Tích Phân

Cheatsheet Content

### Định nghĩa Tích Phân #### 1. Khái niệm Tích Phân ##### Diện tích hình thang cong Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ ($a #### 2. Định nghĩa tích phân Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ thì hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của hàm số $f(x)$, kí hiệu là $\int_a^b f(x)dx$. ##### Chú ý 1: Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến: $$\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt = \int_a^b f(u)du$$ ##### Chú ý 2: a) Hiệu $F(b) - F(a)$ thường được kí hiệu là $F(x)\Big|_a^b$. Như vậy: $\int_a^b f(x)dx = F(x)\Big|_a^b$. b) Ta gọi $\int$ là dấu tích phân, $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên, $f(x)dx$ là biểu thức dưới dấu tích phân và $f(x)$ là hàm số dưới dấu tích phân. c) Trong trường hợp $a = b$ hoặc $a > b$, ta quy ước: $$\int_a^a f(x)dx = 0$$ $$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$$ ##### Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a;b]$, thì tích phân $\int_a^b f(x)dx$ là diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$. Vậy $S = \int_a^b f(x)dx$. ### Tính chất của Tích Phân Cho $f(x)$, $g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khi đó, ta có: 1. $\int_a^b k f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx$ 2. $\int_a^b [f(x) + g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx$ 3. $\int_a^b [f(x) - g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx$ 4. $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$ (với $a ### Bài toán Trắc Nghiệm #### Câu hỏi Trắc Nghiệm 1. Biết $\int_1^3 f(x)dx = 3$. Giá trị của $\int_1^3 2f(x)dx$ bằng: A. 5 B. 9 C. 6 D. $\frac{3}{2}$ 2. Biết $F(x) = x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int_1^2 (2+f(x))dx$ bằng: A. $\frac{23}{4}$ B. 7 C. 9 D. $\frac{15}{4}$ 3. Biết $\int_2^3 f(x)dx = 3$ và $\int_2^3 g(x)dx = 1$. Khi đó $\int_2^3 [f(x)+g(x)]dx$ bằng: A. 4 B. 2 C. -2 D. 3 4. Biết $\int_0^1 [f(x) + 2x]dx = 3$. Khi đó $\int_0^1 f(x)dx$ bằng: A. 1 B. 5 C. 3 D. 2 5. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm $f, g$ liên tục trên $K$ và $a, b$ là các số bất kỳ thuộc $K$? A. $\int_a^b [f(x)+2g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx + 2\int_a^b g(x)dx$. B. $\int_a^b \frac{f(x)}{g(x)}dx = \frac{\int_a^b f(x)dx}{\int_a^b g(x)dx}$. C. $\int_a^b [f(x) \cdot g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx \cdot \int_a^b g(x)dx$. D. $\int_a^b f^2(x)dx = \left[\int_a^b f(x)dx\right]^2$. 6. Cho $\int_0^3 f(x)dx = -1$; $\int_1^3 f(x)dx = 5$. Tính $\int_0^1 f(x)dx$: A. 1 B. 4 C. 6 D. 5 7. Cho hàm số $f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $[-1;2]$, $f(-1) = 8$; $f(2) = -1$. Tích phân $\int_{-1}^2 f'(x)dx$ bằng: A. 1 B. 7 C. -9 D. 9 8. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int_0^4 f(x)dx = 10$, $\int_0^3 f(x)dx = 4$. Tích phân $\int_3^4 f(x)dx$ bằng: A. 4 B. 7 C. 3 D. 6 9. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;10]$ thỏa mãn $\int_0^6 f(x)dx = 7$, $\int_2^{10} f(x)dx = 3$. Tính $P = \int_0^2 f(x)dx + \int_6^{10} f(x)dx$. A. $P = 10$ B. $P = 4$ C. $P = 7$ D. $P = -6$ 10. Cho $f, g$ là hai hàm số liên tục trên $[1;3]$ thỏa mãn điều kiện $\int_1^3 [f(x)+3g(x)]dx = 10$ đồng thời $\int_1^3 [2f(x)-g(x)]dx = 6$. Tính $\int_1^3 [f(x)+g(x)]dx$. A. 9 B. 6 C. 7 D. 8 11. Cho $\int_0^{\pi/2} f(x)dx = 5$. Tính $I = \int_0^{\pi/2} [f(x)+2\sin x]dx$. A. $I = 7$ B. $I = 5 + \frac{\pi}{2}$ C. $I = 3$ D. $I = 5 + \pi$ 12. Cho hai tích phân $\int_{-2}^5 f(x)dx = 8$ và $\int_{-2}^5 g(x)dx = 3$. Tính $I = \int_{-2}^5 [f(x)-4g(x)-1]dx$. A. 13 B. 27 C. -11 D. 3 13. Tích phân $\int_0^1 (3x+1)(x+3)dx$ bằng: A. 12 B. 9 C. 5 D. 6 14. Giá trị của $\int_0^{\pi/2} \sin x dx$ bằng: A. 0 B. 1 C. -1 D. $\frac{\pi}{2}$ 15. Tính tích phân $I = \int_1^e \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right)dx$: A. $I = \frac{1}{e}$ B. $I = \frac{1}{e} + 1$ C. $I = 1$ D. $I = e$ 16. Tính tích phân $I = \int_1^2 \frac{x-1}{x}dx$: A. $I = 1 - \ln 2$ B. $I = \frac{7}{4}$ C. $I = 1 + \ln 2$ D. $I = 2 \ln 2$ 17. Biết $\int_1^3 \frac{x+2}{x}dx = a + b\ln c$, với $a,b,c \in \mathbb{Z}, c 0$? A. 1 B. 5 C. 2 D. 3 20. Cho hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ thỏa mãn $f'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$, $f(-2) = \frac{3}{2}$ và $f(2) = 2\ln 2 - \frac{3}{2}$. Giá trị của biểu thức $f(-1) + f(4)$ bằng: A. $\frac{6\ln 2 - 3}{4}$ B. $\frac{6\ln 2 + 3}{4}$ C. $\frac{8\ln 2 + 3}{4}$ D. $\frac{8\ln 2 - 3}{4}$ ### Trắc Nghiệm Đúng Sai 21. Cho $\int_0^2 f(x)dx = 3$, $\int_0^3 f(x)dx = 5$. Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) $\int_0^3 f(x)dx = 3$. b) $\int_2^3 f(x)dx = 2$. c) $\int_0^2 (f(x)-2x)dx = -1$. d) Nếu $f(2) = 10$ thì $\int_0^2 xf'(x)dx = 13$. 22. Cho hàm số $f(x) = e^x$. a) $\int_0^1 f(x)dx = e$. b) $\int_0^1 f(2x+1)dx = e^3 - e$. c) $\int_0^1 (f(x)-4x)dx = e-3$. d) $\int_0^1 (x-1)f(x)dx = 2-e$. 23. Cho $\int_{-3}^0 f(x)dx = -4$ và $\int_{-3}^0 g(x)dx = -3$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) $\int_{-3}^0 f(x)dx = -4$. b) $\int_{-3}^0 -3f(x)dx = 12$. c) $\int_{-3}^0 [f(x)+g(x)]dx = -7$. d) Nếu $\int_{-3}^0 [2f(x)+3g(x)]dx = -51$ và $\int_{-3}^0 [nf(x)+mg(x)]dx = 20$ thì $m+n = -3$. 24. Cho hàm số $f(x), g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) Nếu $\int_1^2 f(x)dx = 5$ và $\int_1^2 g(x)dx = -\frac{1}{2}$ thì $\int_1^2 [f(x)-g(x)]dx = \frac{11}{2}$. b) Nếu $\int_1^3 [g(x)+2x+3]dx = 10$ thì $\int_1^3 g(x)dx = 3$. c) Nếu $F(x) = e^{3x}$, $F(0) = \frac{1}{3}$ thì $F\left(\frac{1}{3}\right) = e$. d) Nếu $f(x) = 2x+1$; $g(x) = x-2$ thì $\int_3^5 \frac{f(x)}{g(x)}dx = a+b\ln c$. Khi đó $a+b+c = 11$. 25. Cho hàm số $f(x) = 4x^3+x$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) $\int_3^5 f(x)dx = 552$. b) Biết $F(1) = 4$ thì $F(2) = \frac{41}{2}$. c) $\int_0^2 (1+2x+f(x))dx = 20$. d) Biết $\int_{-2}^0 f(x)dx = \frac{39}{2}$. ### Trả lời ngắn 26. Biết $F(x) = x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int_1^2 (1+f(x))dx$ bằng: 27. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{2}{x+2}$. Biết $F(-1) = 0$. Tính $F(2)$ kết quả là. 28. Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0) = 4$ và $f'(x) = 2\sin^2 x + 3$, $\forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int_0^{\pi/2} f(x)dx$ bằng: 29. Biết $\int_0^2 \frac{x^2+x+1}{x+1}dx = a + \ln \frac{b}{2}$ với $a, b$ là các số nguyên. Tính $S = a-2b$. 30. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc $v(t) = 160-10t$ (m/s). Hỏi rằng trong 3s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?