Cálculo Vectorial: Funciones campos espacios

Cheatsheet Content

### Introducción a las Funciones en Cálculo Vectorial Este cheatsheet clasifica las funciones utilizadas en cálculo vectorial según su dominio y codominio, fundamentales para comprender los conceptos avanzados. ### Funciones Escalares de una Sola Variable - **Notación:** $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ - **Descripción:** Las funciones tradicionales que mapean un número real a otro. - **Aplicación:** Base del cálculo diferencial e integral estándar. - **Conceptos clave:** Límites, derivadas, integrales, continuidad. ### Campos Escalares (Funciones Escalares Multivariables) - **Notación:** $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ - **Descripción:** Mapean un vector (punto en el espacio $n$-dimensional) a un único número escalar. - **Aplicación:** Describen magnitudes físicas como temperatura, presión, densidad, potencial eléctrico. - **Conceptos clave:** - Derivadas parciales - Gradiente ($\nabla f$) - Derivadas direccionales - Curvas y superficies de nivel - Integrales múltiples (dobles, triples) ### Funciones Vectoriales de una Sola Variable (Curvas Paramétricas) - **Notación:** $\vec{r}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ - **Descripción:** Mapean un número real (parámetro, a menudo tiempo $t$) a un vector en el espacio $n$-dimensional. - **Aplicación:** Describen curvas en el espacio, como la trayectoria de una partícula. - **Conceptos clave:** - Vector de posición $\vec{r}(t)$ - Vector de velocidad $\vec{v}(t) = \vec{r}'(t)$ - Vector de aceleración $\vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = \vec{r}''(t)$ - Rapidez (magnitud de la velocidad): $|\vec{v}(t)|$ - Longitud de arco: $L = \int_{a}^{b} |\vec{r}'(t)| dt$ - Vector tangente unitario $\vec{T}(t) = \frac{\vec{r}'(t)}{|\vec{r}'(t)|}$ - Curvatura ($\kappa$) ### Campos Vectoriales - **Notación:** $\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ - **Descripción:** Mapean un vector (punto en el espacio $n$-dimensional) a otro vector. - **Aplicación:** Representan fuerzas (gravitatorias, eléctricas), velocidades de fluidos, campos magnéticos. - **Conceptos clave:** - Integrales de línea - Campos vectoriales conservativos - Rotacional (curl) ($\nabla \times \vec{F}$) - Divergencia ($\nabla \cdot \vec{F}$) - Teoremas fundamentales: - Teorema de Green - Teorema de Stokes - Teorema de la Divergencia (Gauss) ### Superficies Paramétricas - **Notación:** $\vec{r}(u,v): \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ - **Descripción:** Extensión de las funciones vectoriales, usando dos parámetros para describir una superficie en el espacio 3D. - **Aplicación:** Modelado de superficies complejas en gráficos por computadora, ingeniería. - **Conceptos clave:** - Vectores tangentes parciales $\vec{r}_u$, $\vec{r}_v$ - Vector normal a la superficie $\vec{n} = \vec{r}_u \times \vec{r}_v$ - Área de superficie - Integrales de superficie