Giải Tích II

Cheatsheet Content

### Cách sử dụng Cheatsheet này #### 1. Bắt đầu với một chủ đề Gõ chủ đề bạn muốn tìm hiểu vào ô chat dưới đây. Ví dụ: - "Tạo cheatsheet về đại số tuyến tính" - "Tóm tắt 2 trang về các phản ứng hóa học hữu cơ" #### 2. Chỉnh sửa và Tinh chỉnh Sau khi tạo bản nháp ban đầu, bạn có thể: - Yêu cầu sửa đổi các phần cụ thể - Yêu cầu thêm hoặc xóa nội dung - Thay đổi ngôn ngữ hoặc mức độ chi tiết #### 3. Tùy chọn xuất Khi đã hài lòng, bạn có thể: - In dưới dạng PDF - Chia sẻ qua liên kết - Tải xuống để sử dụng ngoại tuyến ### Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học #### 1.1 Đường cong trong mặt phẳng R² - **Định nghĩa:** Đường cong có thể được biểu diễn dưới dạng $y = f(x)$ hoặc tham số $x = f(t), y = g(t)$. - **Điểm chính quy:** - Đối với $f(x,y)=0$: $f'_x(M)$ và $f'_y(M)$ không đồng thời bằng 0. - Đối với tham số $x=x(t), y=y(t)$: $x'(t_0)$ và $y'(t_0)$ không đồng thời bằng 0. - **Phương trình tiếp tuyến tại $M(x_0, y_0)$:** - Nếu $f(x,y)=0$: $(x-x_0)f'_x(M) + (y-y_0)f'_y(M) = 0$. - Nếu tham số $x=x(t), y=y(t)$: $\frac{x-x(t_0)}{x'(t_0)} = \frac{y-y(t_0)}{y'(t_0)}$. - **Phương trình pháp tuyến tại $M(x_0, y_0)$:** - Nếu $f(x,y)=0$: $\frac{x-x_0}{f'_x(M)} = \frac{y-y_0}{f'_y(M)}$. - Nếu tham số $x=x(t), y=y(t)$: $(x-x(t_0))x'(t_0) + (y-y(t_0))y'(t_0) = 0$. #### 1.2 Độ cong của đường cong - **Định nghĩa:** Độ cong $C(M)$ đo tốc độ thay đổi hướng của đường cong tại điểm $M$. - **Công thức tính độ cong:** - Nếu $y = f(x)$: $C(M) = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}$. - Nếu tham số $x=x(t), y=y(t)$: $C(M) = \frac{|x'y'' - y'x''|}{((x')^2+(y')^2)^{3/2}}$. - Nếu tọa độ cực $r = r(\varphi)$: $C(M) = \frac{|r^2+2(r')^2-rr''|}{(r^2+(r')^2)^{3/2}}$. #### 1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số - **Định nghĩa:** Đường cong $(E)$ là hình bao của họ đường cong $(L)$ nếu $(E)$ tiếp xúc với mỗi đường cong trong $(L)$ và ngược lại. - **Quy tắc tìm hình bao:** Với họ đường cong $F(x,y,c)=0$ không có điểm kì dị, hình bao được xác định bằng cách khử $c$ từ hệ phương trình: $$\begin{cases} F(x,y,c) = 0 \\ F'_c(x,y,c) = 0 \end{cases}$$ #### 2.1 Hàm véctơ - **Định nghĩa:** Ánh xạ $I \to R^n$, $t \mapsto \vec{r}(t)$ là hàm véctơ. - **Giới hạn:** $\lim_{t \to t_0} \vec{r}(t) = \vec{a}$ nếu $\lim_{t \to t_0} |\vec{r}(t) - \vec{a}| = 0$. - **Liên tục:** $\vec{r}(t)$ liên tục tại $t_0$ nếu $\lim_{t \to t_0} \vec{r}(t) = \vec{r}(t_0)$. - **Đạo hàm:** $\vec{r}'(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{\vec{r}(t_0+h) - \vec{r}(t_0)}{h}$. #### 2.2 Đường cong trong không gian R³ - **Định nghĩa:** Đường cong $\gamma: [a,b] \to R^3$, $\gamma(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$. - **Vector tiếp tuyến:** $\gamma'(t) = x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j} + z'(t)\vec{k}$. - **Phương trình tiếp tuyến tại $M(x_0,y_0,z_0)$:** $\frac{x-x(t_0)}{x'(t_0)} = \frac{y-y(t_0)}{y'(t_0)} = \frac{z-z(t_0)}{z'(t_0)}$. - **Phương trình pháp diện tại $M(x_0,y_0,z_0)$:** $x'(t_0)(x-x(t_0)) + y'(t_0)(y-y(t_0)) + z'(t_0)(z-z(t_0)) = 0$. #### 2.3 Độ cong của đường cong trong không gian - **Vector tiếp tuyến đơn vị:** $\vec{N}(t) = \frac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}$. - **Định nghĩa độ cong:** $C = \left|\frac{d\vec{N}}{ds}\right|$. - **Công thức độ cong:** $C(t) = \frac{|\gamma'(t) \wedge \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}$. #### 2.4 Mặt cong trong không gian R³ - **Định nghĩa:** Tập hợp các điểm $(x(u,v), y(u,v), z(u,v))$ biến thiên trong miền $D \subset R^2$ là mặt cong tham số. - **Phương trình tiếp diện của mặt cong $z=z(x,y)$:** $Z-z_0 = z'_x(M)(x-x_0) + z'_y(M)(y-y_0)$. - **Phương trình tiếp diện của mặt cong $F(x,y,z)=0$:** $F'_x(M)(x-x_0) + F'_y(M)(y-y_0) + F'_z(M)(z-z_0) = 0$. #### 2.5 Đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong - Cho hai mặt cong $f(x,y,z)=0$ và $g(x,y,z)=0$. - **Vector chỉ phương tiếp tuyến:** $\vec{n}_f \wedge \vec{n}_g$, trong đó $\vec{n}_f = (f'_x, f'_y, f'_z)$ và $\vec{n}_g = (g'_x, g'_y, g'_z)$. ### Chương 2. Tích phân bội #### 1.1 Tích phân kép - **Định nghĩa:** Tích phân kép của $f(x,y)$ trên miền $R$ là $\iint_R f(x,y)dxdy = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x^*_{ij}, y^*_{ij})\Delta S$. - **Định lý Fubini:** Nếu $f(x,y)$ liên tục trên $R = [a,b] \times [c,d]$ thì: $$\iint_R f(x,y)dxdy = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y)dy\right)dx = \int_c^d \left(\int_a^b f(x,y)dx\right)dy$$ - **Tích phân trên miền $D$ bất kì:** Chọn hình chữ nhật $R$ chứa $D$ và định nghĩa $F(x,y) = f(x,y)$ nếu $(x,y) \in D$, và $F(x,y)=0$ nếu $(x,y) \notin D$. - **Tính chất:** - **Tuyến tính:** $\iint_D (af+bg)dxdy = a\iint_D fdxdy + b\iint_D gdxdy$. - **Cộng tính:** Nếu $D = D_1 \cup D_2$ thì $\iint_D fdxdy = \iint_{D_1} fdxdy + \iint_{D_2} fdxdy$. - **Đổi thứ tự lấy tích phân:** - Nếu $D$ là hình thang cong song song với $Oy$: $\iint_D f(x,y)dxdy = \int_a^b \left(\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(x,y)dy\right)dx$. - Nếu $D$ là hình thang cong song song với $Ox$: $\iint_D f(x,y)dxdy = \int_c^d \left(\int_{\varphi(y)}^{\psi(y)} f(x,y)dx\right)dy$. - **Tính tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối:** $\iint_D |f(x,y)|dxdy = \iint_{D^+} f(x,y)dxdy - \iint_{D^-} f(x,y)dxdy$. - **Tính tích phân kép trên miền đối xứng:** - Nếu $D$ đối xứng qua $Ox$ và $f$ lẻ đối với $y$: $\iint_D f(x,y)dxdy = 0$. - Nếu $D$ đối xứng qua $Ox$ và $f$ chẵn đối với $y$: $\iint_D f(x,y)dxdy = 2\iint_{D^+} f(x,y)dxdy$. #### 1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép - **Công thức tổng quát:** $\iint_D f(x,y)dxdy = \iint_{D_{uv}} f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$, với $J = \frac{D(x,y)}{D(u,v)}$. - **Tọa độ cực:** $x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi$, $J=r$. - $\iint_D f(x,y)dxdy = \iint_{D_{r\varphi}} f(r\cos\varphi, r\sin\varphi)rdrd\varphi$. #### 2.1 Định nghĩa và tính chất của Tích phân bội ba - **Định nghĩa:** Tích phân bội ba của $f(x,y,z)$ trên miền $V$ là $\iiint_V f(x,y,z)dV = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\Delta V_i$. - **Tính chất:** - **Tuyến tính:** $\iiint_V (af+bg)dV = a\iiint_V fdV + b\iiint_V gdV$. - **Cộng tính:** Nếu $V = V_1 \cup V_2$ thì $\iiint_V fdV = \iiint_{V_1} fdV + \iiint_{V_2} fdV$. #### 2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes - **Chuyển về tích phân lặp:** - Nếu $V$ giới hạn bởi $z_1(x,y) \le z \le z_2(x,y)$ và hình chiếu của $V$ lên mặt phẳng $Oxy$ là $D$: $$\iiint_V f(x,y,z)dxdydz = \iint_D \left(\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz\right)dxdy$$ - **Tích phân trên miền đối xứng:** - Nếu $V$ đối xứng qua $Oxy$ và $f$ lẻ đối với $z$: $\iiint_V f(x,y,z)dxdydz = 0$. - Nếu $V$ đối xứng qua $Oxy$ và $f$ chẵn đối với $z$: $\iiint_V f(x,y,z)dxdydz = 2\iiint_{V^+} f(x,y,z)dxdydz$. #### 2.3 Phép đổi biến số trong tích phân bội ba - **Công thức tổng quát:** $\iiint_V f(x,y,z)dxdydz = \iiint_{V_{uvw}} f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|dudvdw$. - **Tọa độ trụ:** $x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi, z=z$, $J=r$. - $\iiint_V f(x,y,z)dxdydz = \iiint_{V_{r\varphi z}} f(r\cos\varphi, r\sin\varphi, z)rdrd\varphi dz$. - **Tọa độ cầu:** $x=r\sin\theta\cos\varphi, y=r\sin\theta\sin\varphi, z=r\cos\theta$, $J=r^2\sin\theta$. - $\iiint_V f(x,y,z)dxdydz = \iiint_{V_{r\theta\varphi}} f(r\sin\theta\cos\varphi, r\sin\theta\sin\varphi, r\cos\theta)r^2\sin\theta drd\theta d\varphi$. #### 3.1 Tính diện tích hình phẳng - **Công thức tổng quát:** $S = \iint_D dxdy$. #### 3.2 Tính thể tích vật thể - **Công thức tổng quát:** $V = \iiint_V dxdydz$. - **Trường hợp đặc biệt:** - Vật thể hình trụ: $V = \iint_D f(x,y)dxdy$. - Vật thể giới hạn bởi $z_1(x,y) \le z \le z_2(x,y)$: $V = \iint_D |z_2(x,y) - z_1(x,y)|dxdy$. #### 3.3 Tính diện tích mặt cong - **Công thức tổng quát:** $\sigma = \iint_S dS = \iint_D \sqrt{1 + (f'_x)^2 + (f'_y)^2}dxdy$, nếu $S$ là mặt $z=f(x,y)$. ### Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số #### 1.1 Giới thiệu - **Định nghĩa:** Tích phân xác định phụ thuộc tham số có dạng $I(y) = \int_a^b f(x,y)dx$. #### 1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số - **Tính liên tục:** Nếu $f(x,y)$ liên tục trên $[a,b] \times [c,d]$ thì $I(y)$ liên tục trên $[c,d]$. - **Tính khả vi (Định lý Leibniz):** Nếu $f(x,y)$ và $f'_y(x,y)$ liên tục, thì $I'(y) = \int_a^b f'_y(x,y)dx$. #### 1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi - **Tính liên tục:** Nếu $f(x,y)$ liên tục, $a(y), b(y)$ liên tục, thì $J(y) = \int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)dx$ liên tục. - **Tính khả vi (Định lý Leibniz tổng quát):** $$J'(y) = f(b(y),y)b'(y) - f(a(y),y)a'(y) + \int_{a(y)}^{b(y)} f'_y(x,y)dx$$ #### 2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số - **Hội tụ đều (Tiêu chuẩn Weierstrass):** Nếu $|f(x,y)| \le g(x)$ và $\int_a^\infty g(x)dx$ hội tụ, thì $\int_a^\infty f(x,y)dx$ hội tụ đều. - **Tính liên tục:** Nếu $f(x,y)$ liên tục và tích phân suy rộng hội tụ đều, thì $I(y)$ liên tục. - **Tính khả vi:** Nếu $f(x,y)$ và $f'_y(x,y)$ liên tục và các tích phân suy rộng hội tụ đều, thì $I'(y) = \int_a^\infty f'_y(x,y)dx$. #### 2.3 Một số tích phân quan trọng - **Tích phân Dirichlet:** $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx = \frac{\pi}{2}$. - **Tích phân Gauss:** $\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$. - **Tích phân Fresnel:** $\int_0^\infty \sin(x^2)dx = \int_0^\infty \cos(x^2)dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$. #### 3.1 Hàm Gamma - **Định nghĩa:** $\Gamma(p) = \int_0^\infty x^{p-1}e^{-x}dx$, $p>0$. - **Tính chất hạ bậc:** $\Gamma(p+1) = p\Gamma(p)$. - **Giá trị đặc biệt:** $\Gamma(1) = 1$, $\Gamma(n) = (n-1)!$ với $n \in \mathbb{N}$. - **Liên hệ với tích phân Gauss:** $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$. #### 3.2 Hàm Beta - **Định nghĩa:** $B(p,q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx = \int_0^\infty \frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}}dx$. - **Tính chất đối xứng:** $B(p,q) = B(q,p)$. - **Liên hệ với hàm Gamma:** $B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$. - **Dạng lượng giác:** $B(p,q) = 2\int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1}t \cos^{2q-1}t dt$. ### Chương 4. Tích phân đường #### 1.1 Định nghĩa Tích phân đường loại I - **Định nghĩa:** $\int_{AB} f(x,y)ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(M_i)\Delta s_i$. - **Tính chất:** Không phụ thuộc hướng của cung $AB$. - **Ứng dụng:** Tính khối lượng của cung (nếu $f(x,y)$ là mật độ khối lượng), tính chiều dài cung. #### 1.2 Các công thức tính Tích phân đường loại I - **Nếu $y=y(x)$:** $\int_{AB} f(x,y)ds = \int_a^b f(x,y(x))\sqrt{1+(y'(x))^2}dx$. - **Nếu $x=x(y)$:** $\int_{AB} f(x,y)ds = \int_c^d f(x(y),y)\sqrt{1+(x'(y))^2}dy$. - **Nếu tham số $x=x(t), y=y(t)$:** $\int_{AB} f(x,y)ds = \int_{t_1}^{t_2} f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt$. - **Nếu tọa độ cực $r=r(\varphi)$:** $\int_{AB} f(x,y)ds = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} f(r\cos\varphi, r\sin\varphi)\sqrt{r^2+(r')^2}d\varphi$. #### 2.1 Định nghĩa Tích phân đường loại II - **Định nghĩa:** $\int_{AB} P(x,y)dx + Q(x,y)dy = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n [P(M_i)\Delta x_i + Q(M_i)\Delta y_i]$. - **Tính chất:** Phụ thuộc hướng của cung $AB$. #### 2.2 Các công thức tính Tích phân đường loại II - **Nếu $y=y(x)$:** $\int_{AB} Pdx+Qdy = \int_a^b [P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x)]dx$. - **Nếu $x=x(y)$:** $\int_{AB} Pdx+Qdy = \int_c^d [P(x(y),y)x'(y) + Q(x(y),y)]dy$. - **Nếu tham số $x=x(t), y=y(t)$:** $\int_{AB} Pdx+Qdy = \int_{t_1}^{t_2} [P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)]dt$. #### 2.3 Công thức Green - **Định lý Green:** Cho miền $D$ bị chặn bởi đường cong kín $C$ có hướng dương, thì: $$\oint_C Pdx+Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$ #### 2.4 Ứng dụng của Tích phân đường loại II - **Tính diện tích hình phẳng:** - Sử dụng công thức Green với $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$. Các lựa chọn phổ biến: $(P,Q) = (0,x)$, $(-y,0)$, hoặc $(-\frac{y}{2}, \frac{x}{2})$. - $S(D) = \oint_C xdy = -\oint_C ydx = \frac{1}{2}\oint_C xdy - ydx$. #### 2.5 Điều kiện để Tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân - **Định lý:** Tích phân $\int Pdx+Qdy$ không phụ thuộc đường lấy tích phân trong miền đơn liên $D$ khi và chỉ khi $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ trong $D$. - **Hàm thế vị:** Nếu điều kiện trên thỏa mãn, tồn tại hàm $u(x,y)$ sao cho $du = Pdx+Qdy$. - $u(x,y) = \int_{x_0}^x P(t,y_0)dt + \int_{y_0}^y Q(x,t)dt$. ### Chương 5. Tích phân mặt #### 1.1 Diện tích mặt cong - **Định nghĩa:** Cho mặt cong $S$ trơn, tham số hóa bởi $\vec{r}(u,v)$. Diện tích của $S$ là $A(S) = \iint_D |\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v|dudv$. - **Nếu $z=f(x,y)$:** $dS = \sqrt{1 + (f'_x)^2 + (f'_y)^2}dxdy$. #### 1.2 Bài toán dẫn đến Tích phân mặt loại I - **Tính khối lượng mặt:** Nếu mặt $S$ có mật độ khối lượng $\rho(x,y,z)$, khối lượng là $M = \iint_S \rho(x,y,z)dS$. #### 1.3 Các công thức tính Tích phân mặt loại I - **Nếu $\vec{r}(u,v)$:** $\iint_S f(x,y,z)dS = \iint_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v|dudv$. - **Nếu $z=f(x,y)$:** $\iint_S f(x,y,z)dS = \iint_D f(x,y,f(x,y))\sqrt{1+(f'_x)^2+(f'_y)^2}dxdy$. #### 2.1 Định hướng mặt cong - **Định nghĩa:** Mặt cong có thể định hướng được (mặt hai phía) hoặc không định hướng được (mặt một phía, ví dụ dải Möbius). - **Vector pháp tuyến:** $\vec{n}$. #### 2.2 Bài toán dẫn đến Tích phân mặt loại II - **Thông lượng:** Lượng chất lỏng chảy qua mặt $S$ trong một đơn vị thời gian. - **Định nghĩa:** $\iint_S \vec{F} \cdot \vec{n}dS = \iint_S P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma dS$. - **Ký hiệu:** $\iint_S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy$. #### 2.3 Các công thức tính Tích phân mặt loại II - **Nếu $\vec{r}(u,v)$:** $\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iint_D (AP+BQ+CR)dudv$, với $\vec{N} = \vec{r}_u \wedge \vec{r}_v = (A,B,C)$. - **Nếu $F(x,y,z)=0$:** Chuyển về tích phân kép trên hình chiếu của mặt cong. #### 2.4 Công thức Ostrogradsky (Định lý phân kì) - **Định lý:** Cho miền $V$ bị chặn bởi mặt cong kín $S$ trơn, thì: $$\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz$$ - **Lưu ý:** Tích phân vế trái lấy theo hướng pháp tuyến ngoài. #### 2.5 Công thức Stokes - **Định lý:** Cho mặt cong $S$ trơn có biên là đường cong kín $L$, thì: $$\oint_L Pdx+Qdy+Rdz = \iint_S \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$ - **Lưu ý:** Hướng của $L$ phải phù hợp với hướng của $\vec{n}$ trên $S$. #### 2.6 Công thức liên hệ giữa Tích phân mặt loại I và loại II - $\iint_S P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma dS = \iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$. ### Chương 6. Lý thuyết trường #### 1.1 Định nghĩa trường vô hướng - **Định nghĩa:** Hàm $u: \Omega \to \mathbb{R}$, $(x,y,z) \mapsto u(x,y,z)$ là trường vô hướng. - **Mặt mức (mặt đẳng trị):** Tập hợp các điểm $(x,y,z)$ sao cho $u(x,y,z)=c$. #### 1.2 Đạo hàm theo hướng - **Định nghĩa:** Đạo hàm theo hướng $\vec{l}$ của $u$ tại $M_0$ là $\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}(M_0) = \lim_{t \to 0} \frac{u(M_0+t\vec{l}) - u(M_0)}{t}$. - **Công thức:** $\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}(M_0) = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$. #### 1.3 Gradient - **Định nghĩa:** Gradient của trường vô hướng $u$ tại $M_0$ là vector $\text{grad } u(M_0) = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)$. - **Tính chất:** $\frac{\partial u}{\partial \vec{l}} = \text{grad } u \cdot \vec{l}$. - **Hướng tăng nhanh nhất:** Theo hướng của $\text{grad } u$. #### 2.1 Định nghĩa trường véctơ - **Định nghĩa:** Hàm $\vec{F}: \Omega \to \mathbb{R}^3$, $M \mapsto \vec{F}(M)$ là trường véctơ. - **Biểu diễn:** $\vec{F}(M) = F_x(M)\vec{i} + F_y(M)\vec{j} + F_z(M)\vec{k}$. #### 2.2 Thông lượng, dive, trường ống - **Thông lượng:** $\Phi = \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n}dS = \iint_S F_xdydz + F_ydzdx + F_zdxdy$. - **Dive (Độ phân kì):** $\text{div } \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$. - **Trường ống:** Trường véctơ $\vec{F}$ mà $\text{div } \vec{F} = 0$. #### 2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy - **Hoàn lưu:** $\oint_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \oint_L F_xdx + F_ydy + F_zdz$. - **Curl (Độ xoáy):** $\text{curl } \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\vec{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\vec{k}$. #### 2.4 Trường thế - hàm thế vị - **Định nghĩa:** Trường véctơ $\vec{F}$ là trường thế nếu tồn tại trường vô hướng $u$ sao cho $\vec{F} = \text{grad } u$. $u$ là hàm thế vị. - **Điều kiện:** $\vec{F}$ là trường thế khi và chỉ khi $\text{curl } \vec{F} = \vec{0}$. - **Tính hàm thế vị:** $u(x,y,z) = \int_{x_0}^x F_x(t,y_0,z_0)dt + \int_{y_0}^y F_y(x,t,z_0)dt + \int_{z_0}^z F_z(x,y,t)dt + C$.