Vilnius TECH Algebra & Diferencialinis s

Cheatsheet Content

1. Skaičių aibės ir veiksmai Natūralieji skaičiai: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ Sveikieji skaičiai: $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ Racionalieji skaičiai: $\mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} \}$ Realieji skaičiai: $\mathbb{R}$ (visi racionalieji ir iracionalieji skaičiai) Kompleksiniai skaičiai: $\mathbb{C} = \{ a+bi \mid a, b \in \mathbb{R}, i^2 = -1 \}$ Veiksmų savybės: komutatyvumas, asociatyvumas, distributyvumas. 2. Kompleksiniai skaičiai 2.1. Pagrindinės sąvokos Algebrinė forma: $z = a + bi$, kur $a = \text{Re}(z)$, $b = \text{Im}(z)$. Modulis: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Argumentas: $\arg(z) = \varphi$, tenkinantis $\cos\varphi = \frac{a}{|z|}$, $\sin\varphi = \frac{b}{|z|}$. Jungtinis skaičius: $\bar{z} = a - bi$. 2.2. Trigonomėtrinė ir Eksponentinė formos Trigonomėtrinė forma: $z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Eksponentinė forma: $z = |z|e^{i\varphi}$. Veiksmai: Daugyba: $z_1 z_2 = |z_1||z_2|(\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2))$. Dalyba: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|}(\cos(\varphi_1-\varphi_2) + i\sin(\varphi_1-\varphi_2))$. Kėlimas laipsniu (De Moivre formulė): $z^n = |z|^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$. Šaknies traukimas: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)\right)$, $k=0, 1, \dots, n-1$. 3. Matricos ir determinantai 3.1. Matricos Apibrėžimas: stačiakampė skaičių lentelė. $A = (a_{ij})$. Matricų tipai: kvadratinė, nulio, vienetinė $I$, transponuota $A^T$. Veiksmai: Sudėtis/Atimtis: $A \pm B$ (tik vienodų matmenų). Daugyba iš skaliaro: $kA$. Daugyba: $AB$ (jei $A$ matmenys $m \times n$, $B$ matmenys $n \times p$, tai $AB$ matmenys $m \times p$). 3.2. Determinantai $2 \times 2$ matrica: $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$. $3 \times 3$ matrica (Sarrus taisyklė): $$ \det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg) $$ Minorai ir algebriniai papildiniai: $M_{ij}$ (minoras), $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ (algebrinis papildinys). Determinanto skaičiavimas: pagal eilutę ar stulpelį: $\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}$ (pagal $i$-tą eilutę). Determinanto savybės: eilutės/stulpelio sukeitimas, eilutės dauginimas iš skaliaro, eilutės pridėjimas prie kitos. 3.3. Atvirkštinė matrica Apibrėžimas: $A^{-1}$, jei $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. Egzistuoja, jei: $\det(A) \neq 0$. Formulė: $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (A^*)^T$, kur $A^*$ yra algebrinių papildinių matrica. 4. Tiesinių lygčių sistemos 4.1. Sprendimo metodai Kramerio formulės: Taikoma, kai sistemos determinantas $\Delta \neq 0$. $x_j = \frac{\Delta_j}{\Delta}$, kur $\Delta_j$ yra determinantas, gautas pakeitus $j$-tą stulpelį laisvųjų narių stulpeliu. Gauso metodas: Elementarūs eilutės pertvarkymai (keitimas, dauginimas, sudėjimas) paverčiant matricą trikampe. Taikoma bet kokiai sistemai. Atvirkštinės matricos metodas: Jei $AX=B$, tai $X = A^{-1}B$. Taikoma, kai $A$ yra kvadratinė ir $\det(A) \neq 0$. 4.2. Sprendinių skaičius $\det(A) \neq 0$: vienintelis sprendinys. $\det(A) = 0$: Nėra sprendinių (sistema prieštaringa). Be galo daug sprendinių (sistema neapibrėžta). Kroneckerio-Capelli teorema: Sistema turi sprendinių tada ir tik tada, kai pagrindinės matricos rangas lygus išplėstinės matricos rangui. 5. Funkcijos ir ribos 5.1. Funkcijos Apibrėžimo sritis: $D(f)$. Reikšmių sritis: $E(f)$. Funkcijų savybės: lyginė/nelyginė, periodinė, didėjanti/mažėjanti, atvirkštinė funkcija. Pagrindinės elementariosios funkcijos: laipsninė, eksponentinė, logaritminė, trigonometrinės. 5.2. Funkcijos riba Apibrėžimas: $\lim_{x \to a} f(x) = L$. ($\varepsilon-\delta$ apibrėžimas gali būti svarbus). Vienašalės ribos: $\lim_{x \to a^+} f(x)$, $\lim_{x \to a^-} f(x)$. Ribų savybės: $\lim(f \pm g) = \lim f \pm \lim g$. $\lim(f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$. $\lim(\frac{f}{g}) = \frac{\lim f}{\lim g}$ (jei $\lim g \neq 0$). Neapibrėžtumas: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$. Sprendimas: daugiklių iškėlimas, dauginimas iš jungtinio reiškinio, L'Hopitalio taisyklė (diferencijuojant). Pirmosios žymiosios ribos: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$. Antroji žymioji riba: $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$. Funkcijos tolydumas: Funkcija $f(x)$ yra tolydi taške $a$, jei $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. 6. Išvestinės 6.1. Apibrėžimas ir taisyklės Išvestinės apibrėžimas: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$. Geometrinė prasmė: liestinės krypties koeficientas $k = f'(x_0)$. Išvestinių skaičiavimo taisyklės: $(c)' = 0$. $(cx)' = c$. $(f \pm g)' = f' \pm g'$. $(f \cdot g)' = f'g + fg'$. $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. Sudėtinės funkcijos išvestinė: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. 6.2. Pagrindinių funkcijų išvestinės Funkcija $f(x)$ Išvestinė $f'(x)$ $c$ $0$ $x^n$ $nx^{n-1}$ $e^x$ $e^x$ $a^x$ $a^x \ln a$ $\ln x$ $\frac{1}{x}$ $\log_a x$ $\frac{1}{x \ln a}$ $\sin x$ $\cos x$ $\cos x$ $-\sin x$ $\tan x$ $\frac{1}{\cos^2 x}$ $\cot x$ $-\frac{1}{\sin^2 x}$ $\arcsin x$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arccos x$ $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arctan x$ $\frac{1}{1+x^2}$ $\text{arccot } x$ $-\frac{1}{1+x^2}$ 6.3. Aukštesnių eilių išvestinės Antroji išvestinė: $f''(x) = (f'(x))'$. $n$-toji išvestinė: $f^{(n)}(x)$. 6.4. Diferencialas Funkcijos diferencialas: $dy = f'(x)dx$. Apytikslis skaičiavimas: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$. 7. Išvestinių taikymai 7.1. Funkcijos tyrimas Didėjimas/mažėjimas: $f'(x) > 0 \implies$ funkcija didėja. $f'(x) Lokalūs ekstremumai: Kritiniai taškai: $f'(x) = 0$ arba $f'(x)$ neegzistuoja. Pirmosios išvestinės kriterijus: jei $f'(x)$ keičia ženklą kritiniame taške, tai yra ekstremumas. Antrosios išvestinės kriterijus: jei $f'(x_0) = 0$ ir $f''(x_0) > 0 \implies$ minimumas, $f''(x_0) Iškilumas (išgaubtumas/įgaubtumas): $f''(x) > 0 \implies$ funkcija išgaubta (įgaubta žemyn). $f''(x) Perlinkio taškai: $f''(x) = 0$ arba $f''(x)$ neegzistuoja ir $f''(x)$ keičia ženklą. 7.2. Asimptotės Vertikali asimptotė: $x=a$, jei $\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm \infty$. Horizontali asimptotė: $y=L$, jei $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$. Pasviroji (kosinė) asimptotė: $y = kx+b$, kur $k = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$, $b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - kx)$. 8. L'Hopitalio taisyklė Taikymas: neapibrėžtumams $\frac{0}{0}$ arba $\frac{\infty}{\infty}$. Taisyklė: Jei $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ yra $\frac{0}{0}$ arba $\frac{\infty}{\infty}$ formos, tai $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, jei pastaroji riba egzistuoja.