कैलकुलस सूत्र (कक्षा 12)

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1. अवकलन (Differentiation) मूल सूत्र $\frac{d}{dx}(c) = 0$ (जहाँ $c$ एक अचर है) $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log_e a$ $\frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{x}$ $\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \log_e a}$ त्रिकोणमितीय फलन के अवकलन $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$ $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$ $\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$ $\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन के अवकलन $\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$ $\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}$ $\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ $\frac{d}{dx}(\csc^{-1} x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ अवकलन के नियम योग/अंतर नियम: $\frac{d}{dx}(u \pm v) = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}$ गुणन नियम: $\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ भागफल नियम: $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ श्रृंखला नियम (Chain Rule): $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ 2. समाकलन (Integration) मूल सूत्र $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, ($n \neq -1$) $\int \frac{1}{x} dx = \log_e |x| + C$ $\int e^x dx = e^x + C$ $\int a^x dx = \frac{a^x}{\log_e a} + C$ त्रिकोणमितीय फलन के समाकलन $\int \sin x dx = -\cos x + C$ $\int \cos x dx = \sin x + C$ $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$ $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$ $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$ $\int \tan x dx = \log_e |\sec x| + C = -\log_e |\cos x| + C$ $\int \cot x dx = \log_e |\sin x| + C$ $\int \sec x dx = \log_e |\sec x + \tan x| + C$ $\int \csc x dx = \log_e |\csc x - \cot x| + C$ कुछ विशेष समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \log_e \left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$ $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \log_e \left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$ $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \log_e |x + \sqrt{x^2-a^2}| + C$ $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \log_e |x + \sqrt{x^2+a^2}| + C$ $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ $\int \sqrt{x^2-a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\log_e |x + \sqrt{x^2-a^2}| + C$ $\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\log_e |x + \sqrt{x^2+a^2}| + C$ समाकलन के नियम योग/अंतर नियम: $\int (u \pm v) dx = \int u dx \pm \int v dx$ खंडश: समाकलन (Integration by Parts): $\int u v dx = u \int v dx - \int \left(\frac{du}{dx} \int v dx\right) dx$ 3. निश्चित समाकलन (Definite Integration) मूलभूत प्रमेय: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, जहाँ $F(x)$ का अवकलन $f(x)$ है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$ $\int_a^a f(x) dx = 0$ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ $\int_0^{2a} f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(2a-x) dx$ $\int_0^{2a} f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$, यदि $f(2a-x)=f(x)$ $\int_0^{2a} f(x) dx = 0$, यदि $f(2a-x)=-f(x)$ $\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$, यदि $f(x)$ एक सम फलन है ($f(-x)=f(x)$) $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$, यदि $f(x)$ एक विषम फलन है ($f(-x)=-f(x)$) 4. अवकल समीकरण (Differential Equations) प्रथम कोटि और प्रथम घात के अवकल समीकरण चर पृथक्करण विधि (Variable Separable Method): यदि $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$, तो $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx$ समघातीय अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations): यदि $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$, तो $y=vx$ प्रतिस्थापित करें। रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations): फॉर्म: $\frac{dy}{dx} + Py = Q$, जहाँ $P, Q$ केवल $x$ के फलन हैं। समाकलन गुणक (Integrating Factor): $IF = e^{\int P dx}$ हल: $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ फॉर्म: $\frac{dx}{dy} + Px = Q$, जहाँ $P, Q$ केवल $y$ के फलन हैं। समाकलन गुणक: $IF = e^{\int P dy}$ हल: $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + C$ 5. क्षेत्र और आयतन (Area and Volume) वक्र के नीचे का क्षेत्रफल: $A = \int_a^b y dx = \int_a^b f(x) dx$ दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: $A = \int_a^b (y_2 - y_1) dx$