Topologie: Filtres, Colonies, Codénombra

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Table des Matières 1. Filtres sur un Ensemble Définition d'un Filtre Propriétés Exemples Filtre Engendré Ultrafiltres 2. Topologie des Colonies (ou de l'Exclusion) Définition Propriétés Exemples 3. Topologie Codénombrable Définition Propriétés Exemples 1. Filtres sur un Ensemble Définition d'un Filtre Soit $X$ un ensemble non vide. Un filtre sur $X$ est une collection $\mathcal{F}$ de sous-ensembles de $X$ (c'est-à-dire $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$) satisfaisant les trois conditions suivantes : Non-vide et ne contient pas l'ensemble vide : $\mathcal{F} \neq \emptyset$ et $\emptyset \notin \mathcal{F}$. Stabilité par intersection finie : Si $A \in \mathcal{F}$ et $B \in \mathcal{F}$, alors $A \cap B \in \mathcal{F}$. Stabilité par sur-ensemble : Si $A \in \mathcal{F}$ et $A \subseteq B \subseteq X$, alors $B \in \mathcal{F}$. Propriétés Si $X$ est fini, tout filtre est un filtre principal. Un filtre peut être vu comme une généralisation de la notion de voisinage d'un point en topologie. Exemples de Filtres Filtre trivial (ou impropre) : $\mathcal{F} = \{X\}$. C'est un filtre si $X \neq \emptyset$. Filtre cofinie : Sur un ensemble infini $X$, l'ensemble des sous-ensembles de $X$ dont le complémentaire est fini : $\mathcal{F}_{cof} = \{A \subseteq X \mid X \setminus A \text{ est fini}\}$. Filtre de voisinage d'un point : Sur un espace topologique $(X, \tau)$, pour un point $x \in X$, l'ensemble des voisinages de $x$ forme un filtre. Filtre Engendré Soit $X$ un ensemble et $B \subseteq \mathcal{P}(X)$ une collection de sous-ensembles de $X$ telle que : $B \neq \emptyset$ et $\emptyset \notin B$. Pour tout $A, B \in B$, il existe $C \in B$ tel que $C \subseteq A \cap B$. Alors, l'ensemble $\mathcal{F}_B = \{S \subseteq X \mid \exists A \in B, A \subseteq S\}$ est un filtre sur $X$, appelé le filtre engendré par $B$ . $B$ est une base de filtre . Ultrafiltres Un filtre $\mathcal{U}$ sur $X$ est un ultrafiltre si c'est un filtre maximal (par rapport à l'inclusion). C'est-à-dire, si $\mathcal{F}$ est un filtre tel que $\mathcal{U} \subseteq \mathcal{F}$, alors $\mathcal{U} = \mathcal{F}$. Une propriété équivalente est : pour tout $A \subseteq X$, soit $A \in \mathcal{U}$ soit $X \setminus A \in \mathcal{U}$. Le lemme des ultrafiltres (équivalent à l'axiome du choix) stipule que tout filtre peut être étendu à un ultrafiltre. 2. Topologie des Colonies (ou de l'Exclusion) Définition Soit $X$ un ensemble non vide et $p \in X$ un point distingué appelé la "colonie". La topologie des colonies $\tau_p$ sur $X$ est définie par les ouverts suivants : Un sous-ensemble $U \subseteq X$ est ouvert si et seulement si : $U = \emptyset$, ou $p \in U$. En d'autres termes, les seuls ouverts non vides sont ceux qui contiennent le point $p$. Propriétés Espace $T_0$ : Oui, si $X$ a au moins deux points. Pour $x \neq y$, si $x=p$, $X \setminus \{y\}$ est un ouvert contenant $p$ mais pas $y$. Si $y=p$, $X \setminus \{x\}$ est un ouvert contenant $p$ mais pas $x$. Si $x \neq p$ et $y \neq p$, l'ouvert $X \setminus \{y\}$ contient $p$ et $x$ mais pas $y$. Espace $T_1$ : Non, sauf si $X$ est un singleton. Si $X$ a au moins deux points, les singletons ne sont pas fermés. Pour tout $x \neq p$, $\{x\}$ n'est pas fermé car son complémentaire $X \setminus \{x\}$ contient $p$ et est donc ouvert. Espace de Hausdorff ($T_2$) : Non, sauf si $X$ est un singleton. Deux points $x, y \in X$ ne peuvent être séparés par des ouverts disjoints à moins que l'un d'eux soit $p$ et que l'autre soit le seul point de $X$. Si $X$ a plus d'un point, tout ouvert non vide contient $p$. Donc, deux ouverts non vides ont toujours $p$ en commun. Compacité : L'espace est compact. Toute couverture ouverte doit contenir un ouvert $U$ tel que $p \in U$. Les autres points de $X \setminus U$ peuvent être couverts par d'autres ouverts. Si $X$ est infini, une couverture finie peut être construite en prenant un ouvert $O_p$ contenant $p$ et pour chaque $x \in X \setminus O_p$, un ouvert $O_x$ contenant $x$. Mais par définition, tout $O_x$ doit contenir $p$, ce qui est une contradiction. Donc, $X \setminus O_p$ doit être fini. Connexité : L'espace est connexe. Si $X = A \cup B$ avec $A, B$ ouverts non vides et disjoints, alors $p \in A$ et $p \in B$, ce qui contredit $A \cap B = \emptyset$. Exemples $X = \{a, b\}$ avec $p=a$. Les ouverts sont $\emptyset, \{a\}, \{a, b\}$. Les fermés sont $X, \{b\}, \emptyset$. 3. Topologie Codénombrable Définition Soit $X$ un ensemble non dénombrable. La topologie codénombrable $\tau_{co}$ sur $X$ est définie par les ouverts suivants : Un sous-ensemble $U \subseteq X$ est ouvert si et seulement si : $U = \emptyset$, ou Le complémentaire $X \setminus U$ est un ensemble dénombrable. Note : Si $X$ est dénombrable, cette topologie est la topologie discrète (tout sous-ensemble est ouvert, car son complémentaire est fini ou dénombrable, donc dénombrable). Propriétés Espace $T_0$ : Oui. Pour $x \neq y$, $X \setminus \{y\}$ est ouvert et contient $x$ mais pas $y$. Espace $T_1$ : Oui. Pour tout $x \in X$, le complémentaire $X \setminus \{x\}$ est ouvert (car $\{x\}$ est fini, donc dénombrable). Donc $\{x\}$ est fermé. Par conséquent, l'espace est $T_1$. Espace de Hausdorff ($T_2$) : Non, si $X$ est non dénombrable. Supposons que $U$ et $V$ soient des ouverts non vides et disjoints. Alors $X \setminus U$ et $X \setminus V$ sont dénombrables. L'ensemble $U \cap V = \emptyset$ implique $X = (X \setminus U) \cup (X \setminus V)$. La réunion de deux ensembles dénombrables est dénombrable, ce qui contredit le fait que $X$ est non dénombrable. Donc, il n'existe pas d'ouverts non vides disjoints, et l'espace n'est pas de Hausdorff. Compacité : L'espace n'est pas compact si $X$ est non dénombrable. Considérons la couverture ouverte $\{X \setminus \{x\} \mid x \in X\}$. Toute sous-couverture finie $\{X \setminus \{x_1\}, ..., X \setminus \{x_n\}\}$ ne peut pas couvrir $X$ car $\bigcup_{i=1}^n (X \setminus \{x_i\}) = X \setminus \{x_1, ..., x_n\} \neq X$. Connexité : L'espace est connexe si $X$ est non dénombrable. Si $X = A \cup B$ avec $A, B$ ouverts non vides et disjoints, alors $X \setminus A$ et $X \setminus B$ sont dénombrables. $A = X \setminus (X \setminus A)$ et $B = X \setminus (X \setminus B)$. Puisque $A \cap B = \emptyset$, nous avons $X = (X \setminus A) \cup (X \setminus B)$, ce qui est une réunion de deux ensembles dénombrables, donc $X$ est dénombrable, une contradiction. Exemples L'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ avec la topologie codénombrable. Tout ensemble non dénombrable avec cette topologie.