Analyse - Fonctions & Intégral

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### Fonctions pour l'Analyse (Niveau Terminale D) Ces exercices sont conçus pour vous préparer aux épreuves du baccalauréat, en couvrant des fonctions complexes et des questions variées. #### Exercice 1 Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = (ax^2 + bx + c)e^{-x}$ pour $x \in \mathbb{R}$. 1. Déterminer les réels $a, b, c$ sachant que la courbe représentative de $f$ passe par le point $A(0, 1)$, admet une tangente horizontale en $A$ et un point d'inflexion en $x=1$. 2. Étudier les variations de $f$. 3. Déterminer les asymptotes éventuelles à la courbe de $f$. 4. Calculer la primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en 0. 5. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\alpha$. #### Exercice 2 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$. 1. Montrer que $f$ est impaire. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 2. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 3. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers un intervalle $J$ à déterminer. 4. Calculer $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. #### Exercice 3 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x \ln(x) - x$. 1. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 2. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x=1$. 4. Calculer la primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$ qui prend la valeur 0 en $x=1$. #### Exercice 4 Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $f'(x)$. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. #### Exercice 5 Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. 5. Soit $g(x) = f(x) - \frac{1}{x}$. Déterminer une primitive de $g$ sur $]0, +\infty[$. #### Exercice 6 Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2+x+1}{x-1}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Montrer que la droite d'équation $y=x+2$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$. 4. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur son domaine de définition. #### Exercice 7 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{e^x}{x}$. 1. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 2. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 3. Montrer que l'équation $f(x)=e$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0, +\infty[$. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. 4. Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $]0, +\infty[$ telle que $F(1)=0$. (On pourra utiliser une intégration par parties pour une fonction liée à $f$). #### Exercice 8 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - \ln(e^x+1)$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Montrer que la droite d'équation $y=x$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ en $-\infty$. 4. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. #### Exercice 9 Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Montrer que $f$ est impaire. 4. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. #### Exercice 10 Soit $f$ la fonction définie sur $]1, +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x \ln(x)}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Calculer $\int_e^{e^2} f(x) dx$. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $]1, +\infty[$. #### Exercice 11 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x e^{x^2}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. 5. Soit $g(x) = (2x^2+1)e^{x^2}$. Montrer que $g'(x) = 4xf(x)$. #### Exercice 12 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que $f(x) = \frac{e^x}{e^x+1}$. En déduire une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$. #### Exercice 13 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x + \frac{\ln x}{x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Montrer que la droite d'équation $y=x$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$. Étudier la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote. 4. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. #### Exercice 14 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(x^2+x+1)$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que $f$ est minorée. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (On pourra utiliser une intégration par parties). #### Exercice 15 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{1+\ln x}{x^2}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. #### Exercice 16 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = x e^{1/x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Montrer que la droite d'équation $y=x+1$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. 4. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}^*$. (Ceci est un défi, ne vous inquiétez pas si vous ne la trouvez pas directement). #### Exercice 17 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{e^{2x}}{e^x+1}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que $f(x) = e^x - \frac{e^x}{e^x+1}$. En déduire une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. 5. Calculer $\int_0^{\ln 2} f(x) dx$. #### Exercice 18 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = (\ln x)^2$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et calculer $f'(x)$. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. (Utiliser une intégration par parties deux fois). #### Exercice 19 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 e^{-x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Calculer la primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en 0. (Utiliser une intégration par parties deux fois). 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. #### Exercice 20 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. (Utiliser une intégration par parties). 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. #### Exercice 21 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{2x} - 2e^x$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. 5. Résoudre l'équation $f(x) = 0$ et l'inéquation $f(x) > 0$. #### Exercice 22 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \frac{1}{\ln x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]1, +\infty[$. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, 1[ \cup ]1, +\infty[$. #### Exercice 23 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 e^{-x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (Intégration par parties trois fois). 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. #### Exercice 24 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. #### Exercice 25 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2+1)e^{-x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (Intégration par parties deux fois). 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. #### Exercice 26 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x^2 \ln x$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. (Intégration par parties). 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. #### Exercice 27 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{e^x}{e^x+e^{-x}}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que $f(x) = \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}$. En déduire une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. 5. Calculer $\int_0^{\ln 3} f(x) dx$. #### Exercice 28 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0, +\infty[$. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. #### Exercice 29 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^{2x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (Intégration par parties). 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. #### Exercice 30 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. #### Exercice 31 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x \sin x$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (Intégration par parties deux fois). 5. Calculer $\int_0^{\pi} f(x) dx$. #### Exercice 32 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. (Intégration par parties). 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e^4$. #### Exercice 33 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2-x)e^x$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (Intégration par parties deux fois). 5. Calculer $\int_0^1 f(x) dx$. #### Exercice 34 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{x-1}{\ln x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que $f(x) > 0$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $x \neq 1$. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, 1[ \cup ]1, +\infty[$. (Ceci est un défi, ne vous inquiétez pas si vous ne la trouvez pas directement). #### Exercice 35 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x^2}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que $f$ est paire. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (Ceci est une fonction spéciale (fonction d'erreur), vous ne pouvez pas la trouver avec les méthodes usuelles. La question est de le savoir). #### Exercice 36 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que l'équation $f(x)=e$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0, +\infty[$. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. (Intégration par parties). #### Exercice 37 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x}{e^x-1}$ si $x \neq 0$ et $f(0)=1$. 1. Étudier la continuité de $f$ en $x=0$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}^*$. 5. Calculer $\int_{-1}^1 f(x) dx$. (Ceci est un défi). #### Exercice 38 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x} \ln x$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. (Intégration par parties). 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. #### Exercice 39 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. #### Exercice 40 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln x}}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Calculer $\int_{e^2}^{e^4} f(x) dx$. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $]1, +\infty[$. #### Exercice 41 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2+2x-1)e^{-x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (Intégration par parties deux fois). 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. #### Exercice 42 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. #### Exercice 43 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{e^x}{x^2+1}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (Ceci est un défi). 5. Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$. #### Exercice 44 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x \ln^2 x$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. (Intégration par parties deux fois). 5. Calculer $\int_1^e f(x) dx$. #### Exercice 45 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{1}{\sqrt{e^x+1}}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (On pourra faire un changement de variable $u = \sqrt{e^x+1}$). 5. Calculer $\int_0^{\ln 3} f(x) dx$. #### Exercice 46 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln x}{x^3}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. (Intégration par parties). 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. #### Exercice 47 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2-1)e^{-2x}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (Intégration par parties deux fois). 5. Calculer $\int_0^1 f(x) dx$. #### Exercice 48 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=4$. #### Exercice 49 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{1}{e^x+e^{-x}}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Montrer que $f$ est paire. 5. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (On pourra écrire $f(x) = \frac{e^x}{e^{2x}+1}$). #### Exercice 50 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x \ln x - x$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. #### Exercice 51 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x+1)e^{-x^2}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (Décomposer $f(x)$ en deux fonctions). 5. Calculer $\int_0^1 f(x) dx$. #### Exercice 52 Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 3. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. 5. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=4$. ### Intégrales et Calculs d'Aires (Niveau Terminale D) Ces exercices sont axés sur le calcul d'intégrales définies et d'aires, avec des questions qui stimulent la réflexion. #### Exercice 1 Calculer les intégrales suivantes : 1. $\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) dx$ 2. $\int_1^e \frac{1}{x} dx$ 3. $\int_0^{\ln 2} e^x dx$ 4. $\int_0^{\pi/2} \cos x dx$ #### Exercice 2 Soit $f(x) = x e^x$. 1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\int_0^1 x e^x dx$. 2. Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. #### Exercice 3 Soit $g(x) = \ln x$. 1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\int_1^e \ln x dx$. 2. Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. #### Exercice 4 Calculer l'intégrale $\int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx$. #### Exercice 5 Calculer l'intégrale $\int_1^2 \frac{e^x}{e^x+1} dx$. #### Exercice 6 Soit $f(x) = x \sqrt{x^2+1}$. 1. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. 2. Calculer $\int_0^1 x \sqrt{x^2+1} dx$. #### Exercice 7 Soit $f(x) = \frac{1}{x \ln x}$. 1. Déterminer une primitive de $f$ sur $]1, +\infty[$. 2. Calculer $\int_e^{e^2} \frac{1}{x \ln x} dx$. #### Exercice 8 Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f(x) = x^2$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$. #### Exercice 9 Soit la fonction $f(x) = e^{-x}$. 1. Calculer $\int_0^{+\infty} e^{-x} dx$. (C'est une intégrale impropre, interprétez-la comme une limite). 2. Interpréter géométriquement ce résultat. #### Exercice 10 Soit $f(x) = x \cos x$. 1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\int_0^{\pi/2} x \cos x dx$. 2. Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\pi/2$. #### Exercice 11 Calculer l'intégrale $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$. (Indication : Penser à $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$). #### Exercice 12 Calculer l'intégrale $\int_0^1 \frac{1}{e^x+1} dx$. (Indication : Multiplier numérateur et dénominateur par $e^{-x}$). #### Exercice 13 Soit $f(x) = x \ln x$. 1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\int_1^e x \ln x dx$. 2. Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. #### Exercice 14 Soit $f(x) = \frac{1}{x^2}$. 1. Calculer $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$. 2. Interpréter géométriquement ce résultat. #### Exercice 15 Soit $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$. 1. Déterminer une primitive de $f$ sur $]-1, +\infty[$. 2. Calculer $\int_0^1 \frac{1}{(x+1)^2} dx$. #### Exercice 16 Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ pour $x \in [0, 1]$. #### Exercice 17 Soit $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. 1. Déterminer une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$. 2. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. #### Exercice 18 Soit $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. 1. Déterminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. 2. Calculer $\int_0^1 f(x) dx$. #### Exercice 19 Calculer l'intégrale $\int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{e^x+1} dx$. #### Exercice 20 Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f(x) = \sin x$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\pi$.