Dérivées et Primitives - Terminale

Cheatsheet Content

1. Dérivées : Comprendre le Taux de Variation 1.1. Qu'est-ce qu'une Dérivée ? La dérivée d'une fonction $f$ en un point $x_0$, notée $f'(x_0)$, représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$. Elle mesure le taux de variation instantané de la fonction. Si $f(x)$ est une position, $f'(x)$ est la vitesse. Formellement : $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ 1.2. Interprétations Clés et Applications Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. Si $f'(x) strictement décroissante sur cet intervalle. Si $f'(x) = 0$ en un point $x_0$ et que $f'$ change de signe autour de $x_0$, alors $f$ admet un extremum local (maximum ou minimum) en $x_0$. Ceci est fondamental pour les problèmes d' optimisation (trouver le maximum ou le minimum d'une quantité). L'étude du signe de $f'(x)$ permet de dresser le tableau de variations de $f$. 1.3. Équation de la Tangente L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$ est donnée par : $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$ 1.4. Formules de Dérivation des Fonctions Usuelles Fonction $f(x)$ Dérivée $f'(x)$ Conditions $k$ (constante) $0$ $x$ $1$ $x^n$ $nx^{n-1}$ $n \in \mathbb{Z}^*$ $\frac{1}{x}$ $-\frac{1}{x^2}$ $x \neq 0$ $\sqrt{x}$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $x > 0$ $\sin(x)$ $\cos(x)$ $\cos(x)$ $-\sin(x)$ $e^x$ $e^x$ $\ln(x)$ $\frac{1}{x}$ $x > 0$ 1.5. Règles de Calcul de Dérivées avec Exemples Soient $u$ et $v$ des fonctions dérivables, et $k$ une constante. Somme : $(u+v)' = u' + v'$ Exemple : Si $f(x) = x^3 + \sin(x)$, alors $f'(x) = 3x^2 + \cos(x)$. Produit par une constante : $(ku)' = ku'$ Exemple : Si $f(x) = 5x^4$, alors $f'(x) = 5(4x^3) = 20x^3$. Produit : $(uv)' = u'v + uv'$ Exemple : Si $f(x) = x^2 e^x$. Posons $u(x)=x^2$ ($u'=2x$) et $v(x)=e^x$ ($v'=e^x$). Alors $f'(x) = (2x)e^x + x^2(e^x) = e^x(2x+x^2)$. Quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ($v \neq 0$) Exemple : Si $f(x) = \frac{e^x}{x}$. Posons $u(x)=e^x$ ($u'=e^x$) et $v(x)=x$ ($v'=1$). Alors $f'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$. Composée de type $f(ax+b)$ : $(f(ax+b))' = af'(ax+b)$ Exemple : Si $f(x) = \sin(3x+2)$. Alors $f'(x) = 3\cos(3x+2)$. Composée générale $(f(u(x)))'$ : $f'(u(x)) \times u'(x)$ Exemple : Si $f(x) = (x^2+1)^5$. Posons $u(x)=x^2+1$ ($u'=2x$) et la fonction "extérieure" est $g(y)=y^5$ ($g'(y)=5y^4$). Alors $f'(x) = 5(x^2+1)^4 \cdot (2x) = 10x(x^2+1)^4$. Puissance : $(u^n)' = nu^{n-1}u'$ Exemple : Si $f(x) = (3x-1)^4$. Posons $u(x)=3x-1$ ($u'=3$). Alors $f'(x) = 4(3x-1)^3 \cdot 3 = 12(3x-1)^3$. Exponentielle : $(e^u)' = u'e^u$ Exemple : Si $f(x) = e^{x^3}$. Posons $u(x)=x^3$ ($u'=3x^2$). Alors $f'(x) = 3x^2 e^{x^3}$. Logarithme : $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ ($u > 0$) Exemple : Si $f(x) = \ln(x^2+5)$. Posons $u(x)=x^2+5$ ($u'=2x$). Alors $f'(x) = \frac{2x}{x^2+5}$. 1.6. Exercice Corrigé (Dérivées) Énoncé : Calculer la dérivée des fonctions suivantes et donner l'équation de la tangente pour $f(x)$ en $x_0=1$ : $f(x) = 3x^4 - 2x + 5$ $g(x) = (2x+1)e^x$ $h(x) = \frac{x^2}{x-1}$ $k(x) = \ln(x^2+1)$ Correction : $f(x) = 3x^4 - 2x + 5$ $f'(x) = 12x^3 - 2$ Équation de la tangente en $x_0=1$ : $f(1) = 3(1)^4 - 2(1) + 5 = 3 - 2 + 5 = 6$ $f'(1) = 12(1)^3 - 2 = 10$ $y = f'(1)(x-1) + f(1) = 10(x-1) + 6 = 10x - 10 + 6 = 10x - 4$. L'équation de la tangente est $y = 10x - 4$. $g(x) = (2x+1)e^x$ $u(x) = 2x+1 \implies u'(x) = 2$ $v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$ $g'(x) = u'v + uv' = 2e^x + (2x+1)e^x = e^x(2 + 2x + 1) = e^x(2x+3)$ $h(x) = \frac{x^2}{x-1}$ $u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x$ $v(x) = x-1 \implies v'(x) = 1$ $h'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}$ $k(x) = \ln(x^2+1)$ Forme $(\ln(u))'$ où $u(x) = x^2+1$. $u'(x) = 2x$. $k'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x}{x^2+1}$ 2. Primitives : Remonter le Chemin 2.1. Qu'est-ce qu'une Primitive ? Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$. C'est l'opération "inverse" de la dérivation. Si $f(x)$ est la vitesse, une primitive $F(x)$ est la position. Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F(x) + C$ (où $C$ est une constante réelle) est aussi une primitive de $f$. On parle parfois de "l'ensemble des primitives" pour désigner $F(x)+C$. 2.2. Formules de Primitives des Fonctions Usuelles Fonction $f(x)$ Primitive $F(x)$ Conditions $k$ (constante) $kx + C$ $x^n$ $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ $n \neq -1$ $\frac{1}{x}$ $\ln|x| + C$ $x \neq 0$ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ $2\sqrt{x} + C$ $x > 0$ $\sin(x)$ $-\cos(x) + C$ $\cos(x)$ $\sin(x) + C$ $e^x$ $e^x + C$ 2.3. Règles de Calcul de Primitives (Formes Composées) Pour trouver une primitive $F$ de $f$, on cherche à reconnaître des formes $u' \cdot (\dots)$ : Forme de $f(x)$ Primitive $F(x)$ Conditions $u'(x) + v'(x)$ $u(x) + v(x) + C$ $k \cdot u'(x)$ $k \cdot u(x) + C$ $u'(x) \cdot (u(x))^n$ $\frac{(u(x))^{n+1}}{n+1} + C$ $n \neq -1$ $\frac{u'(x)}{u(x)}$ $\ln|u(x)| + C$ $u(x) \neq 0$ $u'(x)e^{u(x)}$ $e^{u(x)} + C$ $\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ $\sqrt{u(x)} + C$ $u(x) > 0$ $u'(x)\cos(u(x))$ $\sin(u(x)) + C$ $u'(x)\sin(u(x))$ $-\cos(u(x)) + C$ 2.4. Exercice Corrigé (Primitives) Énoncé : Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : $f(x) = 5x^3 - 4x + 2$ $g(x) = \frac{1}{2x+3}$ $h(x) = (3x^2+1)e^{x^3+x}$ $k(x) = (2x+1)(x^2+x+5)^3$ Correction : $f(x) = 5x^3 - 4x + 2$ $F(x) = 5\frac{x^4}{4} - 4\frac{x^2}{2} + 2x + C = \frac{5}{4}x^4 - 2x^2 + 2x + C$ $g(x) = \frac{1}{2x+3}$ On cherche la forme $\frac{u'}{u}$. Soit $u(x) = 2x+3$, alors $u'(x) = 2$. On a $g(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{2x+3} = \frac{1}{2}\frac{u'(x)}{u(x)}$. $G(x) = \frac{1}{2}\ln|2x+3| + C$ $h(x) = (3x^2+1)e^{x^3+x}$ On cherche la forme $u'e^u$. Soit $u(x) = x^3+x$, alors $u'(x) = 3x^2+1$. On a exactement la forme $u'e^u$. $H(x) = e^{x^3+x} + C$ $k(x) = (2x+1)(x^2+x+5)^3$ On cherche la forme $u'u^n$. Soit $u(x) = x^2+x+5$, alors $u'(x) = 2x+1$. On a exactement la forme $u'(x)(u(x))^3$. $K(x) = \frac{(x^2+x+5)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{(x^2+x+5)^4}{4} + C$ 3. Lien entre Dérivées et Primitives : Le Théorème Fondamental Le Théorème Fondamental de l'Analyse établit le lien direct entre dérivation et intégration (calcul de primitives). Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$, alors l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est donnée par : $$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$ Ceci est crucial pour le calcul d' aires sous une courbe . Si $f(x) \ge 0$ sur $[a,b]$, l'intégrale représente l'aire de la région située entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x=a$ et $x=b$. La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a,b]$ est $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx$. 4. Astuces et Erreurs Fréquentes 4.1. Astuces pour les Dérivées Simplifier d'abord : Avant de dériver, simplifiez l'expression si possible. Ex: $\frac{x^2+x}{x} = x+1$ pour $x \neq 0$. Reconnaître les formes : Entraînez-vous à identifier rapidement les formes $uv$, $u/v$, $u^n$, $e^u$, $\ln(u)$ pour appliquer la bonne règle. Ne pas oublier la constante : Pour $f(ax+b)$, le $a$ sort en multiplication : $(f(ax+b))' = af'(ax+b)$. 4.2. Astuces pour les Primitives Penser "à l'envers" : Quelle fonction, une fois dérivée, donne ma fonction actuelle ? Réécrire la fonction : $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ $\sqrt{x} = x^{1/2}$ $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ Ces formes sont plus faciles à primitiver avec $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. Identifier $u'$ et $u$ : Pour des formes comme $u'u^n$, $\frac{u'}{u}$, $u'e^u$, identifiez $u$ puis vérifiez si $u'$ est présent (à un coefficient près). C'est souvent la clé. Ne jamais oublier le "+ C" : Indispensable pour montrer que vous comprenez qu'il y a une infinité de primitives. 4.3. Erreurs Fréquentes Confusion produit/quotient : $(uv)' = u'v + uv'$ et $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Les signes et l'ordre sont importants ! Dériver une constante : La dérivée d'une constante est $0$, pas la constante elle-même. Dériver $\ln(x)$ : $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$, mais attention aux domaines de définition. Oublier le $n+1$ au dénominateur pour les primitives de $x^n$. Ne pas gérer le $u'$ dans les primitives composées : Si vous avez $\int f(ax+b) dx$, il faut souvent un facteur $\frac{1}{a}$. Confusion entre $\ln(u(x))$ et $\ln|u(x)|$ : Bien que souvent $\ln(u(x))$ suffise en Terminale, $\ln|u(x)|$ est la forme correcte pour $u(x)$ négatif.