Composée générale $(f(u(x)))'$ : $f'(u(x)) \times u'(x)$
Exemple : Si $f(x) = (x^2+1)^5$. Posons $u(x)=x^2+1$ ($u'=2x$) et la fonction "extérieure" est $g(y)=y^5$ ($g'(y)=5y^4$).
Alors $f'(x) = 5(x^2+1)^4 \cdot (2x) = 10x(x^2+1)^4$.

Puissance : $(u^n)' = nu^{n-1}u'$
Exemple : Si $f(x) = (3x-1)^4$. Posons $u(x)=3x-1$ ($u'=3$).
Alors $f'(x) = 4(3x-1)^3 \cdot 3 = 12(3x-1)^3$.

Exponentielle : $(e^u)' = u'e^u$
Exemple : Si $f(x) = e^{x^3}$. Posons $u(x)=x^3$ ($u'=3x^2$).
Alors $f'(x) = 3x^2 e^{x^3}$.

Logarithme : $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ ($u > 0$)
Exemple : Si $f(x) = \ln(x^2+5)$. Posons $u(x)=x^2+5$ ($u'=2x$).
Alors $f'(x) = \frac{2x}{x^2+5}$.

1.6. Exercice Corrigé (Dérivées)

Énoncé : Calculer la dérivée des fonctions suivantes et donner l'équation de la tangente pour $f(x)$ en $x_0=1$ :

$f(x) = 3x^4 - 2x + 5$
$g(x) = (2x+1)e^x$
$h(x) = \frac{x^2}{x-1}$
$k(x) = \ln(x^2+1)$

Correction :

$f(x) = 3x^4 - 2x + 5$
$f'(x) = 12x^3 - 2$
Équation de la tangente en $x_0=1$ :
$f(1) = 3(1)^4 - 2(1) + 5 = 3 - 2 + 5 = 6$
$f'(1) = 12(1)^3 - 2 = 10$
$y = f'(1)(x-1) + f(1) = 10(x-1) + 6 = 10x - 10 + 6 = 10x - 4$.
L'équation de la tangente est $y = 10x - 4$.
$g(x) = (2x+1)e^x$
$u(x) = 2x+1 \implies u'(x) = 2$
$v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$
$g'(x) = u'v + uv' = 2e^x + (2x+1)e^x = e^x(2 + 2x + 1) = e^x(2x+3)$
$h(x) = \frac{x^2}{x-1}$
$u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x$
$v(x) = x-1 \implies v'(x) = 1$
$h'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}$
$k(x) = \ln(x^2+1)$
Forme $(\ln(u))'$ où $u(x) = x^2+1$.
$u'(x) = 2x$.
$k'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x}{x^2+1}$

2. Primitives : Remonter le Chemin

2.1. Qu'est-ce qu'une Primitive ?

Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
C'est l'opération "inverse" de la dérivation. Si $f(x)$ est la vitesse, une primitive $F(x)$ est la position.
Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F(x) + C$ (où $C$ est une constante réelle) est aussi une primitive de $f$. On parle parfois de "l'ensemble des primitives" pour désigner $F(x)+C$.

2.2. Formules de Primitives des Fonctions Usuelles

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Conditions
$k$ (constante)	$kx + C$
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$n \neq -1$
$\frac{1}{x}$	$\ln\|x\| + C$	$x \neq 0$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x} + C$	$x > 0$
$\sin(x)$	$-\cos(x) + C$
$\cos(x)$	$\sin(x) + C$
$e^x$	$e^x + C$

2.3. Règles de Calcul de Primitives (Formes