Linjär Algebra

Cheatsheet Content

### Grundläggande Vektorer - **Definition:** En vektor $\vec{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)$ är en storhet med både magnitud och riktning. - **Längd/Magnitud:** $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}$ - **Enhetsvektor:** $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ (vektor med längd 1 i samma riktning) - **Vektoraddition:** $\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1, ..., u_n+v_n)$ - **Skalärmultiplikation:** $c\vec{v} = (cv_1, ..., cv_n)$ ### Skalärprodukt (Dot Product) och Vinkel - **Definition:** $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n$ - **Geometrisk tolkning:** $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$, där $\theta$ är vinkeln mellan $\vec{u}$ och $\vec{v}$. - **Ortogonalitet:** Om $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, då är $\vec{u}$ och $\vec{v}$ ortogonala (vinkelräta). - **Vinkel mellan vektorer:** $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ - Spetsig vinkel: $\cos\theta > 0$ - Trubbig vinkel: $\cos\theta ### Vektorprodukt (Kryssprodukt) - **Definition (endast i $\mathbb{R}^3$):** $\vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)$ - **Geometrisk tolkning:** - $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$ (arean av parallellogrammet som spänns upp av $\vec{u}$ och $\vec{v}$) - $\vec{u} \times \vec{v}$ är en vektor som är ortogonal mot både $\vec{u}$ och $\vec{v}$ (enligt högerhandsregeln). - **Volym av parallellepiped:** $|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$ ### Projektion - **Ortogonal projektion av $\vec{u}$ på $\vec{v}$:** $$\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v}$$ - **Ortogonala komponenten:** $\vec{u} - \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}$ ### Linjer och Plan - **Linje på parameterform:** $\vec{r}(t) = \vec{p}_0 + t\vec{d}$ - $\vec{p}_0$: punkt på linjen, $\vec{d}$: riktningsvektor. - **Plan på normalform:** $Ax + By + Cz = D$ - $(A,B,C)$ är en normalvektor $\vec{n}$ till planet. - **Plan på parameterform:** $\vec{r}(s,t) = \vec{p}_0 + s\vec{u} + t\vec{v}$ - $\vec{p}_0$: punkt i planet, $\vec{u}, \vec{v}$: icke-parallella vektorer i planet. - **Avstånd från punkt $P_0(x_0,y_0,z_0)$ till plan $Ax+By+Cz+D=0$:** $$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$ - **Avstånd från punkt till linje:** Använd projektion, eller hitta punkt på linjen som är närmast. ### Matriser - **Definition:** En $m \times n$ matris $A$ har $m$ rader och $n$ kolumner. - **Matrisaddition:** $A+B$ (dimensionerna måste vara lika) - **Skalärmultiplikation:** $cA$ - **Matrismultiplikation:** $(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$ (antal kolumner i A = antal rader i B) - Notera: $AB \neq BA$ i allmänhet. - **Transponat:** $(A^T)_{ij} = A_{ji}$ - $(AB)^T = B^TA^T$ - **Identitetsmatris:** $I$ (kvadratisk matris med ettor på diagonalen, nollor annars) - **Invers matris:** $A^{-1}$ så att $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ - För en $2 \times 2$ matris $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ (om $ad-bc \neq 0$) - En matris är inverterbar om och endast om $\det(A) \neq 0$. - $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ ### Determinant - **För $2 \times 2$ matris:** $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad-bc$ - **För $3 \times 3$ matris (Sarrus regel):** $$\det(A) = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$$ - **Egenskaper:** - $\det(A^T) = \det(A)$ - $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ - $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$ - $\det(cA) = c^n\det(A)$ för en $n \times n$ matris $A$. - Om rader/kolumner är linjärt beroende, då $\det(A)=0$. ### Linjära Ekvationssystem - **Matrisform:** $A\vec{x} = \vec{b}$ - **Gausselimination:** Använd radoperationer för att transformera $A$ till trappstegsform. - Tre typer av radoperationer: byta rader, multiplicera rad med skalär $\neq 0$, addera multipel av en rad till en annan. - **Lösningsmängd:** - Entydig lösning: Om det finns en unik ledande etta i varje kolumn (för $A$). - Oändligt många lösningar: Om det finns fria variabler (kolumner utan ledande etta). - Ingen lösning: Om en rad av formen $[0 \ 0 \ ... \ 0 \ | \ b]$ där $b \neq 0$ uppstår. - **Minsta kvadratmetoden:** För $A\vec{x} = \vec{b}$ som saknar exakt lösning, hitta $\vec{x}$ som minimerar $|A\vec{x}-\vec{b}|^2$. Lös normalekvationerna: $A^TA\vec{x} = A^T\vec{b}$. ### Linjära Avbildningar - **Definition:** En funktion $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ är linjär om: 1. $F(\vec{u} + \vec{v}) = F(\vec{u}) + F(\vec{v})$ 2. $F(c\vec{u}) = cF(\vec{u})$ - **Avbildningsmatris:** Varje linjär avbildning $F$ kan representeras av en matris $A$ så att $F(\vec{x}) = A\vec{x}$. - Kolumnerna i $A$ är $F(\vec{e}_1), F(\vec{e}_2), ..., F(\vec{e}_n)$, där $\vec{e}_i$ är standardbasvektorerna. - **Geometriska avbildningar:** - **Rotation i $\mathbb{R}^2$ (moturs med vinkel $\theta$):** $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ - **Speglingsmatris över linjen $y=kx$:** $\frac{1}{1+k^2}\begin{pmatrix} 1-k^2 & 2k \\ 2k & k^2-1 \end{pmatrix}$ - **Projektion på linjen $y=kx$:** $\frac{1}{1+k^2}\begin{pmatrix} 1 & k \\ k & k^2 \end{pmatrix}$ - **Spegling i linje genom origo med normalvektor $\vec{n}$:** $S = I - 2 \frac{\vec{n}\vec{n}^T}{|\vec{n}|^2}$ - **Sammansatta avbildningar:** $F(G(\vec{x})) \implies A_F A_G \vec{x}$. Matrisen för sammansättningen är produkten av matriserna i omvänd ordning.