $x$: $$S = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$$ Para $x=g(y)$ de $y=c$ a $y=d$, girando alrededor del eje $y$: $$S = \int_c^d 2\pi g(y) \sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy$$ Centro de Masa (Centroide) Para una región plana $R$ entre $y=f(x)$ y $y=g(x)$ de $x=a$ a $x=b$ (con $f(x) \ge g(x)$): Masa $M = \rho A = \rho \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$ (si $\rho=1$, es el área $A$). Momento alrededor del eje $y$: $M_y = \rho \int_a^b x (f(x) - g(x)) dx$. Momento alrededor del eje $x$: $M_x = \rho \int_a^b \frac{1}{2} ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx$. Coordenadas del centro de masa: $(\bar{x}, \bar{y}) = \left(\frac{M_y}{M}, \frac{M_x}{M}\right)$. Trabajo Si una fuerza variable $F(x)$ mueve un objeto de $x=a$ a $x=b$: $$W = \int_a^b F(x) dx$$ Ley de Hooke: La fuerza requerida para estirar o comprimir un resorte es $F(x) = kx$, donde $k$ es la constante del resorte. El trabajo para estirar un resorte de $x=a$ a $x=b$ es $W = \int_a^b kx dx$.