Radioactivité et Structure Atomique

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Radioactivité Loi de désintégration radioactive: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ Activité: $A(t) = \lambda N(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ Constante radioactive ($\lambda$): Taux de désintégration. Plus $\lambda$ est grand, plus la substance se désintègre vite. Période radioactive (T ou $T_{1/2}$): Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux d'un échantillon se désintègrent. Relation: $T = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ Unités: Activité: Becquerel (Bq, 1 désintégration/seconde) ou Curie (Ci, $1 \text{ Ci} = 3.7 \times 10^{10} \text{ Bq}$) Masse molaire ($M$): g/mol Nombre d'Avogadro ($N_A$): $6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ Nombre de noyaux ($N$): $N = \frac{m}{M} N_A$ Exercice 1: Radioactivité 1. Désintégration du Radium Données: 35.38% de désintégration en 1000 ans. Si 35.38% se désintègrent, il reste $100\% - 35.38\% = 64.62\%$ des noyaux initiaux. Donc, $\frac{N(t)}{N_0} = 0.6462$ pour $t = 1000$ ans. a) Constante radioactive ($\lambda$) et Période (T): Utiliser $N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t}$ $0.6462 = e^{-\lambda \times 1000}$ $\ln(0.6462) = -\lambda \times 1000$ $\lambda = -\frac{\ln(0.6462)}{1000} \approx 0.000436 \text{ an}^{-1}$ Période $T = \frac{\ln(2)}{\lambda} = \frac{\ln(2)}{0.000436} \approx 1589.7 \text{ ans}$ b) Masse de Radium pour une activité de 1 Ci: Activité $A = \lambda N$. On cherche $m$ pour $A = 1 \text{ Ci}$. $1 \text{ Ci} = 3.7 \times 10^{10} \text{ Bq}$ Convertir $\lambda$ en $s^{-1}$: $\lambda = 0.000436 \text{ an}^{-1} = \frac{0.000436}{365.25 \times 24 \times 3600} \approx 1.38 \times 10^{-11} \text{ s}^{-1}$ Nombre de noyaux $N = \frac{A}{\lambda} = \frac{3.7 \times 10^{10} \text{ Bq}}{1.38 \times 10^{-11} \text{ s}^{-1}} \approx 2.68 \times 10^{21} \text{ noyaux}$ Masse $m = N \times \frac{M}{N_A}$. (Masse molaire du Radium-226 est $M \approx 226 \text{ g/mol}$) $m = 2.68 \times 10^{21} \times \frac{226 \text{ g/mol}}{6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}} \approx 1.005 \text{ g}$ 2. Activité du Strontium-90 ($^{90}$Sr) Données: Masse $m = 500 \text{ mg} = 0.5 \text{ g}$, Période $T = 28 \text{ ans}$. Masse molaire du Strontium-90 est $M \approx 90 \text{ g/mol}$. Calculs: Constante radioactive $\lambda = \frac{\ln(2)}{T} = \frac{\ln(2)}{28 \text{ ans}} \approx 0.02475 \text{ an}^{-1}$ Convertir $\lambda$ en $s^{-1}$: $\lambda = \frac{0.02475}{365.25 \times 24 \times 3600} \approx 7.85 \times 10^{-10} \text{ s}^{-1}$ Nombre de noyaux $N = \frac{m}{M} N_A = \frac{0.5 \text{ g}}{90 \text{ g/mol}} \times 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1} \approx 3.346 \times 10^{21} \text{ noyaux}$ Activité $A = \lambda N = (7.85 \times 10^{-10} \text{ s}^{-1}) \times (3.346 \times 10^{21} \text{ noyaux}) \approx 2.628 \times 10^{12} \text{ Bq}$ Convertir en Curie: $A_{\text{Ci}} = \frac{2.628 \times 10^{12} \text{ Bq}}{3.7 \times 10^{10} \text{ Bq/Ci}} \approx 71.03 \text{ Ci}$ Structure Atomique Numéro atomique (Z): Nombre de protons dans le noyau. Détermine l'identité de l'élément. Pour un atome neutre, Z est aussi le nombre d'électrons. Nombre de masse (A): Nombre total de protons et de neutrons dans le noyau. $A = Z + N_{\text{neutrons}}$. Configuration électronique: Répartition des électrons dans les différentes couches et sous-couches atomiques. Principes et règles pour la configuration électronique: Principe d'Aufbau: Les électrons remplissent les orbitales de plus basse énergie d'abord. Principe d'exclusion de Pauli: Deux électrons dans la même orbitale doivent avoir des spins opposés (pas plus de deux électrons par orbitale). Règle de Hund: Pour des orbitales de même énergie (dégénérées), les électrons remplissent chaque orbitale individuellement avec des spins parallèles avant de s'apparier. Nombres quantiques: Décrivent l'état d'un électron dans un atome. Nombre quantique principal (n): Décrit la taille et l'énergie de l'orbitale ($n = 1, 2, 3, ...$). Nombre quantique secondaire ou azimutal (l): Décrit la forme de l'orbitale (sous-couche). $l = 0, 1, ..., n-1$. $l=0 \Rightarrow s$ orbitale (sphérique) $l=1 \Rightarrow p$ orbitale (haltère) $l=2 \Rightarrow d$ orbitale $l=3 \Rightarrow f$ orbitale Nombre quantique magnétique ($m_l$): Décrit l'orientation de l'orbitale dans l'espace. $m_l = -l, ..., 0, ..., +l$. Nombre quantique de spin ($m_s$): Décrit le spin de l'électron. $m_s = +1/2$ ou $-1/2$. Électron célibataire: Électron occupant une orbitale seul. Exercice 2: Phosphore (P) 1. Composition du Phosphore Données: $Z=15$, $A=31$. Nombre de protons: $Z = 15$ Nombre d'électrons: Pour un atome neutre, nombre d'électrons = $Z = 15$ Nombre de neutrons: $N_{\text{neutrons}} = A - Z = 31 - 15 = 16$ 2. Configuration électronique du Phosphore (état fondamental) Le phosphore a 15 électrons. Remplissage selon Aufbau, Pauli, Hund: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^3$ Explication des principes: $1s^2$: Les 2 premiers électrons remplissent la sous-couche $1s$ (énergie la plus basse), avec spins opposés (Pauli). $2s^2$: Les 2 suivants remplissent la sous-couche $2s$. $2p^6$: Les 6 suivants remplissent les trois orbitales $2p$ ($2p_x, 2p_y, 2p_z$). D'abord un électron par orbitale avec spins parallèles, puis appariement (Hund et Pauli). $3s^2$: Les 2 suivants remplissent la sous-couche $3s$. $3p^3$: Les 3 derniers électrons se placent dans les trois orbitales $3p$ ($3p_x, 3p_y, 3p_z$). Selon la règle de Hund, ils occupent chacun une orbitale distincte avec des spins parallèles pour minimiser la répulsion. 3. Position du Phosphore dans le tableau périodique La configuration électronique $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^3$ indique: Période (Ligne): Le plus grand nombre quantique principal $n$ est 3. Donc, le phosphore est dans la 3ème période . Groupe (Colonne): Les électrons de valence sont dans $3s^2 3p^3$. Il y a $2+3=5$ électrons de valence. C'est un élément du bloc p. Le groupe est $10 + \text{nombre d'électrons de valence} = 10 + 5 = 15$. Le phosphore est dans le Groupe 15 (famille de l'azote). 4. Nombres quantiques des électrons célibataires du Phosphore Les électrons célibataires sont ceux dans la sous-couche $3p^3$. Il y a 3 électrons célibataires, chacun dans une orbitale $3p$ différente avec un spin parallèle. Pour ces 3 électrons: $n = 3$ (couche principale) $l = 1$ (sous-couche p) $m_l$: Les trois orbitales $p$ ont $m_l = -1, 0, +1$. Chaque électron célibataire occupe une de ces orbitales. $m_s$: Puisqu'ils sont célibataires et ont des spins parallèles, on peut attribuer $m_s = +1/2$ (ou tous $-1/2$). Ensemble des nombres quantiques pour les 3 électrons célibataires: Électron 1: $(n=3, l=1, m_l=-1, m_s=+1/2)$ Électron 2: $(n=3, l=1, m_l=0, m_s=+1/2)$ Électron 3: $(n=3, l=1, m_l=+1, m_s=+1/2)$