Calcul Vectoriel - Torseurs

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1. Définitions 1.1. Espace Vectoriel Un espace vectoriel $E$ sur un corps commutatif $K$ est un ensemble de vecteurs avec les propriétés suivantes : $E$ est muni d'une structure de groupe commutatif pour l'addition vectorielle $(+)$. $\forall \lambda, \mu \in K$ et $\forall \vec{u}, \vec{v} \in E$, on a : $\lambda(\vec{u} + \vec{v}) = \lambda\vec{u} + \lambda\vec{v}$ et $\lambda(\mu\vec{u}) = (\lambda\mu)\vec{u}$. 1.2. Espace Vectoriel Euclidien Un espace vectoriel $E$ est euclidien s'il est muni d'un produit scalaire $f$ qui à $\vec{u}, \vec{v} \in E$, fait correspondre le nombre réel $f(\vec{u}, \vec{v})$ tel que : $f(\vec{u}, \vec{v}) = f(\vec{v}, \vec{u})$ $f(\vec{u}, \lambda\vec{v}) = \lambda f(\vec{u}, \vec{v})$ $f(\vec{u}, \vec{v} + \vec{w}) = f(\vec{u}, \vec{v}) + f(\vec{u}, \vec{w})$ $f(\vec{u}, \vec{u}) \ge 0$ (égalité si $\vec{u} = \vec{0}$) Notation : $f(\vec{u}, \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{v}$. 1.3. Espace Affine - Espace Métrique 1.3.1. Espace Affine Un espace affine $\mathcal{E}$ est un ensemble de points tel qu'à tout couple ordonné de points $A$ et $B$ (bipoints), on fait correspondre un vecteur $\vec{AB}$ d'un espace $E$. Si $A, B, C \in \mathcal{E}$, on a : $\vec{AB} = -\vec{BA}$ $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ $\forall O \in \mathcal{E}$ et $\vec{u} \in E, \exists ! A \in \mathcal{E}$ défini par $\vec{OA} = \vec{u}$. 1.3.2. Espace Métrique Un espace métrique est un espace affine auquel on a associé un espace vectoriel euclidien. 2. Vecteurs - Moment d'un Vecteur 2.1. Vecteur lié - Vecteur glissant 2.1.1. Vecteur lié Couple $(A, \vec{u})$ formé de $A \in \mathcal{E}$ (origine) et d'un vecteur $\vec{u}$ de $E$ (grandeur vectorielle). Notation : $(A, \vec{u}) = \vec{u}(A)$. 2.1.2. Vecteur glissant Vecteur défini à un glissement près sur un axe $(\Delta)$ appelé support. Notation : $(\Delta, \vec{u})$. $\vec{u}$ A $(\Delta)$ Figure 1: Représentation d'un vecteur glissant 2.2. Opérations sur les Vecteurs 2.2.1. Produit Scalaire Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cos(\vec{u}, \vec{v})$ Propriétés : Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$. Distributivité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$. Multiplication par un réel : $\lambda\vec{u} \cdot \alpha\vec{v} = \lambda\alpha (\vec{u} \cdot \vec{v})$. Dans une base orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, le produit scalaire de $\vec{v_1} = (x_1, y_1, z_1)$ et $\vec{v_2} = (x_2, y_2, z_2)$ s'écrit : $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0 \iff \vec{v_1} \perp \vec{v_2}$. 2.2.2. Produit Vectoriel Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$, est un vecteur tel que : $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est perpendiculaire au plan $(\vec{u}, \vec{v})$. Le trièdre $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})$ est direct. La norme de $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est : $||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \sin(\vec{u}, \vec{v})$. La norme $||\vec{u} \wedge \vec{v}||$ représente la surface du parallélogramme défini par $\vec{u}$ et $\vec{v}$. $\vec{u}$ $\vec{v}$ A B C D Figure 2: Représentation géométrique du produit vectoriel Propriétés : Antisymétrie : $\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}$. Distributivité : $\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}$. Multiplication par un réel : $\lambda\vec{u} \wedge \alpha\vec{v} = \lambda\alpha (\vec{u} \wedge \vec{v})$. Application à une base orthonormée directe $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ : $\vec{x} \wedge \vec{x} = \vec{0}$; $\vec{y} \wedge \vec{y} = \vec{0}$; $\vec{z} \wedge \vec{z} = \vec{0}$. $\vec{x} \wedge \vec{y} = \vec{z}$; $\vec{y} \wedge \vec{z} = \vec{x}$; $\vec{z} \wedge \vec{x} = \vec{y}$. $\vec{y} \wedge \vec{x} = -\vec{z}$; $\vec{z} \wedge \vec{y} = -\vec{x}$; $\vec{x} \wedge \vec{z} = -\vec{y}$. Cas de nullité : Un des vecteurs est nul. Les vecteurs sont colinéaires $\iff \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$. Dans une base orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, le produit vectoriel de $\vec{v_1} = (x_1, y_1, z_1)$ et $\vec{v_2} = (x_2, y_2, z_2)$ s'écrit : $\vec{v_1} \wedge \vec{v_2} = (y_1z_2 - z_1y_2)\vec{x} + (z_1x_2 - x_1z_2)\vec{y} + (x_1y_2 - y_1x_2)\vec{z}$. 2.2.3. Double Produit Vectoriel Soient trois vecteurs $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \in E$. $\vec{v_1} \wedge (\vec{v_2} \wedge \vec{v_3}) = (\vec{v_1} \cdot \vec{v_3})\vec{v_2} - (\vec{v_1} \cdot \vec{v_2})\vec{v_3}$. 2.2.4. Produit Mixte Soient trois vecteurs $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \in E$. Le produit mixte est noté $(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3})$ tel que : $(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}) = \vec{v_1} \cdot (\vec{v_2} \wedge \vec{v_3})$. Propriétés : Permutation des opérateurs : $(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}) = (\vec{v_1} \wedge \vec{v_2}) \cdot \vec{v_3}$. Distributivité : $(\vec{v_1} + \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}) = (\vec{v_1}, \vec{v_3}, \vec{v_4}) + (\vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4})$. Multiplication par un réel : $(\lambda\vec{v_1}, \mu\vec{v_2}, \gamma\vec{v_3}) = \lambda\mu\gamma (\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3})$. Permutation des vecteurs : $(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}) = -(\vec{v_2}, \vec{v_1}, \vec{v_3})$. Permutation circulaire : $(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}) = (\vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_1}) = (\vec{v_3}, \vec{v_1}, \vec{v_2})$. Expression analytique : Dans une base orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, le produit mixte de trois vecteurs $\vec{v_1}=(x_1, y_1, z_1)$, $\vec{v_2}=(x_2, y_2, z_2)$ et $\vec{v_3}=(x_3, y_3, z_3)$ se calcule à partir du déterminant suivant : $$ (\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}) = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix} = x_1(y_2z_3 - y_3z_2) + x_2(y_3z_1 - y_1z_3) + x_3(y_1z_2 - y_2z_1) $$ 2.3. Moment d'un Vecteur en un Point On appelle moment au point $A$ du glisseur $(P, \vec{v})$, noté $\mathcal{M}_A(P, \vec{v})$ ou $\mathcal{M}_A(\vec{v})$ le vecteur suivant : $\mathcal{M}_A(\vec{v}) = \vec{AP} \wedge \vec{v}$. Propriétés : Le moment au point $A$ du glisseur $(P, \vec{v})$ est indépendant du choix de $P$ sur le support $(D)$ du glisseur. Relation des moments d'un vecteur en deux points différents : $\mathcal{M}_B(\vec{v}) = \vec{BP} \wedge \vec{v} = (\vec{BA} + \vec{AP}) \wedge \vec{v} = \vec{BA} \wedge \vec{v} + \vec{AP} \wedge \vec{v}$ $\implies \mathcal{M}_B(\vec{v}) = \mathcal{M}_A(\vec{v}) + \vec{BA} \wedge \vec{v}$. 3. Torseurs 3.1. Définition Un torseur est un outil mathématique utilisé en mécanique du solide indéformable pour décrire les mouvements et les actions mécaniques. Il est caractérisé par un champ de vecteurs antisymétriques et un vecteur $\vec{R}$. Notation : Un torseur $[\mathcal{T}]$ est caractérisé par la donnée de $\vec{R}$ et de son champ en un point. Si $O \in \mathcal{E}$ et $M$ est un point quelconque, on a $\vec{u}(M) = \vec{u}(O) + \vec{R} \wedge \vec{OM}$. On note $[\mathcal{T}(O)] = [\vec{R}, \vec{u}(O)]$ ou encore $[\mathcal{T}] = \begin{Bmatrix} \vec{R} \\ \vec{u}(O) \end{Bmatrix}_O$. Les vecteurs $\vec{R}$ et $\vec{u}(O)$ sont appelés les éléments de réduction du torseur $[\mathcal{T}]$ en $O$. $\vec{R}$: résultante du torseur $\vec{u}(O)$: moment du torseur au point $O$ 3.2. Application Antisymétrique L'application $\mathcal{L}: E \to E$ définie par $\vec{u} \mapsto \mathcal{L}(\vec{u})$ est antisymétrique si et seulement si : $\forall (\vec{u}, \vec{v}) \in E^2, \vec{u} \cdot \mathcal{L}(\vec{v}) = -\vec{v} \cdot \mathcal{L}(\vec{u})$. Proposition : Si $\mathcal{L}$ est antisymétrique, $\exists ! \vec{R} \in E$ tel que : $\mathcal{L}(\vec{u}) = \vec{R} \wedge \vec{u}$ ($\forall \vec{u} \in E$). 3.3. Champ Antisymétrique Un champ de vecteurs $\vec{u}(M)$ est dit antisymétrique s'il existe une application antisymétrique $\mathcal{L}$ telle que $\forall M, N \in \mathcal{E}$, on a la relation $\vec{u}(N) = \vec{u}(M) + \mathcal{L}(\vec{MN})$. Si $\vec{R}$ est le vecteur associé à $\mathcal{L}$, on a la relation $\vec{u}(N) = \vec{u}(M) + \vec{R} \wedge \vec{MN}$, $\forall M, N \in \mathcal{E}$. 3.4. Opérations sur les Torseurs 3.4.1. Addition des Torseurs Considérons les torseurs $[\mathcal{T}_1(O)] = [\vec{R}_1, \vec{u}_1(O)]$ et $[\mathcal{T}_2(O)] = [\vec{R}_2, \vec{u}_2(O)]$. La somme $[\mathcal{T}(O)] = [\mathcal{T}_1(O)] + [\mathcal{T}_2(O)]$ a pour éléments de réduction en $O$ : $\vec{R} = \vec{R}_1 + \vec{R}_2$ $\vec{u}(O) = \vec{u}_1(O) + \vec{u}_2(O)$ 3.4.2. Multiplication d'un Torseur par un Scalaire Si $[\mathcal{T}_1(O)] = [\vec{R}_1, \vec{u}_1(O)]$, alors $\lambda[\mathcal{T}_1(O)]$ a pour éléments de réduction en $O$ : $\lambda\vec{R}_1$ $\lambda\vec{u}_1(O)$ 3.4.3. Comoment ou Produit Scalaire de Deux Torseurs Considérons les torseurs $[\mathcal{T}_1(O)] = [\vec{R}_1, \vec{u}_1(O)]$ et $[\mathcal{T}_2(O)] = [\vec{R}_2, \vec{u}_2(O)]$. Le comoment est le scalaire donné par : $[\mathcal{T}_1(O)] \cdot [\mathcal{T}_2(O)] = \vec{R}_1 \cdot \vec{u}_2(O) + \vec{R}_2 \cdot \vec{u}_1(O)$. 3.4.4. Égalité de Deux Torseurs $[\mathcal{T}_1(O)] = [\mathcal{T}_2(O)] \iff \begin{cases} \vec{R}_1 = \vec{R}_2 \\ \vec{u}_1(O) = \vec{u}_2(O) \end{cases}$ 3.4.5. Invariant Scalaire d'un Torseur Entre deux points $O$ et $O'$ de l'espace, la résultante $\vec{R}$ et la projection du moment sur la résultante sont conservées. Celles-ci constituent les invariants du torseur : Premier invariant : la résultante $\vec{R}$. Second invariant : la projection du moment du torseur sur sa résultante : $\forall O, \forall O'$, $\vec{u}(O') = \vec{u}(O) + \vec{R} \wedge \vec{OO'} \implies \vec{R} \cdot \vec{u}(O') = \vec{R} \cdot \vec{u}(O) = I$. 3.5. Axe Central d'un Torseur L'axe central $(\Delta)$ d'un torseur $[\mathcal{T}(O)] = [\vec{R}, \vec{u}(O)]$ avec $\vec{R} \ne \vec{0}$, est le lieu des points $P$ tels que $\vec{u}(P) \wedge \vec{R} = \vec{0}$. Équation de $(\Delta)$ : Si $P \in (\Delta) \implies \vec{u}(P) \wedge \vec{R} = \vec{0}$. $\implies (\vec{u}(O) + \vec{R} \wedge \vec{OP}) \wedge \vec{R} = \vec{0}$ $\implies \vec{u}(O) \wedge \vec{R} + (\vec{R} \wedge \vec{OP}) \wedge \vec{R} = \vec{0}$ $\implies \vec{u}(O) \wedge \vec{R} + (\vec{R} \cdot \vec{R})\vec{OP} - (\vec{R} \cdot \vec{OP})\vec{R} = \vec{0}$. Donc $\vec{OP} = \frac{\vec{R} \wedge \vec{u}(O)}{||\vec{R}||^2} + \mu \vec{R}$ avec $\mu \in \mathbb{R}$. L'axe central d'un torseur $[\vec{R}, \vec{u}(O)]$ est la droite $(\Delta)$ de vecteur directeur $\vec{R}$ et passant par le point $P_0$ tel que : $\vec{OP_0} = \frac{\vec{R} \wedge \vec{u}(O)}{||\vec{R}||^2}$. 3.6. Classification des Torseurs 3.6.1. Glisseur Le torseur $[\mathcal{T}(O)] = [\vec{R}, \vec{u}(O)]$ est un glisseur si son invariant scalaire est nul : $\vec{R} \cdot \vec{u}(O) = 0$ et $\vec{R} \ne \vec{0}$. Remarque : Sur l'axe central d'un glisseur, $\vec{u}(P) = \vec{0}$ $\forall P \in (\Delta)$ car $\vec{R} // \vec{u}(P)$ et $\vec{R} \cdot \vec{u}(P) = 0$ avec $\vec{R} \ne \vec{0}$. 3.6.2. Couple Le torseur $[\mathcal{T}(O)] = [\vec{R}, \vec{u}(O)]$ est un couple si $\vec{R} = \vec{0}$. Le champ $\vec{u}(M)$ devient alors indépendant de $M$. Remarque : Il n'existe pas d'axe central pour un couple. Proposition : Le torseur $[\mathcal{T}(O)] = [\vec{R}, \vec{u}(O)]$ peut être décomposé en la somme d'un glisseur et d'un couple. 4. Changement de position géométrique des solides rigides 4.1. Espace Repère-Solide rigide 4.1.1. Espace repère L'espace est considéré comme homogène, isotrope et euclidien. Il est défini par l'association d'une horloge $\mathcal{H}$ et d'un repère $\mathcal{R}_0(O, \vec{b}_0)$ avec $O$ l'origine et $\vec{b}_0 = (\vec{i}_0, \vec{j}_0, \vec{k}_0)$ une base orthonormée directe. Si un point $M \in \mathcal{E}$ est en mouvement par rapport à $\mathcal{R}_0$, ses coordonnées varient en fonction du temps. Le vecteur position de $M$ par rapport à $\mathcal{R}_0$ est $\vec{OM}(t)$. Le vecteur vitesse de $M$ par rapport à $\mathcal{R}_0$ : $\vec{v}(M/\mathcal{R}_0) = \left(\frac{d\vec{OM}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0}$. Le vecteur accélération de $M$ par rapport à $\mathcal{R}_0$ : $\vec{\gamma}(M/\mathcal{R}_0) = \left(\frac{d\vec{v}(M/\mathcal{R}_0)}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} = \left(\frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}\right)_{\mathcal{R}_0}$. 4.1.2. Paramétrage de la position d'un solide Le mouvement d'un solide $(S)$ dans un référentiel $\mathcal{R}(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ peut être décomposé en : Un mouvement de translation suite aux changements de sa position. Un mouvement de rotation suite aux changements de son orientation. Pour étudier le mouvement de $(S)$, on lui lie rigidement un référentiel orthonormé direct arbitraire, $\mathcal{R}_S(O_S, \vec{I}, \vec{J}, \vec{K})$, ayant pour origine un point quelconque $O_S$ lié à $(S)$. Le mouvement de $(S)$ dans $(\mathcal{R})$ est complètement déterminé par le mouvement de $(\mathcal{R}_S)$ dans $(\mathcal{R})$. Il suffit de paramétrer la position de $O_S$ et l' orientation de la base $(\vec{I}, \vec{J}, \vec{K})$ de $(\mathcal{R}_S)$ par rapport à $(\mathcal{R})$. Paramétrage de la position de l'origine $O_S$ : Coordonnées cartésiennes : $(x, y, z)$ Coordonnées cylindriques : $(\rho, \theta, z)$ Coordonnées sphériques : $(r, \theta, \phi)$ Paramétrage de l'orientation de la base $(\vec{I}, \vec{J}, \vec{K})$ : l'orientation de la base $(\vec{I}, \vec{J}, \vec{K})$ de $(\mathcal{R}_S)$ par rapport à la base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de $(\mathcal{R})$ est paramétrée par trois angles d'Euler : $\psi, \theta, \phi$. Le mouvement de rotation de $(S)$ peut être décomposé en trois rotations planes successives autour de trois axes de rotation. Fixons l'origine $O_S$ de $(\mathcal{R}_S)$ avec l'origine $O$ de $(\mathcal{R})$ afin d'éliminer la translation. La première rotation s'effectue autour de l'axe $(O_S\vec{k})$ avec l'angle $\psi$ tel que : $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \to (\vec{u}, \vec{v}, \vec{k})$. La base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{k})$ s'appelle première base intermédiaire. k $\vec{u}$ $\psi$ j i k $\vec{u}$ j i $\psi$ Le vecteur rotation instantanée de $\mathcal{R}_1(O_S, \vec{u}, \vec{v}, \vec{k})$ par rapport à $(\mathcal{R})$ autour de l'axe de rotation $(O_S\vec{k})$ avec la vitesse angulaire $\dot{\psi}$ est : $\vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}) = \dot{\psi}\vec{k}$. La deuxième rotation s'effectue autour de l'axe $(O_S\vec{u})$ avec l'angle $\theta$ : $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{k}) \to (\vec{u}, \vec{w}, \vec{K})$. La base $(\vec{u}, \vec{w}, \vec{K})$ s'appelle deuxième base intermédiaire. $\vec{u}$ k K $\theta$ w $\vec{u}$ k K $\theta$ w Le vecteur rotation instantanée de $\mathcal{R}_2(O_S, \vec{u}, \vec{w}, \vec{K})$ par rapport à $\mathcal{R}_1(O_S, \vec{u}, \vec{v}, \vec{k})$ autour de l'axe de rotation $(O_S\vec{u})$ avec la vitesse angulaire $\dot{\theta}$ est : $\vec{\Omega}(\mathcal{R}_2/\mathcal{R}_1) = \dot{\theta}\vec{u}$. La troisième rotation s'effectue autour de l'axe $(O_S\vec{K})$ avec l'angle $\phi$ tel que : $(\vec{u}, \vec{w}, \vec{K}) \to (\vec{I}, \vec{J}, \vec{K})$. K $\vec{I}$ $\phi$ J u K $\vec{I}$ J u $\phi$ Le vecteur rotation instantanée de $\mathcal{R}_S(O_S, \vec{I}, \vec{J}, \vec{K})$ par rapport à $\mathcal{R}_2(O_S, \vec{u}, \vec{w}, \vec{K})$ autour de l'axe de rotation $(O_S\vec{K})$ avec la vitesse angulaire $\dot{\phi}$ est : $\vec{\Omega}(\mathcal{R}_S/\mathcal{R}_2) = \dot{\phi}\vec{K}$. L'appellation des angles d'Euler est d'origine astronomique : $\psi$: angle de précession (mouvement de rotation lent autour de la verticale). $\theta$: angle de nutation (mouvement d'oscillation de l'axe de rotation propre du solide). $\phi$: angle de rotation propre (mouvement de rotation autour de l'axe du solide). La droite $D(O_S, \vec{u})$ s'appelle axe nodal ou ligne des nœuds . Un solide non rectiligne libre est paramétré par $n=3+3=6$ coordonnées généralisées (paramètres primitifs). Remarques : Un point matériel libre est décrit par $n=3$ paramètres primitifs (coordonnées de position). La position d'un système matériel constitué de $n_1$ solides non rectilignes, de $n_2$ solides rectilignes non ponctuels libres et de $n_3$ points matériels libres, dépend de $n$ coordonnées généralisées tel que : $n = 6n_1 + 5n_2 + 3n_3$. 4.1.3. Définition d'un solide rigide Un solide rigide ou indéformable est un ensemble de points matériels dont les distances mutuelles restent constantes au cours du temps. Soient $A$ et $B$ deux points d'un solide $(S)$. $\vec{i}_0$ $\vec{j}_0$ $\vec{k}_0$ O $(\mathcal{R}_0)$ $(S)$ A B $\vec{AB}$ $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = \text{cte}$ (c'est le carré de la distance entre les points $A$ et $B$). $\vec{AB}$ peut dépendre du temps par sa direction. En effet : $\vec{AB} = \vec{OB}(t) - \vec{OA}(t)$ (vecteur variable). Or $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = \text{cte} \iff \vec{AB} \cdot \left(\frac{d\vec{AB}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} = 0$. De manière générale, soit $\vec{A_1B_1}$ et $\vec{A_2B_2}$ deux vecteurs donnés pris dans le solide. Le produit scalaire $\vec{A_1B_1} \cdot \vec{A_2B_2}$ se conserve au cours du temps compte tenu du caractère isométrique des déplacements dans le solide. Il vient alors de cette propriété que : $\left(\frac{d(\vec{A_1B_1} \cdot \vec{A_2B_2})}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} = 0 \iff \vec{A_1B_1} \cdot \left(\frac{d\vec{A_2B_2}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} = -\vec{A_2B_2} \cdot \left(\frac{d\vec{A_1B_1}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0}$. 4.2. Notion des champs des vitesses et des accélérations En mécanique du point matériel (sans dimension), il est impossible de lui concevoir un mouvement de rotation propre. Par contre, pour la mécanique du solide, ce dernier peut effectuer une rotation sur lui-même, elle est définissable et mesurable. D'où l'intérêt de l'introduction de la notion des champs des vitesses et des accélérations afin de décrire et de modéliser les rotations de l'objet sur lui-même. 4.2.1. Dérivée d'un vecteur lié à un référentiel mobile Dans l'étude de la cinématique du solide, on est généralement amené à considérer deux ou trois référentiels. Il est donc indispensable de connaître, pour les besoins de calcul des vitesses et des accélérations, la relation qui lie les dérivées d'un vecteur dans différents référentiels. Soit $B(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ la base du repère orthonormé directe $\mathcal{R}(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, de même soit $B(\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)$ la base du repère orthonormé directe : $\mathcal{R}_1(O, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)$, pour cette illustration on considère que $\vec{z}$ et $\vec{z}_1$ sont confondus. Considérons un vecteur $\vec{V}$ exprimé dans la base du repère $\mathcal{R}_1$ : $\vec{V} = a\vec{x}_1 + b\vec{y}_1 + c\vec{z}_1$ où $a,b$ et $c$ sont fonction du temps. $$ \left(\frac{d\vec{V}}{dt}\right)_{\mathcal{R}} = \left(\frac{d\vec{V}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_1} + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}) \wedge \vec{V} \quad \text{(Formule de VARIGNON)} $$ 4.2.2. Champ des vitesses d'un solide Pour un solide on a $\vec{AB} \cdot \left(\frac{d\vec{AB}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} = 0 \quad \forall A, B \in (S)$. $\implies \vec{AB} \cdot (\vec{v}(B/\mathcal{R}_0) - \vec{v}(A/\mathcal{R}_0)) = 0 \implies \vec{AB} \cdot \vec{v}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{AB} \cdot \vec{v}(A/\mathcal{R}_0)$. On déduit que le champ des vitesses d'un solide est équiprojectif et par conséquent c'est un champ antisymétrique. Ainsi, $\exists ! \vec{\Omega}$ tel que : $\vec{v}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(A/\mathcal{R}_0) + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$ (Formule Fondamentale de la Cinématique du Solide) Soit $\mathcal{R}$ un repère lié au solide. En utilisant la relation $\left(\frac{d\vec{AB}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} = \left(\frac{d\vec{AB}}{dt}\right)_{\mathcal{R}} + \vec{\Omega}(\mathcal{R}/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{AB}$. $\left(\frac{d\vec{AB}}{dt}\right)_{\mathcal{R}} = \vec{0}$ car $\vec{AB}$ fixe dans $\mathcal{R}$, on voit $\vec{\Omega}$ n'est autre que le vecteur rotation instantanée de $\mathcal{R}$ par rapport à $\mathcal{R}_0$. Le champ des vitesses d'un solide est donc un torseur, on l'appelle torseur cinématique . Ses éléments de réduction au point $A$ sont : $\{\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) \text{ : sa résultante}, \vec{v}(A/\mathcal{R}_0) \text{ : son vecteur moment}\}$ On le note $[\mathcal{V}(S/\mathcal{R}_0)]_A = [\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0), \vec{v}(A/\mathcal{R}_0)]$. Remarque : Si $\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) \ne \vec{0}$, alors l'axe central $(\Delta)$ du torseur cinématique existe et on l'appelle axe instantané de rotation et de glissement ou encore axe de viration . 4.2.3. Champ des accélérations d'un solide Pour $A, B \in (S)$ on a $\vec{v}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(A/\mathcal{R}_0) + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$. En dérivant cette relation par rapport au temps on obtient : $$ \vec{\gamma}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{\gamma}(A/\mathcal{R}_0) + \left(\frac{d\vec{\Omega}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} \wedge \vec{AB} + \vec{\Omega} \wedge \left(\frac{d\vec{AB}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} $$ Finalement : $\vec{\gamma}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{\gamma}(A/\mathcal{R}_0) + \left(\frac{d\vec{\Omega}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} \wedge \vec{AB} + \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{AB})$. En général, le terme $\vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{AB})$ n'est pas nul. Par conséquent, le champ des accélérations d'un solide n'est pas représentable par un torseur. 4.3. Mouvements de translation-rotation-tangent 4.3.1. Mouvement de translation-Couple Le solide $(S)$ est animé d'un mouvement de translation par rapport à $\mathcal{R}_0$ si $\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) = \vec{0}, \forall t$. Il en résulte que $\forall A, B \in (S), \vec{v}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(A/\mathcal{R}_0)$. $\vec{i}_0$ $\vec{j}_0$ $\vec{k}_0$ O $(\mathcal{R}_0)$ $(S)$ A B $\vec{AB}$ $(S)$ A' B' $\vec{A'B'}$ $\vec{AA'}$ $\vec{BB'}$ De plus, dans un mouvement de translation on a : $\vec{AB} = \vec{A'B'}$ et $\vec{AA'} = \vec{BB'} \quad \forall t$ (le vecteur $\vec{AB}$ reste équipollent à lui-même). Dans ce cas $[\mathcal{V}(A)] = [\vec{0}, \vec{v}(A/\mathcal{R}_0)]$ : dans un mouvement de translation, le torseur cinématique est un couple. 4.3.2. Rotation d'un solide autour d'un axe fixe Supposons que $(S)$ est en mouvement de rotation autour d'un axe $(\Delta)$, fixe dans $\mathcal{R}_0$ (de manière instantanée ou permanente). Soit $A$ un point appartenant à $(\Delta) \implies \vec{v}(A/\mathcal{R}_0) = \vec{0}$. Soit $M \in (S)$ alors : $\vec{v}(M/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(A/\mathcal{R}_0) + \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{AM}$, avec $\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) \ne \vec{0}$ (sinon le solide serait au repos). L'invariant scalaire $I = \vec{v}(M/\mathcal{R}_0) \cdot \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) = 0$. Dans ce cas de figure, le torseur cinématique est un glisseur . Appelons $(\Delta')$ l'axe central du torseur cinématique et $(\Delta)$ l'axe de rotation du solide. Proposition : Les axes $(\Delta)$ et $(\Delta')$ sont confondus. Remarques : Lorsqu'il s'agit d'une rotation de $(S)$ autour d'un axe $(\Delta)$ on retient que : Le torseur cinématique est un glisseur. L'axe de rotation du solide est l'axe central du glisseur. $[\mathcal{V}(A)] = [\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0), \vec{0}]$ si $A \in (\Delta)$. $[\mathcal{V}(B)] = [\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0), \vec{v}(B/\mathcal{R}_0)]$ si $B \notin (\Delta)$. 4.3.3. Mouvement hélicoïdal Dans un mouvement hélicoïdal, tout point $M \in (S)$ tourne autour d'un axe $(\Delta)$ et, en même temps se déplace suivant cet axe. Soit $A$ un point de $(S)$ appartenant à $(\Delta)$. On a : $\vec{v}(M/\mathcal{R}_0) = \underbrace{\vec{v}(A/\mathcal{R}_0)}_{\text{translation}} + \underbrace{\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{AM}}_{\text{rotation}}$. L'invariant scalaire n'est pas nul dans un mouvement hélicoïdal. 4.3.4. Mouvement général d'un solide : mouvement tangent $\forall A, B \in (S)$, on a la relation de transfert suivante : $\vec{v}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(A/\mathcal{R}_0) + \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{AB}$. Si, à un instant $t$ donné, $\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) = \vec{0}$, $\vec{v}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(A/\mathcal{R}_0)$ et on dira alors, qu'à cet instant, le mouvement du solide est tangent à une translation. Si, à un instant $t$ donné, $\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) \ne \vec{0}$, on dira alors, qu'à cet instant, le torseur cinématique admet un axe central $(\Delta)$. Soit $H \in (\Delta)$ on a : $\vec{v}(M/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(H/\mathcal{R}_0) + \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{HM}$. Si $\vec{v}(H/\mathcal{R}_0) = \vec{0}$, on dira que le mouvement du solide est tangent à une rotation d'axe $(\Delta)$. Si $\vec{v}(H/\mathcal{R}_0) \ne \vec{0}$ le mouvement du solide est dit tangent à un mouvement hélicoïdal ayant $(\Delta)$ comme axe instantané de rotation. 4.4. Composition des Mouvements Il s'agit de déterminer le mouvement du solide par rapport à un repère $\mathcal{R}_0$, sachant que son mouvement est connu par rapport à un repère $\mathcal{R}_1$. Considérons : $\mathcal{R}_0(O, \vec{i}_0, \vec{j}_0, \vec{k}_0)$ un repère absolu (repère fixe) ; $\mathcal{R}_1(O_1, \vec{i}_1, \vec{j}_1, \vec{k}_1)$ un repère mobile ; $\mathcal{R}(G, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ un repère lié au solide. 4.4.1. Dérivation vectorielle Soit $A$ et $B$ deux points $\in \mathcal{E}$, fixes dans $\mathcal{R}_1 \implies \vec{AB}$ est un vecteur constant dans $\mathcal{R}_1$. $\left(\frac{d\vec{AB}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{AB}$ (Relation fondamentale) Conséquences : $\left(\frac{d\vec{i}_1}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{i}_1$ $\left(\frac{d\vec{j}_1}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{j}_1$ $\left(\frac{d\vec{k}_1}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{k}_1$ Soit $A, B \in \mathcal{E}$, mobiles dans $\mathcal{R}_1 \implies \vec{AB} = a(t)\vec{i}_1 + b(t)\vec{j}_1 + c(t)\vec{k}_1$. $$ \left(\frac{d\vec{AB}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} = \left(\frac{d\vec{AB}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_1} + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{AB} $$ 4.4.2. Compositions des vitesses Soit $M \in (S)$, on peut écrire $\vec{OM} = \vec{OO_1} + \vec{O_1M}$. $\vec{v}(M/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(O_1/\mathcal{R}_0) + \vec{v}(M/\mathcal{R}_1) + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{O_1M}$. D'où $\vec{v}_a(M) = \vec{v}_r(M) + \vec{v}_e(M)$ où : $\vec{v}_a(M) = \vec{v}(M/\mathcal{R}_0)$ : vitesse absolue du point $M$. $\vec{v}_r(M) = \vec{v}(M/\mathcal{R}_1)$ : vitesse relative du point $M$. $\vec{v}_e(M) = \vec{v}(O_1/\mathcal{R}_0) + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{O_1M}$ : vitesse d'entraînement du point $M$. 4.4.3. Compositions des vecteurs rotations $$ \vec{\Omega}(\mathcal{R}/\mathcal{R}_0) = \sum_{i=1}^{n} \vec{\Omega}(\mathcal{R}_i/\mathcal{R}_{i-1}) $$ 4.4.4. Compositions des accélérations Considérons $M \in (S)$ et utilisons la loi de composition des vitesses : $$ \vec{\gamma}(M/\mathcal{R}_0) = \vec{\gamma}(M/\mathcal{R}_1) + \vec{\gamma}(O_1/\mathcal{R}_0) + \left(\frac{d\vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} \wedge \vec{O_1M} + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge (\vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{O_1M}) + 2\vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{v}(M/\mathcal{R}_1) $$ Ce qui peut s'écrire : $\vec{\gamma}_a(M) = \vec{\gamma}_r(M) + \vec{\gamma}_e(M) + \vec{\gamma}_c(M)$ avec : $\vec{\gamma}_a(M) = \vec{\gamma}(M/\mathcal{R}_0)$ : accélération absolue. $\vec{\gamma}_r(M) = \vec{\gamma}(M/\mathcal{R}_1)$ : accélération relative. $\vec{\gamma}_e(M) = \vec{\gamma}(O_1/\mathcal{R}_0) + \left(\frac{d\vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} \wedge \vec{O_1M} + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge (\vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{O_1M})$ : accélération d'entraînement. $\vec{\gamma}_c(M) = 2\vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{v}(M/\mathcal{R}_1)$ : accélération de Coriolis. 4.5. Cinématique des solides en contact Deux solides $(S_1)$ et $(S_2)$ sont en contact, à un instant $t$ s'ils ont un ensemble commun de points matériels qui coïncident. Le contact entre deux solides est soit ponctuel (un seul point de contact) soit multi-ponctuel (linéique ou surfacique). Le contact entre deux solides se traduit par une contrainte appelée liaison qui limite le mouvement relatif d'un solide par rapport à l'autre. Le nombre de degrés de liberté $N$ est généralement inférieur au nombre de paramètres primitifs $n$ : $N = n - N_l$ ($N_l$ est le nombre de liaisons). 4.5.1. Contact ponctuel Considérons deux solides $(S_1)$ et $(S_2)$ en mouvement par rapport à un référentiel $\mathcal{R}_0(O, \vec{i}_0, \vec{j}_0, \vec{k}_0)$ de manière à ce que leurs surfaces restent en contact ponctuel. À chaque instant, on doit distinguer 3 points confondus dont les vitesses et les accélérations sont différentes en général : Le point matériel $I_1$ ($I_1 \in S_1$) Le point matériel $I_2$ ($I_2 \in S_2$) Le point géométrique $I$ (non lié) Au cours du temps, le point $I$ est confondu avec les différents points matériels de contact. $\vec{i}_0$ $\vec{j}_0$ $\vec{k}_0$ O $(\mathcal{R}_0)$ $\vec{i}_1$ $\vec{j}_1$ O$_1$ $(\mathcal{R}_1)$ $(S_1)$ I$_1$ $\vec{i}_2$ $\vec{j}_2$ O$_2$ $(\mathcal{R}_2)$ $(S_2)$ I$_2$ I 4.5.1.1. Vitesse de glissement Le glissement décrit un mouvement relatif entre deux solides en contact. On appelle vitesse de glissement de $(S_1)$ et $(S_2)$, la vitesse de $I_1$ par rapport à $(S_2)$. Notation : $\vec{v}_g(S_1/S_2) = \vec{v}(I_1/S_2) = \vec{v}(I_1/\mathcal{R}_2)$ où $I_1 \in (S_1)$ et $\mathcal{R}_2$ est lié à $(S_2)$. Autres expressions de cette vitesse : $\vec{v}_g(S_1/S_2) = \vec{v}(I_1/\mathcal{R}_0) - \vec{v}(I_2/\mathcal{R}_0)$. De manière générale : $\vec{v}_g(S_1/S_2) = \left(\frac{d\vec{I_1I_2}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0} - \vec{v}(I_1/\mathcal{R}_0) + \vec{v}(I_2/\mathcal{R}_0)$. C'est une vitesse indépendante du repère par rapport auquel $(S_1)$ et $(S_2)$ sont en mouvement, et elle est contenue dans le plan tangent $(\pi)$ commun à $(S_1)$ et $(S_2)$. 4.5.1.2. Roulement et pivotement Soit $M \in (S_1)$, la relation de transfert du torseur cinématique peut s'écrire comme suit : $\vec{v}(M/S_2) = \vec{v}(I_1/S_2) + \vec{\Omega}(S_1/S_2) \wedge \vec{I_1M} = \vec{v}_g(S_1/S_2) + \vec{\Omega}(S_1/S_2) \wedge \vec{I_1M}$. Le vecteur $\vec{\Omega}(S_1/S_2)$ peut se décomposer comme suit : $\vec{\Omega}(S_1/S_2) = \vec{\Omega}_r + \vec{\Omega}_p$. $\vec{\Omega}_r = \vec{n} \wedge [\vec{\Omega}(S_1/S_2)] \wedge \vec{n}$ : vecteur rotation instantanée de roulement qui correspond à une rotation autour de l'axe $(I; \vec{n})$ tangent (parallèle) au plan tangent $(\pi)$. $\vec{\Omega}_p = [\vec{\Omega}(S_1/S_2) \cdot \vec{n}]\vec{n}$ : vecteur rotation instantanée de pivotement qui correspond à une rotation autour de l'axe $(I; \vec{n})$ normal (perpendiculaire) au plan tangent $(\pi)$. Finalement : $\vec{v}(M/S_2) = \vec{v}_g(S_1/S_2) + \vec{\Omega}_r \wedge \vec{I_1M} + \vec{\Omega}_p \wedge \vec{I_1M}$. Remarque : Lorsque la vitesse de glissement est nulle, on dit qu'il y a roulement et pivotement. 4.5.2. Contact multi-ponctuel : Quelques types de liaisons 4.5.2.1. Liaison rotoïde (pivot) Un solide $(S_1)$ est soumis à une liaison rotoïde d'axe $(\Delta, \vec{k})$ par rapport au solide $(S_2)$, si et seulement si, le seul mouvement possible de $(S_1)$ par rapport à $(S_2)$ est le mouvement de rotation d'axe $(\Delta, \vec{k})$. Par rapport au solide $(S_2)$, le solide $(S_1)$ n'a qu'un seul degré de liberté : une rotation (d'angle $\phi$) autour de l'axe $(\Delta, \vec{k})$. $\vec{\Omega}(S_1/S_2) = \dot{\phi}\vec{k}$, $\vec{v}(A \in S_1/S_2) = \vec{0}$ $A \in$ l'axe fixe de rotation. Le torseur cinématique de la liaison pivot d'axe $(\Delta, \vec{k})$ est un glisseur. $[\mathcal{V}(S_1/S_2)]_A = [\dot{\phi}\vec{k}, \vec{0}]$ et $\vec{v}(M \in S_1/S_2) = \dot{\phi}\vec{k} \wedge \vec{AM}$. k S2 (Cylindre) S1 (Piston) A $\vec{\Omega}$ 4.5.2.2. Liaison glissière Un solide $(S_1)$ est soumis à une liaison glissière d'axe $(\Delta, \vec{k})$ par rapport au solide $(S_2)$, si et seulement si, le seul mouvement possible de $(S_1)$ par rapport à $(S_2)$ est le mouvement de translation d'axe $(\Delta, \vec{k})$. Par rapport au solide $(S_2)$, le solide $(S_1)$ n'a qu'un seul degré de liberté : une translation (de paramètre $\lambda$) selon l'axe $(\Delta, \vec{k})$. $\vec{\Omega}(S_1/S_2) = \vec{0}$, $\vec{v}(A \in S_1/S_2) = \dot{\lambda}\vec{k}$ $A$ est un point de $(S_1)$. Le torseur cinématique de la liaison glissière d'axe $(\Delta, \vec{k})$ est un couple. $[\mathcal{V}(S_1/S_2)]_A = [\vec{0}, \dot{\lambda}\vec{k}]$. S2 S1 $\vec{k}$ A 4.5.2.3. Liaison verrou (Pivot-glissant) Un solide $(S_1)$ est soumis à une liaison verrou d'axe $(\Delta, \vec{k})$ par rapport au solide $(S_2)$, si et seulement si, les seuls mouvements possibles de $(S_1)$ par rapport à $(S_2)$ sont les mouvements de rotation d'axe $(\Delta, \vec{k})$ et de translation d'axe $(\Delta, \vec{k})$. Par rapport au solide $(S_2)$, le solide $(S_1)$ n'a que deux degrés de liberté : une rotation (d'angle $\phi$) autour de l'axe $(\Delta, \vec{k})$ et une translation (de paramètre $\lambda$) selon l'axe $(\Delta, \vec{k})$. $\vec{\Omega}(S_1/S_2) = \dot{\phi}\vec{k}$, $\vec{v}(A \in S_1/S_2) = \dot{\lambda}\vec{k}$ $A \in$ l'axe fixe de rotation. Le torseur cinématique de la liaison pivot-glissant d'axe $(\Delta, \vec{k})$ s'écrit : $[\mathcal{V}(S_1/S_2)]_A = [\dot{\phi}\vec{k}, \dot{\lambda}\vec{k}]$. Et $\vec{v}(M \in S_1/S_2) = \dot{\lambda}\vec{k} + \dot{\phi}\vec{k} \wedge \vec{AM}$. k S2 (Cylindre) S1 (Piston) A $\vec{\Omega}$ $\vec{v}$ 4.5.2.4. Liaison sphérique (ou rotule) Un solide $(S_1)$ est soumis à une liaison sphérique au point $A$ par rapport au solide $(S_2)$, si et seulement si, les seuls mouvements possibles de $(S_1)$ par rapport à $(S_2)$ sont les mouvements de rotation autour du point fixe $A$. Par rapport au solide $(S_2)$, le solide $(S_1)$ à trois degrés de liberté : les trois rotations correspondant aux angles d'Euler : $\psi, \theta, \phi$. $\vec{\Omega}(S_1/S_2) = \dot{\psi}\vec{K} + \dot{\theta}\vec{u} + \dot{\phi}\vec{k}$, $\vec{v}(A \in S_1/S_2) = \vec{0}$. Le torseur cinématique de la liaison rotule de centre $A$ est un glisseur et s'écrit : $[\mathcal{V}(S_1/S_2)]_A = [\dot{\psi}\vec{K} + \dot{\theta}\vec{u} + \dot{\phi}\vec{k}, \vec{0}]$. Et $\vec{v}(M \in S_1/S_2) = (\dot{\psi}\vec{K} + \dot{\theta}\vec{u} + \dot{\phi}\vec{k}) \wedge \vec{AM}$. S2 A S1 $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ 4.6. Mouvement plan d'un solide 4.6.1. Définition On appelle mouvement plan d'un solide $(S)$, un mouvement tel que chaque point de $(S)$ se déplace dans un plan parallèle à un plan fixe $(\Pi_0)$ dans le référentiel considéré $\mathcal{R}_0$. Le mouvement plan peut s'interpréter comme étant une rotation (instantanée) pure autour de l'axe $(\Delta)_I \cap (\Pi)$ en $I$ avec $I \in (\Delta)$ du glisseur (l'axe $(\Delta)$ peut changer dans le temps). $\Pi_0$ $\Pi$ $\vec{k}$ I $\vec{\Omega}$ A $\vec{v}(A/\mathcal{R}_0)$ 4.6.2. Centre instantané de rotation (C.I.R) L'axe instantané de rotation est un terme utilisé en mécanique classique et plus particulièrement en cinématique pour désigner l'axe autour duquel tourne un solide à un instant donné par rapport à un référentiel. C'est un point lié à $(S)$ par nature et admettant une vitesse nulle dans $(\mathcal{R}_0)$ à l'instant considéré. Le point $I \in (\Pi) \cap (\Delta)$ est le centre instantané de rotation car $\vec{v}(I/S) = \vec{0}$ ($I$ est lié à $(S)$) et $\vec{v}(I/\mathcal{R}_0) = \vec{0}$ ($I \in (\Delta)$, axe fixe de $\mathcal{R}_0$). Remarque : $I$ est donc un point central du torseur cinématique de $S$ par rapport à $\mathcal{R}_0$. Le CIR correspond donc à l'intersection de l'axe central du torseur cinématique de $S/\mathcal{R}$ avec le plan d'évolution du solide $S$. Le CIR est 'instantané', c'est-à-dire, dans le cas général, sa position est attachée à un instant donné et à une position particulière du mécanisme. Remarque : Pour trouver la position géométrique du CIR, il suffit de tracer des perpendiculaires aux vecteurs vitesses du solide. Corps rigide I A $\vec{v}(A/\mathcal{R}_0)$ B $\vec{v}(B/\mathcal{R}_0)$ C $\vec{v}(C/\mathcal{R}_0)$ 4.6.3. CIR, Base et roulante-Étude analytique La trajectoire du CIR dans le plan $(\Pi_0)$ est appelée base du mouvement plan sur plan de $(\Pi)$ par rapport à $(\Pi_0)$. La trajectoire du CIR dans le plan $(\Pi)$ est appelée roulante du mouvement plan sur plan de $(\Pi)$ par rapport à $(\Pi_0)$. Soit $P \in (S)$, la position du CIR $I$, s'obtient analytiquement par l'expression : $\vec{IP} = \frac{\vec{v}(P/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{\Omega}(\mathcal{R}/\mathcal{R}_0)}{||\vec{\Omega}(\mathcal{R}/\mathcal{R}_0)||^2}$ si $\mathcal{R}$ étant un repère lié au solide. 4.6.3.1. Équation de la base Soient $\mathcal{R}_0(O, \vec{i}_0, \vec{j}_0, \vec{k}_0)$ un repère fixe et $\mathcal{R}(O_S, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ un repère lié au solide. Le vecteur position du point $I$ dans le repère $\mathcal{R}_0$ (décrivant la base) est exprimé par la relation : $\vec{OI} = \vec{OO_S} + \vec{O_SI}$ où $\vec{OO_S} = x\vec{i}_0 + y\vec{j}_0$ et $\vec{O_SI} = \frac{\vec{\Omega}(\mathcal{R}/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{v}(O_S/\mathcal{R}_0)}{||\vec{\Omega}(\mathcal{R}/\mathcal{R}_0)||^2}$. 4.6.3.2. Équation de la roulante Pour obtenir la trajectoire de $I$ dans le repère $\mathcal{R}$ lié au solide (appelé roulante), il suffit d'exprimer les vecteurs unitaires du repère $\mathcal{R}_0$ en fonction de ceux de $\mathcal{R}$ et de remplacer dans l'expression du vecteur position : $\vec{O_SI} = \frac{\vec{\Omega}(\mathcal{R}/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{v}(O_S/\mathcal{R}_0)}{||\vec{\Omega}(\mathcal{R}/\mathcal{R}_0)||^2}$. Connaissant la matrice de passage de $\mathcal{R}_0$ vers $\mathcal{R}$, il est très facile de déduire la trajectoire de la roulante à partir de la base ou inversement. 5. Géométrie des masses 5.1. Masse-Centre de masse/ Centre d'inertie 5.1.1. Définition La mécanique classique, la masse d'un système matériel $(S)$ est une grandeur physique qui est : Strictement positive : $m(S) > 0$. Additive (extensive) : $\forall$ la fragmentation de $(S)$ en sous-systèmes $(S_i)$, $m(S) = \sum m(S_i)$. Invariante : même valeur dans tous les référentiels. Conservée pour un système fermé (Solide par exemple) : $\frac{dm}{dt} = 0$. 5.1.2. Système discret Si le système $(S)$ est constitué d'un ensemble de $N$ points matériels de masse $m_i$ ($i = 1, \dots, N$), alors d'après la propriété d'additivité, la masse totale $m$ du système est : $m = \sum_{i=1}^{N} m_i$. 5.1.3. Système continu Si le système $(S)$ est continu (par exemple un solide), alors la masse totale du système est : $m = \int_{(S)} dm$, où $dm$ est la masse élémentaire d'un élément de matière de $(S)$. Pour une Distribution Volumique de masse volumique $\rho = \frac{dm}{dV}$ (kg/m$^3$), la masse totale s'écrit : $m = \int_{(S)} dm = \iiint_V \rho(P)dV$. Pour une Distribution Surfacique de masse surfacique $\sigma = \frac{dm}{dS}$ (kg/m$^2$), la masse totale s'écrit : $m = \int_{(S)} dm = \iint_S \sigma(P)dS$. Pour une Distribution Linéique de masse linéique $\lambda = \frac{dm}{dl}$ (kg/m), la masse totale s'écrit : $m = \int_{(S)} dm = \int_L \lambda(P)dl$. Pour toutes ces intégrales, l'élément de masse $dm$ contient le point $P$. S'il s'agit de corps homogène alors $\rho(P) = \text{cste}$, $\sigma(P) = \text{cste}$ et $\lambda(P) = \text{cste}$. Ainsi $m = \rho V$, $m = \sigma S$ et $m = \lambda L$ respectivement. 5.2. Centre de masse/ Centre d'inertie On l'appelle également centre d'inertie et on le note $G$ en général. 5.2.1. Définitions Système discret Dans le cas de $n$ points matériels $P_i$ de masse $m_i$, on a : $m(S)\vec{OG} = \sum_{i=1}^{n} m_i\vec{OP_i}$. $O$ est un point quelconque de l'espace. Si $O = G$ on aura : $\sum_{i=1}^{n} m_i\vec{GP_i} = \vec{0}$. Système continu $m\vec{OG} = \int_{(S)} \vec{OP}dm$, $dm$ désignant un élément de masse autour $P$ et $m = \int_{(S)} dm$. Si $O = G$ on aura : $\int_{(S)} \vec{GP}dm = \vec{0}$. 5.2.2. Remarques Si $(S) = (S_1) + (S_2) + \dots + (S_n)$ alors on aura : $m\vec{OG} = \sum_{i=1}^{n} m_i\vec{OG_i}$, avec $m_i = m(S_i)$, $i=1,2,\dots,n$ et $m = \sum_{i=1}^{n} m_i$. 5.2.3. Théorème de Guldin Les méthodes pratiques de recherche de $G$ dans le cas de corps homogènes : Quand c'est possible, on décompose le système en éléments plus simples dont on connaît les centres de masse, puis on détermine le barycentre de ceux-ci (exemple : centre de masse du système sphère - cylindre). Utiliser les symétries du système lorsqu'elles existent : le centre de masse appartient aux éléments de symétrie. Lorsqu'il s'agit de déterminer les centres de masse d'arcs, de courbes planes ou de surfaces planes on regarde s'il y a une possibilité d'utiliser un des deux théorèmes de Guldin. 5.2.3.1. Théorème 1 Soit la courbe plane de la figure ci-contre, homogène, de longueur $L$ et de Centre de masse $G$. La rotation de cette courbe, autour d'un axe de rotation $(\Delta)$, ne la coupant pas, engendre une surface d'aire $S$. La distance de $G$ à $(\Delta)$ est : $d = \frac{S}{2\pi L}$. $\Delta$ G d Exemple d'application 1 : Détermination du centre de masse $G$ d'un quart de cercle de rayon $R$. 5.2.3.2. Théorème 2 Soit la surface plane de la figure ci-contre, homogène, d'aire $S$ et de Centre de masse $G$. La rotation de cette surface autour d'un axe $(\Delta)$, ne la coupant pas, engendre un Volume $V$. La distance de $G$ à $(\Delta)$ est : $d = \frac{V}{2\pi S}$. $\Delta$ G d Exemple d'application 2 : Détermination du centre de masse d'un quart de disque homogène de rayon $R$. 5.3. Centre de masse de volume ou de surface homogène présentant un axe de symétrie Exemple : Cas d'un demi-disque homogène de rayon $R$. Ce demi-disque est l'union de deux quarts de disque. Le centre de masse $G$ est tel que: $m_1\vec{OG_1} + m_2\vec{OG_2} = (m_1+m_2)\vec{OG} \implies X_G = 0$ et $Y_G = \frac{4R}{3\pi}$. y x G O Calcul direct de $G$ : Par raison de symétrie, l'élément de surface de côte $y$ et d'épaisseur $dy$, admet $G$ comme centre de masse tel que : $m\vec{OG} = \int_{(S)} \vec{OP}dm$, $dm = 2 \sigma r dy$ et $m = \sigma S$. $r = R \cos\theta$; $y = R \sin\theta \implies dy = R \cos\theta d\theta$. $m y_G = \int_{(S)} y dm \implies y_G = \frac{1}{S} \int_0^R y (2r dy) = \frac{1}{S} \int_0^{\pi/2} R \sin\theta (2 R \cos\theta R \cos\theta d\theta) = \frac{4R}{3\pi}$. 6. Moment d'inertie-Opérateur d'inertie 6.1. Moment d'inertie Le moment d'inertie est une grandeur qui caractérise la géométrie des masses d'un solide, c'est-à-dire la répartition de la matière en son sein. Il quantifie également la résistance à une mise en rotation de ce solide (ou plus généralement à une accélération angulaire). On peut définir la distance de $M$ par rapport à un point $O$, une droite $(\Delta)$ ou au plan $(\pi)$. Il leur correspond respectivement des moments d'inertie par rapport à un point, un axe ou un plan. Ils sont définis par $r^2 dm$, avec $r$ désignant la distance du point $M$, de masse $dm$, par rapport au $O$, à l'axe $(\Delta)$ ou au plan $(\pi)$. Pour un solide continu $(S)$, le moment d'inertie est la quantité $\int_{(S)} r^2 dm$. Notations : $I(O,S)$, $I(\Delta,S)$ et $I(\pi,S)$ ou simplement $I_O, I_\Delta$ et $I_\pi$. Considérons le cas de la figure ci-dessous, soit un élément de masse $dm$ autour de $M \in (S)$. y z x O M $(S)$ La distance entre $M$ et le plan $xOy$ est $z$. Le moment d'inertie de $M$ par rapport à ce plan est $z^2 dm$. Le moment d'inertie de $(S)$ par rapport à $xOy$ est $I(xOy, S) = \int_{(S)} z^2 dm$. Par permutation, on aura $I(xOz,S) = \int_{(S)} y^2 dm$ et $I(yOz,S) = \int_{(S)} x^2 dm$. Le carré de la distance de $M$ par rapport à $(Oz)$ est $(OM)^2 = x^2 + y^2 \implies I(Oz,S) = \int_{(S)} (x^2 + y^2) dm$. De même : $I(Ox,S) = \int_{(S)} (z^2 + y^2) dm$ et $I(Oy,S) = \int_{(S)} (x^2 + z^2) dm$. Le carré de la distance entre les points $M$ et $O$ est $(OM)^2 = x^2 + y^2 + z^2$. $\implies I(O,S) = \int_{(S)} (x^2 + y^2 + z^2) dm$. Comme, relations entre ces grandeurs on peut écrire : $(OM)^2 = x^2 + y^2 + z^2 = (x^2) + (y^2) + (z^2) \implies I(O,S) = I(yOz,S) + I(xOz,S) + I(xOy,S)$. $(OM)^2 = \frac{1}{2}((x^2+y^2) + (x^2+z^2) + (y^2+z^2)) \implies I(O,S) = \frac{1}{2}(I(Ox,S) + I(Oy,S) + I(Oz,S))$. $(OM)^2 = (x^2+y^2) + z^2 = (x^2+z^2) + y^2 = x^2 + (y^2+z^2)$. $\implies I(O,S) = I(Oz,S) + I(xOy,S) = I(Oy,S) + I(xOz,S) = I(Ox,S) + I(yOz,S)$. 6.2. Opérateur d'inertie en un point $O$ Considérons l'axe $(\Delta)$ passant par $O$ et de vecteur unitaire $\vec{u}$: $I(\Delta,M) = r^2 dm$ et $I(\Delta,S) = \int_{(S)} r^2 dm$. D'après la figure on a : $r = OM \sin\alpha = ||\vec{OM}|| \sin\alpha = ||\vec{u} \wedge \vec{OM}||$. Donc : $r^2 = (\vec{u} \wedge \vec{OM}) \cdot (\vec{u} \wedge \vec{OM})$. Par permutation circulaire on obtient : $r^2 = [\vec{OM} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OM})] \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot [\vec{OM} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OM})]$. $I(\Delta,S) = \int_{(S)} r^2 dm = \int_{(S)} \vec{u} \cdot [\vec{OM} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OM})] dm = \vec{u} \cdot J_O(S,\vec{u})$. Cette expression fait apparaître un opérateur linéaire qu'on appelle opérateur d'inertie du solide $(S)$ au point $O$ noté $J_O(S,\vec{u})$ : $J_O(S,\vec{u}) = J(O,S)(\vec{u}) = \int_{(S)} [\vec{OM} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OM})] dm$. Cet opérateur a la dimension d'un moment d'inertie kg$\cdot$m$^2$. L'opérateur $J(O,S)$ dépend du point $O$ puisque les distances sont mesurées par $\vec{OM}$. Considérons l'application : $E \to E$ telle que $\vec{u} \mapsto J(O,S)(\vec{u})$. $J(O,S)$ est une application linéaire. $J(O,S)$ est une application symétrique i.e. $\vec{v}\cdot J(O,S)(\vec{u}) = \vec{u}\cdot J(O,S)(\vec{v})$. Démonstration en exercice. 6.3. Matrice d'inertie-Matrice principale d'inertie 6.3.1. Matrice d'inertie Soit $B = (\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ une base orthonormée directe de $E$. À l'opérateur $J(O,S)$, on peut associer une matrice dans cette base. Soit $\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, avec $M \in (S)$. $J(O,S)(\vec{i}) = \int_{(S)} [\vec{OM} \wedge (\vec{i} \wedge \vec{OM})] dm = \int_{(S)} [\vec{OM} \wedge (y\vec{k} - z\vec{j})] dm$. $J(O,S)(\vec{i}) = \int_{(S)} [\vec{OM} \wedge (y\vec{k} - z\vec{j})] dm = \int_{(S)} [(x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \wedge (y\vec{k} - z\vec{j})] dm$ $ = \int_{(S)} (-xy \vec{j} - xz \vec{k} + y^2 \vec{i} + z^2 \vec{i}) dm = \int_{(S)} (y^2+z^2) dm \vec{i} - \int_{(S)} xy dm \vec{j} - \int_{(S)} xz dm \vec{k}$. Finalement : $J(O,S)(\vec{i}) = I_{Ox}\vec{i} - F\vec{j} - E\vec{k}$ $J(O,S)(\vec{j}) = -F\vec{i} + I_{Oy}\vec{j} - D\vec{k}$ $J(O,S)(\vec{k}) = -E\vec{i} - D\vec{j} + I_{Oz}\vec{k}$ Habituellement, les moments d'inertie du solide par rapport aux 03 axes sont notés $A, B$ et $C$, les autres termes, notés $D, E$ et $F$, sont appelés les produits d'inertie. $A = I_{Ox} = \int_{(S)} (y^2+z^2) dm$; $B = I_{Oy} = \int_{(S)} (x^2+z^2) dm$; $C = I_{Oz} = \int_{(S)} (x^2+y^2) dm$. $D = \int_{(S)} yz dm$; $E = \int_{(S)} xz dm$; $F = \int_{(S)} xy dm$. Les termes $A, B, C \ge 0$ alors que $D, E, F \ge$ ou $\le 0$. Considérons $\vec{u} = \alpha\vec{i} + \beta\vec{j} + \gamma\vec{k}$ ($\vec{u}$ vecteur unitaire : $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$) alors on a : $I(\Delta,S) = \vec{u} \cdot J(O,S)(\vec{u}) = (\alpha\vec{i} + \beta\vec{j} + \gamma\vec{k}) \cdot [J(O,S)(\alpha\vec{i}) + J(O,S)(\beta\vec{j}) + J(O,S)(\gamma\vec{k})]$. $ = (\alpha\vec{i} + \beta\vec{j} + \gamma\vec{k}) \cdot [\alpha(A\vec{i} - F\vec{j} - E\vec{k}) + \beta(-F\vec{i} + B\vec{j} - D\vec{k}) + \gamma(-E\vec{i} - D\vec{j} + C\vec{k})]$. Soit : $I(\Delta,S) = \alpha^2 A + \beta^2 B + \gamma^2 C - 2\beta\gamma D - 2\alpha\gamma E - 2\alpha\beta F$. De la relation de $J(O,S)(\vec{u})$, on peut déduire que l'on passe de $\vec{u}$ à $J(O,S)(\vec{u})$ par une application linéaire représentée dans la base $B$ par la matrice symétrique $(3 \times 3)$ suivante : $$ \Pi_O(S) = \begin{pmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{pmatrix} $$ : matrice d'inertie ou tenseur d'inertie en $O$ dans la base $B$. C'est la représentation de l'opérateur d'inertie dans la base de projection. La connaissance de la matrice d'inertie en $O$ permet de déduire facilement les composantes du vecteur $J(O,S)(\vec{u})$ : $$ \begin{pmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha A - \beta F - \gamma E \\ -\alpha F + \beta B - \gamma D \\ -\alpha E - \beta D + \gamma C \end{pmatrix} $$ $I(\Delta,S) = \vec{u} \cdot J(O,S)(\vec{u}) = \vec{u}^T \cdot \Pi_O(S) \cdot \vec{u} = (\alpha \quad \beta \quad \gamma) \begin{pmatrix} \alpha A - \beta F - \gamma E \\ -\alpha F + \beta B - \gamma D \\ -\alpha E - \beta D + \gamma C \end{pmatrix}$ $\implies I(\Delta,S) = \alpha^2 A + \beta^2 B + \gamma^2 C - 2\beta\gamma D - 2\alpha\gamma E - 2\alpha\beta F$. Remarque : Dans la représentation matricielle, l'écriture de $I_\Delta$ est une écriture symbolique qui présente l'avantage de la simplicité et de la commodité. 6.3.2. Relations entre les moments d'inertie $I_O(S) = \frac{1}{2}(I(Ox,S) + I(Oy,S) + I(Oz,S))$. $A+B = C + 2 \int_{(S)} z^2 dm$. Exercice d'application 3 : Déterminer la matrice d'inertie du quart de cerceau au point $O$, relativement à la base $B(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. 6.3.3. Matrice d'inertie en cas de symétrie Si le système $(S)$ possède des éléments de symétrie matérielle (axe de rotation, plan de symétrie, inversion), certains éléments de la matrice d'inertie s'annulent. Exemple 1 : $(Oz)$ est un axe de symétrie matérielle L'image d'un point $P(x,y,z)$ du solide par l'axe de symétrie $(Oz)$ est un point $P'(-x,-y,z)$ du solide. Alors $E = \int_{(S)} xz dm = \int_{x \ge 0} xz dm + \int_{x \le 0} xz dm = 0$ car $\int_{x \ge 0} xz dm = -\int_{x \le 0} xz dm$. De manière similaire, on a $D = 0$. Par conséquent : Si $(Oz)$ est un axe de symétrie matérielle alors $E = D = 0$. Conclusion : Tout axe de symétrie matérielle est un axe principal d'inertie. Exemple 2 : $(xOy)$ est un plan de symétrie matérielle L'image d'un point $P(x,y,z)$ du solide par le plan de symétrie $(xOy)$ est un point $P'(x,y,-z)$ du solide. Alors $E = \int_{(S)} xz dm = \int_{z \ge 0} xz dm + \int_{z \le 0} xz dm = 0$ car $\int_{z \ge 0} xz dm = -\int_{z \le 0} xz dm$. De manière similaire, on a $D = 0$. Par conséquent : Si $(xOz)$ est un plan de symétrie matérielle alors $E = D = 0$. Conclusion : Tous les termes d'inertie en $z$ sont nuls $\implies$ tout axe à un plan de symétrie matérielle est un axe principal d'inertie. Exemple 3 : $(Oz)$ est un axe de symétrie de révolution matérielle Tout plan contenant l'axe $(Oz)$ est un plan de symétrie matérielle. Donc d'après l'exemple 2 : $(xOz)$ est un plan de symétrie matérielle alors : $F = D = 0$. $(yOz)$ est un plan de symétrie matérielle alors : $E = D = 0$. De plus : par rotation d'angle $\pi/2$ autour de l'axe $(Oz)$ : $(x,y,z) \to (y,-x,z)$ implique que $A = B$. 6.3.4. Matrice principale d'inertie Lorsque les produits d'inertie de la matrice $\Pi_O(S)$ sont nuls dans la base $B$, le repère $\mathcal{R}(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ sera appelé repère principal d'inertie, ses axes sont les axes principaux d'inertie et la matrice $\Pi_O(S)$ est la matrice principale d'inertie. $$ \Pi_O(S) = \begin{pmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & C \end{pmatrix} $$ Base principale d'inertie = $B(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Examinons les trois cas suivants : Lorsque les trois éléments de la diagonale sont distincts ($A \ne B \ne C$), il existe un seul repère principal d'inertie. Lorsque deux parmi les trois éléments de la diagonale sont identiques et différents du troisième (exemple $A = B \ne C$), il existe une infinité de repères principaux d'inertie ayant l'axe $Oz$ en commun (symétrie de révolution matérielle ou cylindrique). Lorsque les éléments de la diagonale sont identiques ($A = B = C$) toute direction passant par $O$ est une direction principale d'inertie et tout repère ayant $O$ comme origine est un repère principal d'inertie. On dira alors que l'opérateur est sphérique (symétrie sphérique). En résumé : Tout repère orthonormé dont deux de ses plans sont des plans de symétrie matérielle pour $(S)$ est un repère principal d'inertie. Tout repère dont deux de ses axes sont des axes de symétrie matérielle pour $(S)$ est un repère principal d'inertie. 6.4. Théorème de Huygens 6.4.1. Relation entre les opérateurs d'inertie d'un système en deux points Soit $M \in (S)$ de masse $dm$. Considérons $O$ et $A$ deux points de $\mathcal{E}$ et $\vec{u}$ un vecteur unitaire d'un axe passant par $O$. $J(O,S)(\vec{u}) = \int_{(S)} [\vec{OM} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OM})] dm = \int_{(S)} [(\vec{OA} + \vec{AM}) \wedge (\vec{u} \wedge (\vec{OA} + \vec{AM}))] dm$. $ = \int_{(S)} [\vec{OA} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OA})] dm + \int_{(S)} [\vec{OA} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{AM})] dm + \int_{(S)} [\vec{AM} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OA})] dm + \int_{(S)} [\vec{AM} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{AM})] dm$. $ = m[\vec{OA} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OA})] + \vec{OA} \wedge (\vec{u} \wedge \int_{(S)} \vec{AM}dm) + (\int_{(S)} \vec{AM}dm) \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OA}) + J(A,S)(\vec{u})$. $ = m[\vec{OA} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OA})] + m[\vec{OA} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{AG})] + m[\vec{AG} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OA})] + J(A,S)(\vec{u})$. En définitive : $J(O,S)(\vec{u}) = J(A,S)(\vec{u}) + m\vec{OA} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OA}) + m\vec{OA} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{AG}) + m\vec{AG} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OA})$. Si on considère $A = G$, on aura : $J(O,S)(\vec{u}) = J(G,S)(\vec{u}) + m\vec{OG} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OG})$. On pose $J(O,m_M)(\vec{u}) = m\vec{OG} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OG})$ : opérateur d'inertie d'un point matériel se trouvant en $G$ et ayant pour masse, la masse totale de $(S)$. Ainsi : $J(O,S)(\vec{u}) = J(G,S)(\vec{u}) + J(O,m_M)(\vec{u})$. Pour la matrice d'inertie on aura : $\Pi_O(S) = \Pi_G(S) + \Pi_{O,m_M}$ : c'est le théorème de Huygens généralisé. Si $\vec{OG} = x_G\vec{i} + y_G\vec{j} + z_G\vec{k}$, $\Pi_{O,m_M}=m \begin{pmatrix} y_G^2+z_G^2 & -x_G y_G & -x_G z_G \\ -x_G y_G & x_G^2+z_G^2 & -y_G z_G \\ -x_G z_G & -y_G z_G & x_G^2+y_G^2 \end{pmatrix}$. 6.4.2. Théorème de Huygens classique Considérons le cas de la figure suivante : y z x O G $(\Delta_G)$ $\vec{u}$ $(S)$ $I(\Delta,S) = \vec{u} \cdot J(G,S)(\vec{u}) + \vec{u} \cdot J(O,m_M)(\vec{u})$. $ = I(\Delta_G,S) + m\vec{u} \cdot [\vec{OG} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OG})]$. $ = I(\Delta_G,S) + m(\vec{OG}^2 \vec{u}^2 - (\vec{u} \cdot \vec{OG})^2)$. $ = I(\Delta_G,S) + m ||\vec{OG}||^2 - m (\vec{u} \cdot \vec{OG})^2$. $ = I(\Delta_G,S) + m d^2(\Delta_G, O)$. $\implies I(\Delta,S) = I(\Delta_G,S) + m d^2(\Delta_G, O)$. Théorème de Huygens classique. Exercice d'application 4 : Déterminer la matrice d'inertie de la tige pleine de longueur $L$ au centre d'inertie $O$. O y z x Déterminer la matrice d'inertie du disque de rayon $R$ au centre d'inertie $O$. O x y Déterminer la matrice d'inertie d'une sphère pleine de rayon $R$ au centre d'inertie $G$ et au point $O$ origine du repère. G x y z O