Tóm tắt Giải tích 1

Cheatsheet Content

1. Giới hạn, dạng vô định Giới hạn Hàm số bị chặn: Một hàm số $f(x)$ được gọi là bị chặn trên một lân cận của $x_0$ nếu tồn tại $M > 0$ sao cho $|f(x)| \le M$ với mọi $x$ trong lân cận đó. Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ và $|f(x_0)| Tính chất cơ bản của giới hạn: a) $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x)$ b) $\lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) - \lim_{x \to x_0} g(x)$ c) $\lim_{x \to x_0} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to x_0} f(x)$, với mọi $k \in \mathbb{R}$ d) $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x)$ e) $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)}$, với $\lim_{x \to x_0} g(x) \ne 0$ Điều kiện tồn tại giới hạn: Giới hạn trái và phải tại $x_0$ phải bằng nhau. $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ Nguyên lý kẹp: Nếu $f(x) \le g(x) \le h(x)$ với mọi $x$ trong lân cận $a$ (có thể loại trừ $a$) và $\lim_{x \to a} f(x) = L = \lim_{x \to a} h(x)$ thì $\lim_{x \to a} g(x) = L$. Các quy tắc xử lý dạng vô định quan trọng Vô cùng bé tương đương: Với $\lim_{x \to a} u(x) = 0$ (QUAN TRỌNG: $u(x)$ phải tiến đến 0) 1. Lượng giác sin, tan: $\sin u(x) \sim u(x)$, $\tan u(x) \sim u(x)$ 2. Lượng giác cos: $1 - \cos u(x) \sim \frac{1}{2} u^2(x)$ 3. Hàm mũ: $e^{u(x)} - 1 \sim u(x)$, $a^{u(x)} - 1 \sim u(x) \ln a$ 4. Hàm logarit: $\ln(1 + u(x)) \sim u(x)$ 5. Hàm lượng giác ngược arcsin, arctan: $\arcsin u(x) \sim u(x)$, $\arctan u(x) \sim u(x)$ 6. Hàm đa thức: $(1 + u(x))^\alpha - 1 \sim \alpha u(x)$ Quy tắc L'Hopital: Chỉ được dùng để xử lí dạng $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$. $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ Các dạng vô định còn lại: Đưa về dạng $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$ theo các bước sau 1. $0 \cdot \infty \to \frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$ 2. $\infty - \infty \to \frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$ 3. $1^\infty, 0^0, \infty^0 \to 0 \cdot \infty \to \frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$ 2. Đạo hàm, vi phân Một số công thức đạo hàm "hay quên" Hàm số Đạo hàm Hàm lượng giác $(\sin x)' = \cos x = \sin(x + \pi/2)$ $(\cos x)' = -\sin x = \cos(x + \pi/2)$ $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $-1 $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $-1 $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$, $x \in \mathbb{R}$ $(\text{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$, $x \in \mathbb{R}$ Hàm loga - mũ $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$, $0 0$ $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$, $(0 Đạo hàm cấp cao Hàm số Đạo hàm cấp $n$ $f(x) = a^{kx}$ $f^{(n)}(x) = k^n a^{kx} (\ln a)^n$, $\forall n \ge 2$ $f(x) = e^{kx}$ $f^{(n)}(x) = k^n e^{kx}$, $\forall n \ge 2$ $f(x) = \sin(kx)$ $f^{(n)}(x) = k^n \sin\left(kx + \frac{n\pi}{2}\right)$, $\forall n \ge 2$ $f(x) = \cos(kx)$ $f^{(n)}(x) = k^n \cos\left(kx + \frac{n\pi}{2}\right)$, $\forall n \ge 2$ $f(x) = \frac{k}{x-b}$ $f^{(n)}(x) = k \frac{(-1)^n n!}{(x-b)^{n+1}}$, $\forall n \ge 2$ Công thức Newton – Leibniz cho đạo hàm cấp cao: $(f(x) \cdot g(x))^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k f^{(k)}(x) \cdot g^{(n-k)}(x)$ trong đó quy ước $f^{(0)}(x) = f(x)$, $g^{(0)}(x) = g(x)$. 3. Khai triển Taylor, Maclaurin Định lý Cauchy: Cho $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm khả vi trên $(a, b)$, liên tục trên $[a, b]$, $g'(x) \ne 0$ khi $x \in (a,b)$. Khi đó tồn tại số $c \in (a, b)$ sao cho: $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$. Khi $g(x) = x$, đây là định lý Lagrange. Định lý Lagrange: Nếu $f(x)$ khả vi trên $(a, b)$, liên tục trên $[a, b]$. Tồn tại số $c \in (a, b)$ sao cho: $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ Khai triển Taylor Nếu $f(x)$ có đạo hàm đến cấp $n$ trên $(a, b)$, $n \ge 1$, $x_0 \in (a, b)$: $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n - 1)!}(x - x_0)^{n-1} + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$ Khai triển Maclaurin Là khai triển Taylor với $x_0 = 0$ $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n - 1)!}x^{n-1} + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$ Một số khai triển Maclaurin thường dùng $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$, $\forall x \in \mathbb{R}$ Tổng quát: $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!} + o(x^{2n+2})$, $\forall x \in \mathbb{R}$ Tổng quát: $\sin x = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$, $\forall x \in \mathbb{R}$ Tổng quát: $\cos x = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}$ $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$, $\forall x \in (-1; + \infty)$ Tổng quát: $\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$ $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n + 1} + o(x^{2n+2})$, $\forall x \in \mathbb{R}$ Tổng quát: $\arctan x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n + 1}$ $(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha - 1)\dots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n + o(x^n)$ Tổng quát: $(1 + x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty C_\alpha^n x^n$ với $C_\alpha^n = \frac{\alpha(\alpha - 1)\dots(\alpha - n + 1)}{n!}$ $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \dots + (-1)^n x^n + o(x^n)$ Tổng quát: $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n$ $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n)$ Tổng quát: $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n$ $\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3)$ Tổng quát: $\sqrt{1 + x} = (1 + x)^{1/2} = \sum_{n=0}^\infty C_{1/2}^n x^n$ 4. Tích phân, tích phân suy rộng Một số công thức siêu cơ bản Loại hàm Tích phân Đa thức $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$ Phân số $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ Hàm mũ $\int e^x dx = e^x + C$ $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \ne 1)$ Hàm lượng giác $\int \cos x dx = \sin x + C$ $\int \sin x dx = -\cos x + C$ $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$ $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$ Công thức tích phân ra hàm lượng giác ngược Arctan: $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C \quad (a \ne 0)$ $\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \arctan(x) + C \quad (a \ne 0)$ Arcsin: $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$ $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin(x) + C$ Quy tắc tích phân nguyên hàm cơ bản Công thức đổi biến: $\int g(u(x)) u'(x)dx = \int g(u)du$ Với $u'(x)$ là đạo hàm của $u(x)$ Ví dụ: $\int \frac{2x}{x^2+1}dx$. Đặt $u = x^2+1 \Rightarrow du = 2x dx$. Khi đó $\int \frac{2x}{x^2+1}dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln(x^2+1) + C$. Lưu ý: Nếu đổi biến tích phân xác định thì phải đổi cả cận. Công thức tích phân từng phần: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ Thứ tự ưu tiên để “khử” vào $d$ (chọn $u$): Nhất log nhì đa tam lượng tứ mũ Ưu tiên đảo: logarit $\to$ đa thức $\to$ lượng giác (sincostan) $\to$ hàm số mũ Có thể sử dụng phương pháp “múa cột” để làm nhanh. Công thức tích phân suy rộng loại vô cùng (cận $\infty$) Tính tích phân: Bắt buộc phải tính hẳn nguyên hàm sau đó thế cận để tính giá trị cụ thể. Đánh giá sự hội tụ: Ưu tiên sử dụng quy tắc so sánh để đánh giá, quy về tích phân đơn giản hơn. Tiêu chuẩn giới hạn: Cho hai hàm số $f(x), g(x)$ khả tích trên $[a, b]$, $\forall b > 0$, $f(x) \ge 0$, $g(x) \ge 0$, $\forall x \ge a$ và $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = M \ge 0$. Khi đó: Nếu $M \in (0, +\infty)$, thì $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ hội tụ (phân kỳ) khi và chỉ khi $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ hội tụ (phân kỳ). Nếu $M = 0$ và $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ hội tụ, thì $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ hội tụ. Nếu $M = +\infty$ và $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ phân kỳ, thì $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ phân kỳ. So sánh trực tiếp: Hoặc: Nếu $f(x) g(x)$ thì nếu $g(x)$ hội tụ $f(x)$ cũng hội tụ. Phải nhớ: Tích phân $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ hội tụ nếu $\alpha > 1$, phân kì nếu $\alpha \le 1$. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: Tích phân suy rộng $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ được gọi là hội tụ tuyệt đối, nếu $\int_a^{+\infty} |f(x)| dx$ hội tụ. Tích phân suy rộng $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ được gọi là bán hội tụ, nếu $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ hội tụ và tích phân $\int_a^{+\infty} |f(x)| dx$ phân kỳ. Công thức tích phân suy rộng loại vô cùng (cận hữu hạn) Xác định tích phân suy rộng: Không phải tích phân hàm $f(x)$ vô định nào cũng là tích phân suy rộng. Nếu $\lim_{x \to a^+} f(x) = \text{const}$: $\int_a^b f(x) dx$ không suy rộng. Nếu $\lim_{x \to a^+} f(x) \to \infty$: $\int_a^b f(x) dx$ suy rộng. Nếu tích phân không suy rộng, 100% sẽ hội tụ. Tính tích phân: Bắt buộc phải tính hẳn nguyên hàm sau đó thế cận để tính giá trị cụ thể. Đánh giá sự hội tụ: Ưu tiên sử dụng quy tắc so sánh để đánh giá, quy về tích phân đơn giản hơn. Tiêu chuẩn giới hạn: Cho các hàm số $0 \le f(x), 0 \le g(x)$, $\forall x \in [a, b)$, $\lim_{x \to b^-}f(x) = \lim_{x \to b^-}g(x) = +\infty$. và $\lim_{x \to b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = M \ge 0$. Khi đó: Nếu $M \in (0, +\infty)$, thì $\int_a^b f(x) dx$ hội tụ khi và chỉ khi $\int_a^b g(x) dx$ hội tụ. Nếu $M = 0$ và $\int_a^b g(x) dx$ hội tụ, thì $\int_a^b f(x) dx$ hội tụ. Nếu $M = +\infty$ và $\int_a^b g(x) dx$ phân kỳ, thì $\int_a^b f(x) dx$ phân kỳ. So sánh trực tiếp: Hoặc: Nếu $f(x) g(x)$ thì nếu $g(x)$ hội tụ $f(x)$ cũng hội tụ. Phải nhớ: Tích phân $\int_a^b \frac{1}{(x-a)^\alpha} dx$ suy rộng hội tụ nếu $\alpha 5. Chuỗi số Tổng Riemann: $\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f\left(a + i\frac{b-a}{n}\right)$ Chuỗi số: $S = \sum_{n=a}^\infty a_n$ Tổng riêng $n$ số hạng đầu trong chuỗi lũy thừa: $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} ar^k = a \frac{1-r^n}{1-r}$ Sự hội tụ của chuỗi số Điều kiện cần: $\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0 \Rightarrow$ Chuỗi phân kì. Điều kiện đủ: $\lim_{n \to \infty} S_n = S \Rightarrow$ Chuỗi hội tụ (S là tổng của chuỗi). Nếu $S_n$ không có giới hạn hoặc giới hạn là $\infty$, chuỗi phân kì. 1. Tiêu chuẩn tích phân: Sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=N}^\infty a_n$ tương đương với sự hội tụ của tích phân suy rộng cận vô cùng $\int_N^\infty f(x) dx$, với $f(x)$ là một hàm dương, liên tục, giảm và $f(n)=a_n$ với mọi $n \ge N$. 2. Tiêu chuẩn so sánh: Cho hai chuỗi số dương $\sum a_n$ và $\sum b_n$. Nếu $a_n \le b_n$ với mọi $n$ đủ lớn: Nếu $\sum b_n$ hội tụ thì $\sum a_n$ hội tụ. Nếu $\sum a_n$ phân kì thì $\sum b_n$ phân kì. Nếu $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$ ($0 Nếu $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 0$: Nếu $\sum b_n$ hội tụ thì $\sum a_n$ hội tụ. Nếu $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \infty$: Nếu $\sum b_n$ phân kì thì $\sum a_n$ phân kì. 3. Tiêu chuẩn D’lambert (Chuỗi số dương): $D = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ $D $D > 1$: Phân kì $D = 1$: Chưa kết luận được 4. Tiêu chuẩn Cauchy (Chuỗi số dương): $C = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ $C $C > 1$: Phân kì $C = 1$: Chưa kết luận được 5. Tiêu chuẩn Leibnitz (Chuỗi đan dấu): Chuỗi đan dấu $\sum_{n=N}^\infty (-1)^n a_n$ (hoặc $\sum_{n=N}^\infty (-1)^{n+1} a_n$) hội tụ khi đảm bảo đủ: $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ $a_n$ giảm chặt tới 0 khi $n$ tới vô cùng ($a_{n+1} \le a_n$ với mọi $n$ đủ lớn). Chuỗi hàm Chuỗi hàm lũy thừa: $S = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n$ Các bước tìm miền hội tụ: B1: Tính $\rho$ theo 1 trong 2 cách dưới: $\rho = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ $\rho = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ B2: Tìm bán kính hội tụ $R = \frac{1}{\rho}$. Chuỗi hội tụ trong khoảng $|x - x_0| Lưu ý: Nếu $\rho = 0, R = \infty$ (chuỗi hội tụ trên toàn $\mathbb{R}$) Nếu $\rho = \infty, R = 0$ (chuỗi chỉ hội tụ tại $x = x_0$) B3: Nếu $R$ = const, khác 0 hoặc $\infty$. Xét tại hai đầu mút: $x = x_0 + R$ và $x = x_0 - R$ xem chuỗi có hội tụ không rồi kết luận miền hội tụ. Chuỗi Fourier (Chuỗi lượng giác) Công thức khai triển tổng quát: $f(x) = a_0 + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx))$ Với $f(x)$ là hàm tuần hoàn chu kì $2T = 2\pi$: $a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)dx$ $a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(kx) dx$ $b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(kx) dx$ Với $f(x)$ là hàm tuần hoàn chu kì $2T$ bất kì: $a_0 = \frac{1}{2T} \int_{-T}^T f(x)dx$ $a_k = \frac{1}{T} \int_{-T}^T f(x) \cos\left(\frac{k\pi x}{T}\right) dx$ $b_k = \frac{1}{T} \int_{-T}^T f(x) \sin\left(\frac{k\pi x}{T}\right) dx$ Với $f(x)$ là hàm hữu hạn (không tuần hoàn): Nếu bắt khai triển thành chuỗi sin, thác triển hàm $F(x)$ lẻ bằng cách lấy đối xứng hàm $f(x)$ theo tâm đối xứng là gốc tọa độ. Nếu bắt khai triển thành chuỗi cos, thác triển hàm $F(x)$ chẵn bằng cách lấy đối xứng hàm $f(x)$ theo trục đối xứng là trục tung. Lưu ý: Tích phân đối xứng của 1 hàm lẻ = 0: $\int_{-T}^T f_{lẻ}(x) = 0$ Tích phân đối xứng của 1 hàm chẵn = 2 lần bẻ đôi cận: $\int_{-T}^T f_{chẵn}(x) = 2 \int_{0}^T f_{chẵn}(x)$