Calculus & Vector Analysis

Cheatsheet Content

### Integral Lipat (多重积分) Integral lipat digunakan untuk menghitung volume, massa, momen inersia, dan luas permukaan untuk fungsi multi-variabel. #### Volume Antar Permukaan (曲面之间的体积) Untuk menemukan volume $V$ yang dilingkupi oleh paraboloid $z = x^2 + y^2 + 1$ dan silinder $(x-1)^2 + y^2 = 1$, kita menggunakan integral ganda. $$V = \iint_D (z_{atas} - z_{bawah}) \, dA$$ Di mana $D$ adalah daerah yang didefinisikan oleh silinder di bidang $xy$. #### Integral Permukaan (曲面积分) Integral permukaan digunakan untuk mengintegrasikan di atas suatu permukaan dalam ruang 3D. - **Integral Permukaan Tipe 1 (Medan Skalar):** $$\iint_S f(x,y,z) \, dS$$ Jika permukaan $S$ diberikan oleh $z = g(x,y)$, maka $dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^2} \, dA$. Contoh: $\iint_S \frac{1}{x^2+y^2+z^2} \, dS$ di atas setengah bola $z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$. - **Integral Permukaan Tipe 2 (Medan Vektor - Fluks):** $$\iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS$$ #### Massa dan Pusat Massa (质量和质心) - **Massa suatu permukaan dengan kepadatan $\mu(x,y,z)$:** $$M = \iint_S \mu(x,y,z) \, dS$$ Contoh: Setengah bola $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ dengan kepadatan $\mu_0$. - **Pusat Massa untuk benda 3D:** $$(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) = \left( \frac{M_y}{M}, \frac{M_x}{M}, \frac{M_{xy}}{M} \right)$$ Di mana $M_x, M_y, M_{xy}$ adalah momen terhadap bidang koordinat. Contoh: Untuk benda yang didefinisikan oleh $y=\sqrt{x}$, $y=2\sqrt{x}$, $z=0$, $x+z=6$. #### Momen Inersia (转动惯量) - **Momen inersia $I$ suatu benda terhadap sumbu:** $$I = \iiint_V \rho(x,y,z) r^2 \, dV$$ Di mana $r$ adalah jarak dari elemen massa ke sumbu rotasi. Contoh: Silinder seragam berjari-jari $r$, tinggi $h$, kepadatan $\mu=1$ terhadap sumbunya. ### Integral Garis (曲线积分) Integral garis digunakan untuk mengintegrasikan suatu fungsi sepanjang suatu kurva. #### Integral Garis Tipe 1 (Medan Skalar) (第一类曲线积分) $$\int_C f(x,y,z) \, ds$$ Di mana $ds$ adalah elemen panjang busur. - Jika $C$ diparameterkan oleh $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ untuk $a \le t \le b$: $$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt$$ Contoh: $\int_L (x^2+y^2+z^2) \, ds$ di mana $L$ adalah astroid $x=a\cos^3 t, y=a\sin^3 t$. Contoh: $\int_C \sqrt{x^2+y^2} \, ds$ di mana $C$ adalah lingkaran $x^2+y^2=ax$. #### Integral Garis Tipe 2 (Medan Vektor - Kerja) (第二类曲线积分) $$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_C P \, dx + Q \, dy + R \, dz$$ Di mana $\vec{F} = P\hat{i} + Q\hat{j} + R\hat{k}$. Contoh: $\oint_C (2xy + 3x^2) \, dx + (y^2 - 2xy) \, dy$ di mana $C$ adalah elips $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$. ### Volume Paraboloid dan Silinder (抛物面和圆柱体的体积) **Soal 9.7:** Temukan bidang potong yang meminimalkan volume yang dilingkupi oleh paraboloid $z = x^2 + y^2 + 1$ dan silinder $(x-1)^2 + y^2 = 1$, dan temukan volume minimum ini. Silinder $(x-1)^2 + y^2 = 1$ berpusat di $(1,0)$ dengan jari-jari $1$. Dalam koordinat polar, $x = 1 + r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Paraboloid adalah $z = x^2 + y^2 + 1$. Bidang potong tidak disebutkan, tetapi biasanya, kita mencari volume *di bawah* paraboloid dan *di atas* bidang $xy$ (atau bidang lain yang ditentukan oleh perpotongan). Jika masalah menyiratkan suatu daerah yang dibatasi oleh paraboloid dan silinder, serta suatu bidang, secara implisit ini menunjukkan pencarian volume daerah di mana paraboloid adalah "langit-langit" dan bidang $xy$ (atau dasar silinder) adalah "lantai". Untuk meminimalkan volume, kita biasanya mencari perpotongan atau batas tertentu. Tanpa konteks lebih lanjut tentang "bidang potong", interpretasi umum adalah volume daerah di bawah $z = x^2+y^2+1$ dan di atas bidang $xy$ dalam domain silinder. Daerah $D$ di bidang $xy$ adalah $(x-1)^2 + y^2 \le 1$. Volumenya adalah $V = \iint_D (x^2 + y^2 + 1) \, dA$. Untuk mengevaluasi ini, ubah ke koordinat polar yang disesuaikan dengan silinder. Misalkan $x-1 = r\cos\theta$ dan $y = r\sin\theta$. Jadi $x = 1+r\cos\theta$. Jacobian adalah $r$. $x^2+y^2+1 = (1+r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2 + 1 = 1+2r\cos\theta+r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta + 1 = 2+2r\cos\theta+r^2$. Batas untuk $r$ adalah dari $0$ sampai $1$, dan untuk $\theta$ dari $0$ sampai $2\pi$. $$V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2+2r\cos\theta+r^2) r \, dr \, d\theta$$ $$V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2r+2r^2\cos\theta+r^3) \, dr \, d\theta$$ Integral dalam: $\left[r^2 + \frac{2}{3}r^3\cos\theta + \frac{1}{4}r^4\right]_0^1 = 1 + \frac{2}{3}\cos\theta + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} + \frac{2}{3}\cos\theta$ Integral luar: $\int_0^{2\pi} \left(\frac{5}{4} + \frac{2}{3}\cos\theta\right) \, d\theta = \left[\frac{5}{4}\theta + \frac{2}{3}\sin\theta\right]_0^{2\pi} = \frac{5}{4}(2\pi) + 0 = \frac{5\pi}{2}$. Ini adalah volume *di bawah* paraboloid dan *di atas* bidang $xy$ di dalam silinder. Jika ada "bidang potong" tertentu untuk meminimalkan volume, itu mungkin mengacu pada menemukan nilai $z$ terendah yang mungkin bertindak sebagai batas bawah untuk integral, tetapi tanpa konteks lebih lanjut, interpretasi standar digunakan. ### Luas Permukaan (表面积) Untuk mencari luas permukaan dari bagian permukaan $z = f(x,y)$ di atas daerah $D$ di bidang $xy$: $$A = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2} \, dA$$ #### Contoh: 1. **Silinder $x^2+y^2=1$ dipotong oleh paraboloid $z=x^2$**: Ini menanyakan luas permukaan silinder antara $z=0$ dan $z=x^2$. Silinder dapat diparameterkan sebagai $x=\cos t, y=\sin t$. Namun, jika "dipotong oleh $z=x^2$", itu bisa berarti luas paraboloid $z=x^2$ di atas daerah $x^2+y^2 \le 1$, atau luas dinding silinder. Mengasumsikan itu adalah luas dinding silinder: Untuk $x^2+y^2=1$, kita bisa menggunakan $x=\cos\theta, y=\sin\theta$. Tingginya adalah $z=x^2=\cos^2\theta$. Elemen luas permukaan untuk silinder vertikal adalah $dS = R \, d\theta \, dz$. $$A = \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos^2\theta} (1) \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \left[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_0^{2\pi} = \pi$$ 2. **Kerucut $z=\sqrt{x^2+y^2}$ dipotong oleh paraboloid $z^2=2x$**: Kita perlu luas permukaan kerucut $z=\sqrt{x^2+y^2}$ yang terletak di dalam paraboloid $z^2=2x$. Perpotongan $z^2=x^2+y^2$ dan $z^2=2x$ menyiratkan $x^2+y^2=2x$, atau $(x-1)^2+y^2=1$. Ini adalah silinder di bidang $xy$. Untuk kerucut $z=\sqrt{x^2+y^2}$, $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$. $$dS = \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2+y^2} + \frac{y^2}{x^2+y^2}} \, dA = \sqrt{1 + \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}} \, dA = \sqrt{1+1} \, dA = \sqrt{2} \, dA$$ Daerah $D$ adalah $(x-1)^2+y^2 \le 1$. $$A = \iint_D \sqrt{2} \, dA = \sqrt{2} \cdot (\text{Luas D})$$ Luas $D$ adalah lingkaran dengan jari-jari $1$, jadi $\pi(1)^2 = \pi$. Jadi, $A = \sqrt{2}\pi$. 3. **Paraboloid hiperbolik $z=xy$ dipotong oleh silinder $x^2+y^2=a^2$**: Kita perlu luas permukaan $z=xy$ di atas cakram $x^2+y^2 \le a^2$. $\frac{\partial z}{\partial x} = y$, $\frac{\partial z}{\partial y} = x$. $$dS = \sqrt{1 + y^2 + x^2} \, dA$$ $$A = \iint_{x^2+y^2 \le a^2} \sqrt{1 + x^2 + y^2} \, dA$$ Ubah ke koordinat polar: $x^2+y^2 = r^2$, $dA = r \, dr \, d\theta$. $$A = \int_0^{2\pi} \int_0^a \sqrt{1+r^2} \cdot r \, dr \, d\theta$$ Misalkan $u = 1+r^2$, $du = 2r \, dr$. Ketika $r=0, u=1$. Ketika $r=a, u=1+a^2$. Integral dalam: $\int_1^{1+a^2} \sqrt{u} \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^{1+a^2} = \frac{1}{3}((1+a^2)^{3/2} - 1)$. Integral luar: $\int_0^{2\pi} \frac{1}{3}((1+a^2)^{3/2} - 1) \, d\theta = \frac{2\pi}{3}((1+a^2)^{3/2} - 1)$.