$x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0 \iff \vec{v_1} \perp \vec{v_2}$.

2.2.2. Produit Vectoriel

Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$, est un vecteur tel que :

$\vec{u} \wedge \vec{v}$ est perpendiculaire au plan $(\vec{u}, \vec{v})$.
Le trièdre $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})$ est direct.
La norme de $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est : $||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \sin(\vec{u}, \vec{v})$.

La norme $||\vec{u} \wedge \vec{v}||$ représente la surface du parallélogramme défini par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Figure 2: Représentation géométrique du produit vectoriel

Propriétés :

Antisymétrie : $\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}$.
Distributivité : $\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}$.
Multiplication par un réel : $\lambda\vec{u} \wedge \alpha\vec{v} = \lambda\alpha (\vec{u} \wedge \vec{v})$.
Application à une base orthonormée directe $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ :
- $\vec{x} \wedge \vec{x} = \vec{0}$; $\vec{y} \wedge \vec{y} = \vec{0}$; $\vec{z} \wedge \vec{z} = \vec{0}$.
- $\vec{x} \wedge \vec{y} = \vec{z}$; $\vec{y} \wedge \vec{z} = \vec{x}$; $\vec{z} \wedge \vec{x} = \vec{y}$.
- $\vec{y} \wedge \vec{x} = -\vec{z}$; $\vec{z} \wedge \vec{y} = -\vec{x}$; $\vec{x} \wedge \vec{z} = -\vec{y}$.
Cas de nullité :
- Un des vecteurs est nul.
- Les vecteurs sont colinéaires $\iff \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$.

Dans une base orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, le produit vectoriel de $\vec{v_1} = (x_1, y_1, z_1)$ et $\vec{v_2} = (x_2, y_2, z_2)$ s'écrit :

$\vec{v_1} \wedge \vec{v_2} = (y_1z_2 - z_1y_2)\vec{x} + (z_1x_2 - x_1z_2)\vec{y} + (x_1y_2 - y_1x_2)\vec{z}$.

2.2.3. Double Produit Vectoriel

Soient trois vecteurs $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \in E$.

$\vec{v_1} \wedge (\vec{v_2} \wedge \vec{v_3}) = (\vec{v_1} \cdot \vec{v_3})\vec{v_2} - (\vec{v_1} \cdot \vec{v_2})\vec{v_3}$.

2.2.4. Produit Mixte

Soient trois vecteurs $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \in E$. Le produit mixte est noté $(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3})$ tel que :

$(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}) = \vec{v_1} \cdot (\vec{v_2} \wedge \vec{v_3})$.

Propriétés :

Permutation des opérateurs : $(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}) = (\vec{v_1} \wedge \vec{v_2}) \cdot \vec{v_3}$.
Distributivité : $(\vec{v_1} + \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}) = (\vec{v_1}, \vec{v_3},