Analyse PCSI 1ère année

Cheatsheet Content

### Ensembles de Nombres et Intervalles - **Nombres Naturels:** $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}$ - **Nombres Entiers Relatifs:** $\mathbb{Z} = \{..., -1, 0, 1, ...\}$ - **Nombres Rationnels:** $\mathbb{Q} = \{\frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}^*\}$ - **Nombres Réels:** $\mathbb{R}$ (l'ensemble de tous les nombres mesurables) - **Nombres Complexes:** $\mathbb{C} = \{a+ib \mid a, b \in \mathbb{R}, i^2 = -1\}$ - **Intervalles:** - Ouvert: $]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a ### Fonctions Usuelles #### 1. Fonctions Polynômes et Rationnelles - **Polynôme:** $P(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0$ - **Rationnelle:** $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ où P, Q sont des polynômes. #### 2. Fonction Exponentielle - **Définition:** $e^x = \exp(x)$ - **Propriétés:** $e^{x+y} = e^x e^y$, $(e^x)' = e^x$, $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$, $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ - **Développement limité en 0:** $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$ #### 3. Fonction Logarithme Népérien - **Définition:** $\ln(x)$ est la réciproque de $e^x$ pour $x > 0$. - **Propriétés:** $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$, $\ln(x^a) = a \ln(x)$, $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ - **Limites:** $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ - **Développement limité en 0:** $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$ #### 4. Fonctions Puissances - **Définition:** $x^\alpha = e^{\alpha \ln(x)}$ pour $x > 0$. - **Propriétés:** $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$ #### 5. Fonctions Trigonométriques - **Sinus:** $\sin(x)$ - **Cosinus:** $\cos(x)$ - **Tangente:** $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ - **Dérivées:** $(\sin(x))' = \cos(x)$, $(\cos(x))' = -\sin(x)$, $(\tan(x))' = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ - **Formules clés:** $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$ - **Développement limité en 0:** - $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})$ - $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ... + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$ - $\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)$ #### 6. Fonctions Trigonométriques Réciproques - **Arcsin:** $\arcsin(x)$ définie sur $[-1, 1]$, à valeurs dans $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ - $(\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - **Arccos:** $\arccos(x)$ définie sur $[-1, 1]$, à valeurs dans $[0, \pi]$ - $(\arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - **Arctan:** $\arctan(x)$ définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ - $(\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}$ - **Formule:** $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ #### 7. Fonctions Hyperboliques - **Cosinus hyperbolique:** $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ - **Sinus hyperbolique:** $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ - **Tangente hyperbolique:** $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ - **Dérivées:** $(\cosh(x))' = \sinh(x)$, $(\sinh(x))' = \cosh(x)$, $(\tanh(x))' = 1 - \tanh^2(x) = \frac{1}{\cosh^2(x)}$ - **Formule clé:** $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ ### Limites et Continuité - **Définition de la limite:** $\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D_f, |x-a| ### Dérivées - **Définition:** $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ - **Règles de dérivation:** - $(u+v)' = u' + v'$ - $(uv)' = u'v + uv'$ - $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ - $(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'$ - **Dérivées usuelles:** (voir Fonctions Usuelles) - **Théorème de Rolle:** Si $f$ est continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$ et $f(a)=f(b)$, alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c)=0$. - **Théorème des accroissements finis (TAF):** Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$. ### Intégrales - **Définition:** Une primitive $F$ de $f$ est telle que $F' = f$. - **Intégrale définie:** $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ - **Linéarité:** $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$ - **Intégration par parties:** $\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$ - **Changement de variable:** $\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t) dt = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x) dx$ - **Intégrales usuelles:** - $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (pour $n \ne -1$) - $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ - $\int e^x dx = e^x + C$ - $\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$ - $\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$ - $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$ - $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C$ ### Développements Limités (DL) - **Définition:** $f(x) = P_n(x) + o(x^n)$ où $P_n(x)$ est un polynôme de degré $n$. - **Formule de Taylor-Young:** $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o((x-a)^n)$ - **DL usuels en 0:** (voir Fonctions Usuelles) - **Opérations sur les DL:** - Somme: $DL_n(f+g) = DL_n(f) + DL_n(g)$ - Produit: $DL_n(fg) = DL_n(f) \cdot DL_n(g)$ (tronquer à l'ordre $n$) - Quotient: $DL_n(\frac{f}{g}) = DL_n(f) \cdot (DL_n(\frac{1}{g}))$ - Composition: $DL_n(f \circ g)$ (attention si $g(0) \ne 0$) ### Équations Différentielles #### 1. Ordre 1: $y' + a(x)y = b(x)$ - **Homogène:** $y' + a(x)y = 0 \implies y_h(x) = C e^{-\int a(x) dx}$ - **Solution générale:** $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ (avec $y_p$ une solution particulière) - **Méthode de variation de la constante:** Pour trouver $y_p$, on pose $y_p(x) = C(x) e^{-\int a(x) dx}$, puis on remplace dans l'équation complète pour trouver $C'(x)$. #### 2. Ordre 1 Linéaire à coefficients constants: $y' + ay = b(x)$ - **Homogène:** $y' + ay = 0 \implies y_h(x) = C e^{-ax}$ - **Particulière pour $b(x)$ un polynôme:** Chercher $y_p$ un polynôme de même degré. - **Particulière pour $b(x) = K e^{\alpha x}$:** - Si $\alpha \ne -a$, $y_p(x) = A e^{\alpha x}$ - Si $\alpha = -a$, $y_p(x) = Ax e^{\alpha x}$ #### 3. Ordre 2 Linéaire à coefficients constants: $ay'' + by' + cy = f(x)$ - **Équation caractéristique:** $ar^2 + br + c = 0$ - **Solution homogène $y_h(x)$:** - Deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$: $y_h(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ - Une racine réelle double $r_0$: $y_h(x) = (C_1 x + C_2) e^{r_0 x}$ - Deux racines complexes conjuguées $r = \alpha \pm i\beta$: $y_h(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$ - **Solution particulière $y_p(x)$:** - Si $f(x)$ est un polynôme: $y_p(x)$ est un polynôme de même degré (ou de degré $P+k$ si $0$ est racine de l'éq. carac. d'ordre $k$). - Si $f(x) = K e^{\alpha x}$: $y_p(x) = P(x) e^{\alpha x}$ où $P(x)$ est un polynôme (adapter le degré en fonction de si $\alpha$ est racine de l'éq. carac. et son ordre). - Si $f(x) = K \cos(\omega x)$ ou $K \sin(\omega x)$: Chercher $y_p(x) = A \cos(\omega x) + B \sin(\omega x)$ (adapter si $i\omega$ est racine de l'éq. carac.).