Révision Maths Terminale

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1. Rappels sur les Limites Limite à l'infini : Comportement d'une fonction quand $x \to \pm \infty$. Limite en un point $a$ : Comportement d'une fonction quand $x \to a$. Formes indéterminées : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$. Souvent résolues par factorisation, conjugué, ou théorème des croissances comparées. 2. Asymptotes 2.1. Asymptote Verticale (AV) Définition : La droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe $C_f$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$. Recherche : Chercher les valeurs de $a$ qui annulent le dénominateur (si fonction rationnelle) ou les bornes ouvertes du domaine de définition. Exemple : Pour $f(x) = \frac{1}{x-2}$, la droite $x=2$ est une AV car $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = +\infty$ et $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$. 2.2. Asymptote Horizontale (AH) Définition : La droite d'équation $y=L$ est une asymptote horizontale à la courbe $C_f$ si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un nombre réel). Recherche : Calculer les limites de $f(x)$ quand $x \to \pm \infty$. Exemple : Pour $f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{x} = 3$. Donc $y=3$ est une AH. 2.3. Asymptote Oblique (AO) Définition : La droite d'équation $y=ax+b$ (avec $a \ne 0$) est une asymptote oblique à la courbe $C_f$ si $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$. Recherche : Calculer $a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$. Si $a$ est un réel non nul, continuer. Calculer $b = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - ax]$. Si $b$ est un réel, alors $y=ax+b$ est une AO. Cas particulier : Si $f(x)$ est de la forme $f(x) = ax+b + g(x)$ avec $\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0$, alors $y=ax+b$ est une AO. (Souvent par division euclidienne de polynômes). Exemple : Pour $f(x) = \frac{x^2+x+1}{x}$, on peut écrire $f(x) = x+1+\frac{1}{x}$. On a $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x} = 0$. Donc $y=x+1$ est une AO. 3. Équation de la Tangente Définition : La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$ est une droite qui "touche" la courbe en ce point. Son coefficient directeur est la dérivée de la fonction en ce point. Formule : L'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $a$ est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Étapes : Calculer $f(a)$. Calculer la dérivée $f'(x)$. Calculer $f'(a)$. Substituer dans la formule. Cas particuliers : Tangente horizontale : Si $f'(a)=0$, l'équation est $y=f(a)$. Point d'inflexion : La tangente traverse la courbe. C'est là où la convexité change (la dérivée seconde s'annule et change de signe). Exemple : Soit $f(x) = x^2$ et $a=1$. $f(1) = 1^2 = 1$. $f'(x) = 2x$. $f'(1) = 2(1) = 2$. Équation de la tangente : $y = 2(x-1) + 1 \Rightarrow y = 2x - 2 + 1 \Rightarrow y = 2x - 1$. 4. Fonction Logarithme Népérien (ln) 4.1. Définition et Propriétés Fondamentales Définition : La fonction $\ln$ est la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $(0, +\infty)$ qui s'annule en 1. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Domaine de définition : $D_{\ln} = ]0, +\infty[$. Valeurs importantes : $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$. Propriétés algébriques (pour $a, b > 0$ et $n \in \mathbb{R}$) : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ $\ln(a^n) = n \ln(a)$ $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$ 4.2. Limites $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ Croissances comparées : Pour tout $n > 0$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ (ln est "plus lente" que $x^n$) $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ 4.3. Dérivée $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$. $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ pour $u(x) > 0$. Exemple : $(\ln(x^2+1))' = \frac{2x}{x^2+1}$. 4.4. Tableau de Variations et Représentation La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. $x$ $0$ $+\infty$ $\ln(x)$ $-\infty$ $\nearrow$ $+\infty$ La courbe de $\ln(x)$ passe par $(1,0)$. Elle a une asymptote verticale en $x=0$. 5. Fonction Exponentielle (exp) 5.1. Définition et Propriétés Fondamentales Définition : La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, est la fonction réciproque de $\ln(x)$. Elle est l'unique fonction $f$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$. Domaine de définition : $D_{\exp} = \mathbb{R}$. Valeurs importantes : $e^0=1$, $e^1=e$. Propriétés algébriques (pour $a, b \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$) : $e^{a+b} = e^a e^b$ $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ $(e^a)^n = e^{na}$ $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ Relation avec $\ln$ : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x)=x$. Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)}=x$. 5.2. Limites $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ (Asymptote horizontale $y=0$) $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ Croissances comparées : Pour tout $n > 0$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ (exp est "plus rapide" que $x^n$) $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ 5.3. Dérivée $(e^x)' = e^x$. $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$. Exemple : $(e^{x^2+1})' = 2x e^{x^2+1}$. 5.4. Tableau de Variations et Représentation La fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. $x$ $-\infty$ $+\infty$ $e^x$ $0$ $\nearrow$ $+\infty$ La courbe de $e^x$ passe par $(0,1)$. Elle a une asymptote horizontale en $y=0$ quand $x \to -\infty$. 6. Exercices Corrigés Exercice 1 : Étude des asymptotes Soit la fonction $f(x) = \frac{x^2+x+3}{x-1}$. Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition. En déduire les équations des asymptotes (verticales, horizontales ou obliques). Correction : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Bornes : $-\infty, 1^-, 1^+, +\infty$. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty$. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$. $\lim_{x \to 1^-} (x^2+x+3) = 1+1+3=5$. $\lim_{x \to 1^-} (x-1) = 0^-$. Donc $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{5}{0^-} = -\infty$. $\lim_{x \to 1^+} (x^2+x+3) = 5$. $\lim_{x \to 1^+} (x-1) = 0^+$. Donc $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{5}{0^+} = +\infty$. Asymptote Verticale : Puisque $\lim_{x \to 1} f(x) = \pm \infty$, la droite $x=1$ est une AV. Asymptote Horizontale : Puisque $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty$ (pas de limite finie), il n'y a pas d'AH. Asymptote Oblique : Cherchons $a$ et $b$. On peut effectuer la division euclidienne de $x^2+x+3$ par $x-1$: $x^2+x+3 = (x+2)(x-1) + 5$. Donc $f(x) = \frac{(x+2)(x-1)+5}{x-1} = x+2 + \frac{5}{x-1}$. Puisque $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5}{x-1} = 0$, la droite $y=x+2$ est une AO. Exercice 2 : Équation de la tangente Soit la fonction $g(x) = e^{2x-1}$. Déterminer l'équation de la tangente à $C_g$ au point d'abscisse $x=1$. Correction : Calculer $g(1)$: $g(1) = e^{2(1)-1} = e^1 = e$. Calculer la dérivée $g'(x)$: $g'(x) = (2x-1)' e^{2x-1} = 2e^{2x-1}$. Calculer $g'(1)$: $g'(1) = 2e^{2(1)-1} = 2e^1 = 2e$. Appliquer la formule $y = g'(1)(x-1) + g(1)$: $y = 2e(x-1) + e$ $y = 2ex - 2e + e$ $y = 2ex - e$. L'équation de la tangente est $y = e(2x-1)$. Exercice 3 : Étude de fonction avec ln Soit $h(x) = x \ln(x) - x$ pour $x > 0$. Calculer la limite de $h(x)$ quand $x \to 0^+$. Calculer la limite de $h(x)$ quand $x \to +\infty$. Calculer $h'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $h$. Correction : $\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} (x \ln(x) - x)$. On sait que $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$ (croissances comparées). Donc $\lim_{x \to 0^+} h(x) = 0 - 0 = 0$. $\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} (x \ln(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} x(\ln(x) - 1)$. Puisque $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} (\ln(x) - 1) = +\infty$, alors $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$. $h'(x) = (x \ln(x))' - (x)'$. $(x \ln(x))' = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$. Donc $h'(x) = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x)$. Pour le tableau de variations, on étudie le signe de $h'(x) = \ln(x)$. $\ln(x) > 0 \Leftrightarrow x > 1$. $\ln(x) $x$ $0$ $1$ $+\infty$ $h'(x)$ $-$ $0$ $+$ $h(x)$ $0$ $\searrow$ $-1$ $\nearrow$ $+\infty$