Calcul Intégral : Bases

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Introduction au Calcul Intégral Le calcul intégral est une branche fondamentale des mathématiques qui traite des intégrales, de leurs propriétés et de leurs applications. Il est étroitement lié au calcul différentiel par le Théorème Fondamental du Calcul. Objectif principal : Calculer l'aire sous une courbe, l'accumulation d'une quantité, ou la valeur moyenne d'une fonction. Concepts clés : Intégrale définie, intégrale indéfinie (primitive), somme de Riemann. 1. Intégrale Indéfinie (Primitive) Définition Une fonction $F(x)$ est une primitive de $f(x)$ si $F'(x) = f(x)$. La primitive n'est pas unique; si $F(x)$ est une primitive, alors $F(x) + C$ est aussi une primitive pour toute constante $C$. Notation : $\int f(x) dx = F(x) + C$ $f(x)$ : Intégrand $dx$ : Indique la variable d'intégration $C$ : Constante d'intégration Exemples de Primitives Courantes Fonction $f(x)$ Primitive $\int f(x) dx$ $k$ (constante) $kx + C$ $x^n$ ($n \neq -1$) $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ $\frac{1}{x}$ $\ln|x| + C$ $e^x$ $e^x + C$ $a^x$ $\frac{a^x}{\ln a} + C$ $\sin x$ $-\cos x + C$ $\cos x$ $\sin x + C$ $\sec^2 x$ $\tan x + C$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arcsin x + C$ $\frac{1}{1+x^2}$ $\arctan x + C$ Propriétés Linéarité : $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ 2. Intégrale Définie Définition L'intégrale définie de $f(x)$ de $a$ à $b$, notée $\int_a^b f(x) dx$, représente l'aire algébrique entre la courbe $f(x)$ et l'axe des x, de $x=a$ à $x=b$. $a$ : Borne inférieure d'intégration $b$ : Borne supérieure d'intégration Théorème Fondamental du Calcul (TFC) Si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$, alors : $$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$ Exemple de Calcul Calculer $\int_1^2 x^2 dx$ : Trouver une primitive de $f(x) = x^2$. $F(x) = \frac{x^3}{3}$. Appliquer le TFC : $F(2) - F(1) = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Donc, $\int_1^2 x^2 dx = \frac{7}{3}$. Propriétés de l'Intégrale Définie $\int_a^a f(x) dx = 0$ $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ (pour $a Linéarité : $\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$ $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$ 3. Méthodes d'Intégration Intégration par Substitution (Changement de variable) Utilisée quand l'intégrande contient une fonction et sa dérivée. Soit $u = g(x)$, alors $du = g'(x) dx$. Formule : $\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du$ Exemple : $\int 2x \cos(x^2) dx$ Posons $u = x^2$, alors $du = 2x dx$. L'intégrale devient $\int \cos(u) du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C$. Intégration par Parties Utilisée pour les produits de fonctions. Dérivée du produit : $(uv)' = u'v + uv'$, donc $uv = \int u'v dx + \int uv' dx$. Formule : $\int u dv = uv - \int v du$ Critère de choix (LIATE/ILATE) : L ogarithmique (ex: $\ln x$) I nverse trigonométrique (ex: $\arctan x$) A lgébrique (ex: $x^n$) T rigonométrique (ex: $\sin x$, $\cos x$) E xponentielle (ex: $e^x$) Choisir $u$ comme la fonction la plus élevée dans LIATE. Exemple : $\int x e^x dx$ Posons $u = x$ (Algébrique), $dv = e^x dx$. Alors $du = dx$, $v = e^x$. $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$. 4. Applications Courantes Calcul d'Aire : Aire sous une courbe : $\int_a^b f(x) dx$ (si $f(x) \ge 0$) Aire entre deux courbes : $\int_a^b [f(x) - g(x)] dx$ (si $f(x) \ge g(x)$) Volume de Solides de Révolution : Méthode des disques/rondelles : $V = \pi \int_a^b [R(x)]^2 dx$ ou $V = \pi \int_a^b ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) dx$ Méthode des cylindres : $V = 2\pi \int_a^b x h(x) dx$ Valeur Moyenne d'une Fonction : $f_{moy} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ Physique : Travail : $W = \int_a^b F(x) dx$ Distance parcourue (vitesse) : $D = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$ Variation de quantité (taux de variation) : $\Delta Q = \int_{t_1}^{t_2} Q'(t) dt$ Probabilités et Statistiques : Calcul de probabilités avec les fonctions de densité de probabilité.