Series (Cálculo 2)

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### Series: Definiciones Fundamentales - **Secuencia:** Una lista ordenada de números $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ - **Serie:** La suma de los términos de una secuencia: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...$ - **Suma Parcial ($S_N$):** La suma de los primeros $N$ términos de la serie: $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ - **Convergencia:** Una serie converge si la secuencia de sus sumas parciales converge a un límite $L$, es decir, $\lim_{N \to \infty} S_N = L$. Si no converge, la serie diverge. ### Tipos Comunes de Series #### Serie Geométrica - **Forma:** $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + ...$ - **Convergencia:** Converge si $|r| 1$. - **Divergencia:** Diverge si $p \leq 1$. (La serie armónica $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ es un caso especial con $p=1$ y diverge). #### Serie Telescópica - **Forma:** $\sum_{n=1}^{\infty} (b_n - b_{n+1})$ - **Convergencia:** Converge si $\lim_{n \to \infty} b_n$ existe. La suma es $b_1 - \lim_{n \to \infty} b_{n+1}$. - **Ejemplo:** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$ ### Criterios de Convergencia #### 1. Criterio de la Divergencia (o Prueba del Término n-ésimo) - Si $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$, entonces la serie $\sum a_n$ diverge. - **Importante:** Si $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, la serie puede converger o divergir (el criterio no es concluyente). #### 2. Criterio de la Integral - Si $f(x)$ es una función positiva, continua y decreciente para $x \geq N$, y $a_n = f(n)$, entonces $\sum_{n=N}^{\infty} a_n$ y $\int_{N}^{\infty} f(x) dx$ o ambas convergen o ambas divergen. #### 3. Criterio de Comparación Directa - Sean $\sum a_n$ y $\sum b_n$ series con términos positivos. - Si $a_n \leq b_n$ para todo $n$ suficientemente grande: - Si $\sum b_n$ converge, entonces $\sum a_n$ converge. - Si $\sum a_n$ diverge, entonces $\sum b_n$ diverge. #### 4. Criterio de Comparación al Límite - Sean $\sum a_n$ y $\sum b_n$ series con términos positivos. Si $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$, donde $L$ es un número finito y $L > 0$, entonces ambas series o convergen o divergen. #### 5. Criterio de la Razón (o D'Alembert) - Sea $\sum a_n$ una serie con $a_n > 0$. Sea $L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$. - Si $L 1$ o $L = \infty$, la serie diverge. - Si $L = 1$, el criterio no es concluyente. #### 6. Criterio de la Raíz (o Cauchy) - Sea $\sum a_n$ una serie con $a_n > 0$. Sea $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$. - Si $L 1$ o $L = \infty$, la serie diverge. - Si $L = 1$, el criterio no es concluyente. #### 7. Criterio de Series Alternantes (o Leibniz) - Para una serie de la forma $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n$ o $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n$, donde $b_n > 0$. - Si $b_n$ es decreciente (es decir, $b_{n+1} \leq b_n$) para todo $n$ suficientemente grande. - Y $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$. - Entonces la serie alternante converge. ### Convergencia Absoluta y Condicional - **Convergencia Absoluta:** Una serie $\sum a_n$ converge absolutamente si $\sum |a_n|$ converge. - Si una serie converge absolutamente, entonces converge. - **Convergencia Condicional:** Una serie $\sum a_n$ converge condicionalmente si converge, pero no converge absolutamente (es decir, $\sum a_n$ converge y $\sum |a_n|$ diverge). ### Series de Potencias - **Forma:** $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + ...$ - **Radio de Convergencia ($R$):** Es el valor tal que la serie converge para $|x-a| R$. Puede ser 0, un número finito o $\infty$. - Se puede encontrar usando el Criterio de la Razón: $R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|}$ (si el límite existe y es finito y no cero). - **Intervalo de Convergencia:** El conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales la serie converge. Incluye el intervalo $(a-R, a+R)$ y puede incluir uno o ambos puntos finales $a-R$ y $a+R$ (deben ser verificados individualmente). ### Series de Taylor y Maclaurin - **Serie de Taylor de una función $f(x)$ alrededor de $a$:** $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ...$$ - **Serie de Maclaurin:** Un caso especial de la serie de Taylor donde $a=0$. $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + ...$$ #### Series de Maclaurin Comunes - **$e^x$:** $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$, para todo $x$. - **$\sin x$:** $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$, para todo $x$. - **$\cos x$:** $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...$, para todo $x$. - **$\frac{1}{1-x}$:** $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$, para $|x| ### Operaciones con Series de Potencias - **Suma y Resta:** Se pueden sumar y restar series de potencias término a término dentro de su intervalo de convergencia común. - **Multiplicación y División:** Más complejas, a menudo se usan los primeros términos. - **Diferenciación:** Si $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$, entonces $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n (x-a)^{n-1}$. El radio de convergencia no cambia. - **Integración:** Si $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$, entonces $\int f(x) dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} c_n \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}$. El radio de convergencia no cambia.