Calcul Intégral - Essentiels

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1. Intégrales Indéfinies (Primitives) Définition: Une fonction $F(x)$ est une primitive de $f(x)$ si $F'(x) = f(x)$. Notation: $\int f(x) dx = F(x) + C$, où $C$ est la constante d'intégration. Propriétés Linéaires $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ $\int c \cdot f(x) dx = c \cdot \int f(x) dx$ Table des Primitives Courantes $f(x)$ $\int f(x) dx$ $k$ $kx + C$ $x^n$ ($n \neq -1$) $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ $\frac{1}{x}$ $\ln|x| + C$ $e^x$ $e^x + C$ $a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) $\frac{a^x}{\ln a} + C$ $\sin x$ $-\cos x + C$ $\cos x$ $\sin x + C$ $\sec^2 x$ $\tan x + C$ $\csc^2 x$ $-\cot x + C$ $\sec x \tan x$ $\sec x + C$ $\csc x \cot x$ $-\csc x + C$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arcsin x + C$ $\frac{1}{1+x^2}$ $\arctan x + C$ $\sinh x$ $\cosh x + C$ $\cosh x$ $\sinh x + C$ 2. Techniques d'Intégration Intégration par Substitution (Changement de Variable) Si $u = g(x)$, alors $du = g'(x) dx$. $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$. Exemple: $\int 2x \cos(x^2) dx$. Posons $u=x^2$, $du=2x dx$. Alors $\int \cos(u) du = \sin(u)+C = \sin(x^2)+C$. Intégration par Parties Formule: $\int u \ dv = uv - \int v \ du$. Choisir $u$ et $dv$ judicieusement (règle LIATE ou ILATE: Logarithmique, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle). Exemple: $\int x e^x dx$. Posons $u=x$, $dv=e^x dx$. Alors $du=dx$, $v=e^x$. $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$. Décomposition en Éléments Simples (Fractions Rationnelles) Utilisé pour intégrer des fonctions rationnelles $\frac{P(x)}{Q(x)}$. Décomposer $\frac{P(x)}{Q(x)}$ en une somme de fractions plus simples après avoir factorisé le dénominateur $Q(x)$. Cas 1: Facteurs linéaires distincts: $\frac{A}{ax+b}$. Cas 2: Facteurs linéaires répétés: $\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + ...$. Cas 3: Facteurs quadratiques irréductibles: $\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$. Substitutions Trigonométriques Pour des expressions contenant $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$. $\sqrt{a^2-x^2} \implies x = a \sin \theta$, $dx = a \cos \theta d\theta$. $\sqrt{a^2+x^2} \implies x = a \tan \theta$, $dx = a \sec^2 \theta d\theta$. $\sqrt{x^2-a^2} \implies x = a \sec \theta$, $dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta$. 3. Intégrales Définies Définition: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$. Ceci représente l'aire signée sous la courbe de $f(x)$ entre $x=a$ et $x=b$. Propriétés $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$ $\int_a^a f(x) dx = 0$ $\int_a^b c \cdot f(x) dx = c \cdot \int_a^b f(x) dx$ $\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$ $\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx$ Théorème Fondamental du Calcul (TFC) Partie 1: Si $F(x) = \int_a^x f(t) dt$, alors $F'(x) = f(x)$. Partie 2: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, où $F$ est n'importe quelle primitive de $f$. Valeur Moyenne d'une Fonction $f_{moy} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$. 4. Applications des Intégrales Définies Aire entre Courbes Si $f(x) \ge g(x)$ sur $[a,b]$, l'aire est $\int_a^b [f(x) - g(x)] dx$. Si les courbes se croisent, diviser l'intervalle et prendre la valeur absolue de la différence. Volume de Solides de Révolution Méthode des disques/rondelles: Autour de l'axe des x: $V = \int_a^b \pi [R(x)^2 - r(x)^2] dx$. Autour de l'axe des y: $V = \int_c^d \pi [R(y)^2 - r(y)^2] dy$. Méthode des cylindres (coques): Autour de l'axe des y: $V = \int_a^b 2\pi x f(x) dx$. Autour de l'axe des x: $V = \int_c^d 2\pi y f(y) dy$. Longueur d'Arc Pour $y=f(x)$ de $x=a$ à $x=b$: $L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$. Pour $x=g(y)$ de $y=c$ à $y=d$: $L = \int_c^d \sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy$. Aire de Surface de Révolution Autour de l'axe des x: $S = \int_a^b 2\pi y \sqrt{1 + (y')^2} dx$. Autour de l'axe des y: $S = \int_c^d 2\pi x \sqrt{1 + (x')^2} dy$. Travail Si la force $F(x)$ est variable: $W = \int_a^b F(x) dx$. 5. Intégrales Impropres Intégrales où une ou les deux bornes sont infinies, ou où la fonction a une discontinuité infinie dans l'intervalle d'intégration. Types d'intégrales impropres $\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx$. $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx$. $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^\infty f(x) dx$. Si $f(x)$ a une discontinuité en $c \in [a,b]$: $\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x) dx + \lim_{t \to c^+} \int_t^b f(x) dx$. Une intégrale impropre converge si la limite existe et est finie; sinon, elle diverge . 6. Théorèmes de Guldinus (Pappus) Volume: $V = A \cdot d$, où $A$ est l'aire de la surface plane et $d$ est la distance parcourue par le centroïde de $A$ lors de la révolution. Aire de surface: $S = L \cdot d$, où $L$ est la longueur de la courbe et $d$ est la distance parcourue par le centroïde de $L$ lors de la révolution.