Cálculo de una Variable

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### Definición de Derivada La derivada de una función $f(x)$ en un punto $x=a$, denotada por $f'(a)$ o $\frac{df}{dx}|_{x=a}$, se define como el límite: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Siempre que este límite exista. También puede expresarse como: $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$ - **Interpretación geométrica:** La derivada $f'(a)$ representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto $(a, f(a))$. - **Interpretación física:** Si $f(t)$ es la posición de un objeto en el tiempo $t$, entonces $f'(t)$ es la velocidad instantánea del objeto en el tiempo $t$. ### Diferenciabilidad Una función $f(x)$ es **diferenciable** en un punto $x=a$ si su derivada $f'(a)$ existe en ese punto. #### Condiciones para la Diferenciabilidad Si una función $f(x)$ es diferenciable en $x=a$, entonces: 1. $f(x)$ debe ser **continua** en $x=a$. - La continuidad es una condición necesaria, pero no suficiente, para la diferenciabilidad. 2. Los límites laterales del cociente de diferencia deben ser iguales: $$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Esto implica que la pendiente de la recta tangente debe ser la misma desde ambos lados. #### Cuándo una Función NO es Diferenciable Una función no es diferenciable en un punto $x=a$ si: 1. **No es continua** en $x=a$. (Ej: saltos, asíntotas, agujeros) 2. Tiene un **pico o esquina aguda** en $x=a$. (Ej: $f(x) = |x|$ en $x=0$) - En estos puntos, la pendiente de la recta tangente cambia abruptamente. 3. Tiene una **tangente vertical** en $x=a$. (Ej: $f(x) = \sqrt[3]{x}$ en $x=0$) - La pendiente de la recta tangente es infinita. ### Reglas Básicas de Derivación - **Constante:** $\frac{d}{dx}(c) = 0$ - **Potencia:** $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ - **Suma/Resta:** $\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$ - **Producto:** $\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ - **Cociente:** $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ - **Cadena:** $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ### Derivadas de Funciones Comunes - **Exponencial:** $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$, $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln(a)$ - **Logarítmica:** $\frac{d}{dx}(\ln|x|) = \frac{1}{x}$, $\frac{d}{dx}(\log_a|x|) = \frac{1}{x \ln(a)}$ - **Trigonométricas:** - $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ - $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ - $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$ - $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$ - $\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$ - $\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$