Giải tích 2 - Tóm tắt

Cheatsheet Content

1. Các Hàm Nhiều Biến Định nghĩa: Hàm $f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ với $n \ge 2$. Miền xác định: Tập hợp các điểm $(x_1, \dots, x_n)$ mà tại đó hàm số xác định. Mặt mức: Tập hợp các điểm $(x, y, z)$ thỏa mãn $f(x, y, z) = k$ (hằng số). Mặt đẳng trị: Tương tự mặt mức, thường dùng cho các hàm có nhiều hơn 3 biến. Đạo hàm riêng: Với $f(x, y)$, đạo hàm riêng theo $x$ là $\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$. Đạo hàm riêng theo $y$ là $\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{k \to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k}$. Đạo hàm riêng cấp cao: $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$ $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$ $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ Định lý Clairaut (Schwarz): Nếu $f_{xy}$ và $f_{yx}$ liên tục, thì $f_{xy} = f_{yx}$. Đạo hàm của hàm hợp: Nếu $z = f(x, y)$ với $x = g(t), y = h(t)$, thì $\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$. Nếu $z = f(x, y)$ với $x = g(s, t), y = h(s, t)$, thì $\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$ và $\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$. Đạo hàm của hàm ẩn: Nếu $F(x, y) = 0$ xác định $y$ là hàm của $x$, thì $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ (nếu $F_y \ne 0$). Đạo hàm theo hướng: $D_{\vec{u}}f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \vec{u}$, với $\vec{u}$ là vector đơn vị. Gradient: $\nabla f(x, y) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle$. Chỉ hướng tăng nhanh nhất của hàm số. Độ lớn $|\nabla f|$ là tốc độ tăng lớn nhất. Mặt phẳng tiếp tuyến: Với mặt $z = f(x, y)$ tại $(x_0, y_0, z_0)$: $z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$. Cực trị cục bộ: Điểm tới hạn $(a, b)$ là nơi $f_x(a, b) = 0$ và $f_y(a, b) = 0$ (hoặc không tồn tại). Kiểm tra đạo hàm bậc hai: $D(a, b) = f_{xx}(a, b)f_{yy}(a, b) - [f_{xy}(a, b)]^2$. Nếu $D > 0$ và $f_{xx} > 0$: cực tiểu cục bộ. Nếu $D > 0$ và $f_{xx} Nếu $D Nếu $D = 0$: kiểm tra không kết luận. Phương pháp nhân tử Lagrange: Để tìm cực trị của $f(x, y, z)$ với ràng buộc $g(x, y, z) = k$, giải hệ $\nabla f = \lambda \nabla g$ và $g(x, y, z) = k$. 2. Tích Phân Bội 2.1 Tích phân kép Tích phân kép trên hình chữ nhật $R = [a, b] \times [c, d]$: $\iint_R f(x, y) dA = \int_a^b \int_c^d f(x, y) dy dx = \int_c^d \int_a^b f(x, y) dx dy$. Định lý Fubini: Nếu $f$ liên tục trên $R$, thì thứ tự tích phân có thể hoán đổi. Tích phân kép trên miền tổng quát: Miền loại I: $D = \{(x, y) | a \le x \le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$. $\iint_D f(x, y) dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) dy dx$. Miền loại II: $D = \{(x, y) | c \le y \le d, h_1(y) \le x \le h_2(y)\}$. $\iint_D f(x, y) dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y) dx dy$. Ứng dụng: Thể tích: Nếu $f(x, y) \ge 0$, thể tích dưới mặt $z = f(x, y)$ và trên miền $D$ là $V = \iint_D f(x, y) dA$. Khối lượng: Nếu $\rho(x, y)$ là mật độ khối lượng, thì $m = \iint_D \rho(x, y) dA$. Diện tích: $A = \iint_D 1 dA$. Đổi biến trong tích phân kép (Tọa độ cực): $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$. $dA = dx dy = r dr d\theta$. $\iint_D f(x, y) dA = \iint_R f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr d\theta$. 2.2 Tích phân bội ba Tích phân bội ba trên hình hộp chữ nhật $B = [a, b] \times [c, d] \times [r, s]$: $\iiint_B f(x, y, z) dV = \int_r^s \int_c^d \int_a^b f(x, y, z) dx dy dz$. Tích phân bội ba trên miền tổng quát: $\iiint_E f(x, y, z) dV = \iint_D \left[ \int_{u_1(x, y)}^{u_2(x, y)} f(x, y, z) dz \right] dA$, với $D$ là hình chiếu của $E$ lên mặt phẳng $xy$. Ứng dụng: Thể tích: $V = \iiint_E 1 dV$. Khối lượng: Nếu $\rho(x, y, z)$ là mật độ khối lượng, thì $m = \iiint_E \rho(x, y, z) dV$. Đổi biến trong tích phân bội ba: Tọa độ trụ: $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, z = z$. $dV = r dz dr d\theta$. Tọa độ cầu: $x = \rho \sin \phi \cos \theta, y = \rho \sin \phi \sin \theta, z = \rho \cos \phi$. $dV = \rho^2 \sin \phi d\rho d\phi d\theta$. 3. Tích Phân Đường và Mặt 3.1 Tích phân đường Tích phân đường loại I (theo độ dài cung): Cho đường cong $C$ tham số hóa bởi $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$, $a \le t \le b$. $\int_C f(x, y) ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$. Ứng dụng: Khối lượng của dây có mật độ $\rho(x, y)$, chiều dài cung. Tích phân đường loại II (theo tọa độ): $\int_C P(x, y) dx + Q(x, y) dy = \int_a^b \left(P(x(t), y(t))\frac{dx}{dt} + Q(x(t), y(t))\frac{dy}{dt}\right) dt$. Công sinh bởi trường lực: $W = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_C P dx + Q dy + R dz$. Định lý cơ bản cho tích phân đường: Nếu $\vec{F} = \nabla f$ (là trường gradient), thì $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = f(\vec{r}(b)) - f(\vec{r}(a))$. Định lý Green: Cho miền $D$ bị chặn bởi đường cong kín, đơn, trơn từng khúc $C$ định hướng dương. $\oint_C P dx + Q dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$. 3.2 Tích phân mặt Tích phân mặt loại I (theo diện tích mặt): Cho mặt $S$ là đồ thị của $z = g(x, y)$ trên miền $D_{xy}$. $\iint_S f(x, y, z) dS = \iint_{D_{xy}} f(x, y, g(x, y)) \sqrt{1 + \left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^2} dA$. Nếu mặt $S$ tham số hóa bởi $\vec{r}(u,v)$, thì $dS = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dA$. Ứng dụng: Khối lượng của tấm có mật độ $\rho(x, y, z)$, diện tích mặt. Tích phân mặt loại II (thông lượng): Thông lượng của trường vector $\vec{F}$ qua mặt $S$ có vector pháp tuyến $\vec{n}$: $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS$. Nếu $S$ là đồ thị $z = g(x, y)$ với $\vec{F} = \langle P, Q, R \rangle$, thì $\iint_D (-P g_x - Q g_y + R) dA$. Định lý Stokes: Cho mặt $S$ định hướng, trơn từng khúc, có biên là đường cong kín $C$ định hướng dương. $\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S \text{curl } \vec{F} \cdot d\vec{S}$. $\text{curl } \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$. Định lý Divergence (Gauss): Cho vật thể rắn $E$ được bao bởi mặt kín, định hướng dương $S$. $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_E \text{div } \vec{F} dV$. $\text{div } \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$. 4. Chuỗi Vô Hạn 4.1 Chuỗi số Định nghĩa: Chuỗi vô hạn là tổng $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Tổng riêng phần: $S_N = \sum_{n=1}^N a_n$. Hội tụ: Nếu $\lim_{N \to \infty} S_N = S$ (hữu hạn), chuỗi hội tụ về $S$. Ngược lại, phân kỳ. Kiểm tra phân kỳ: Nếu $\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0$ hoặc không tồn tại, thì $\sum a_n$ phân kỳ. (Điều kiện cần của hội tụ). Chuỗi hình học: $\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r}$ nếu $|r| Chuỗi p: $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ hội tụ nếu $p > 1$, phân kỳ nếu $p \le 1$. Kiểm tra tích phân: Nếu $f(x)$ dương, liên tục, giảm trên $[1, \infty)$ và $a_n = f(n)$, thì $\sum a_n$ hội tụ khi và chỉ khi $\int_1^\infty f(x) dx$ hội tụ. Kiểm tra so sánh: Cho $\sum a_n, \sum b_n$ với $a_n, b_n > 0$. Nếu $a_n \le b_n$ và $\sum b_n$ hội tụ, thì $\sum a_n$ hội tụ. Nếu $a_n \ge b_n$ và $\sum b_n$ phân kỳ, thì $\sum a_n$ phân kỳ. Kiểm tra so sánh giới hạn: Nếu $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L > 0$ (hữu hạn), thì $\sum a_n$ và $\sum b_n$ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Kiểm tra tỷ số (D'Alembert): Cho $\sum a_n$. Tính $L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$. Nếu $L Nếu $L > 1$: chuỗi phân kỳ. Nếu $L = 1$: kiểm tra không kết luận. Kiểm tra căn thức (Cauchy): Cho $\sum a_n$. Tính $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$. Nếu $L Nếu $L > 1$: chuỗi phân kỳ. Nếu $L = 1$: kiểm tra không kết luận. Chuỗi đan dấu: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} b_n$ với $b_n > 0$. Hội tụ nếu $b_n$ giảm và $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: Hội tụ tuyệt đối nếu $\sum |a_n|$ hội tụ. Bán hội tụ nếu $\sum a_n$ hội tụ nhưng $\sum |a_n|$ phân kỳ. 4.2 Chuỗi hàm và chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa: Dạng $\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$. Bán kính hội tụ (R): Sử dụng kiểm tra tỷ số hoặc căn thức để tìm $L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|$ hoặc $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}$. $R = 1/L$ (nếu $L \ne 0, \infty$). $R = \infty$ (nếu $L=0$). $R = 0$ (nếu $L=\infty$). Khoảng hội tụ: $(a-R, a+R)$. Cần kiểm tra các điểm mút $x = a-R$ và $x = a+R$ riêng. Chuỗi Taylor: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$. Chuỗi Maclaurin: Chuỗi Taylor với $a=0$. $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$. Một số chuỗi Maclaurin cơ bản: $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + \dots$ ($|x| $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$ (mọi $x$) $\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ (mọi $x$) $\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$ (mọi $x$) $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ ($-1 Đạo hàm và tích phân chuỗi lũy thừa: Trong khoảng hội tụ, có thể đạo hàm và tích phân từng số hạng. $\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n\right) = \sum_{n=1}^\infty n c_n (x-a)^{n-1}$. $\int \left(\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n\right) dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1} + C$.