Giải Tích III

Cheatsheet Content

### Giới thiệu Tài liệu này tóm tắt lý thuyết, cung cấp các ví dụ, bài tập và lời giải cho môn Giải Tích III, bao gồm các chủ đề: Chuỗi, Phương trình vi phân và Phép toán tử Laplace. **Tác giả:** TS. BÙI XUÂN DIỆU **Cập nhật:** Hà Nội - 2017 (Ngày 28 tháng 8 năm 2017) ### Chương 1. Chuỗi #### Đại cương về chuỗi số - **Định nghĩa:** Cho dãy số $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$. Tổng vô hạn $a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots$ được gọi là chuỗi số, ký hiệu $\sum_{n=1}^\infty a_n$. $S_n = a_1 + \dots + a_n$ là tổng riêng thứ $n$. - **Hội tụ:** Chuỗi $\sum a_n$ hội tụ nếu dãy $\{S_n\}$ hội tụ về $S$. Khi đó, $\sum_{n=1}^\infty a_n = S$. - **Phân kỳ:** Ngược lại, chuỗi là phân kỳ. - **Điều kiện cần để chuỗi hội tụ:** Nếu $\sum a_n$ hội tụ thì $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. (Mệnh đề đảo không đúng). - **Phép toán trên chuỗi hội tụ:** Nếu $\sum a_n$ và $\sum b_n$ hội tụ, thì $\sum (\alpha a_n + \beta b_n)$ cũng hội tụ và $\sum (\alpha a_n + \beta b_n) = \alpha \sum a_n + \beta \sum b_n$. #### Chuỗi số dương - **Định nghĩa:** Chuỗi $\sum a_n$ với $a_n > 0$ được gọi là chuỗi số dương. - **Tiêu chuẩn tích phân:** Nếu $f(x)$ liên tục, dương, giảm trên $[1, \infty)$ và $a_n = f(n)$, thì $\sum a_n$ và $\int_1^\infty f(x)dx$ có cùng tính chất hội tụ/phân kỳ. - $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ hội tụ nếu $\alpha > 1$, phân kỳ nếu $0 0$: - Thì $\sum a_n$ và $\sum b_n$ có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ. - **Trường hợp đặc biệt:** - Nếu $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 0$: Nếu $\sum b_n$ hội tụ thì $\sum a_n$ cũng hội tụ. - Nếu $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \infty$: Nếu $\sum b_n$ phân kỳ thì $\sum a_n$ cũng phân kỳ. - **Tiêu chuẩn d'Alambert:** Giả sử $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$. - Nếu $L 1$ thì chuỗi phân kỳ. - Nếu $L = 1$ thì không kết luận được. - **Tiêu chuẩn Cauchy:** Giả sử $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$. - Nếu $L 1$ thì chuỗi phân kỳ. - Nếu $L = 1$ thì không kết luận được. - **Mối quan hệ d'Alambert và Cauchy:** Nếu $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$ thì $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$. (Tiêu chuẩn Cauchy mạnh hơn). #### Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì - **Định lý:** Nếu $\sum |a_n|$ hội tụ thì $\sum a_n$ cũng hội tụ. - **Hội tụ tuyệt đối:** Chuỗi $\sum a_n$ hội tụ tuyệt đối nếu $\sum |a_n|$ hội tụ. - **Bán hội tụ:** Chuỗi $\sum a_n$ bán hội tụ nếu $\sum a_n$ hội tụ và $\sum |a_n|$ phân kỳ. - **Chuỗi đan dấu:** Chuỗi có dạng $\sum (-1)^{n-1} a_n$ với $a_n > 0$. - **Định lý Leibniz:** Nếu $\{a_n\}$ là dãy số dương, giảm và $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, thì chuỗi đan dấu $\sum (-1)^{n-1} a_n$ hội tụ. - **Tiêu chuẩn d'Alambert mở rộng:** Giả sử $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L$. - Nếu $L 1$ thì chuỗi phân kỳ. - **Tiêu chuẩn Cauchy mở rộng:** Giả sử $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$. - Nếu $L 1$ thì chuỗi phân kỳ. - **Phép nhân chuỗi:** Cho $\sum_{n=0}^\infty a_n$ và $\sum_{n=0}^\infty b_n$. Chuỗi tích $\sum_{n=0}^\infty c_n$ với $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$. - Nếu $\sum a_n$ và $\sum b_n$ hội tụ tuyệt đối, thì chuỗi tích $\sum c_n$ cũng hội tụ tuyệt đối và $\sum c_n = (\sum a_n)(\sum b_n)$. - **Tiêu chuẩn Dirichlet:** Nếu dãy tổng riêng của $\sum a_n$ bị chặn và $\{b_n\}$ là dãy đơn điệu hội tụ đến 0, thì $\sum a_n b_n$ hội tụ. - **Tiêu chuẩn Abel:** Nếu $\sum a_n$ hội tụ và $\{b_n\}$ là dãy đơn điệu bị chặn, thì $\sum a_n b_n$ hội tụ. #### Chuỗi hàm số - **Định nghĩa:** Cho dãy hàm số $\{u_n(x)\}$. Chuỗi hàm số là $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$. - Hội tụ tại $x_0$ nếu $\sum u_n(x_0)$ hội tụ. - Phân kỳ tại $x_0$ nếu $\sum u_n(x_0)$ phân kỳ. - Miền hội tụ là tập hợp các điểm mà chuỗi hội tụ. - **Hội tụ đều:** Chuỗi hàm số $\sum u_n(x)$ hội tụ đều đến $S(x)$ trên $X$ nếu với mọi $\epsilon > 0$, tồn tại $N(\epsilon)$ sao cho $|S_n(x) - S(x)| N(\epsilon)$ và $x \in X$. - **Tiêu chuẩn Weierstrass:** Nếu $|u_n(x)| \le a_n$ với mọi $n, x$ và $\sum a_n$ hội tụ, thì $\sum u_n(x)$ hội tụ tuyệt đối và đều trên $X$. - **Tính liên tục:** Nếu $u_n(x)$ liên tục trên $X$ và $\sum u_n(x)$ hội tụ đều về $S(x)$ trên $X$, thì $S(x)$ liên tục trên $X$. - **Tính khả tích:** Nếu $u_n(x)$ liên tục trên $[a, b]$ và $\sum u_n(x)$ hội tụ đều về $S(x)$ trên $[a, b]$, thì $S(x)$ khả tích trên $[a, b]$ và $\int_a^b S(x)dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b u_n(x)dx$. - **Tính khả vi:** Nếu $u_n(x)$ khả vi liên tục trên $(a, b)$, $\sum u_n(x)$ hội tụ về $S(x)$ trên $(a, b)$ và $\sum u_n'(x)$ hội tụ đều trên $(a, b)$, thì $S(x)$ khả vi trên $(a, b)$ và $S'(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n'(x)$. #### Chuỗi lũy thừa - **Định nghĩa:** Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n$. - **Bán kính hội tụ (R):** - $R = 0$ nếu chuỗi chỉ hội tụ tại $x=c$. - $R = \infty$ nếu chuỗi hội tụ với mọi $x \in \mathbb{R}$. - Tồn tại $R > 0$ sao cho chuỗi hội tụ nếu $|x-c| R$. - **Cách tìm bán kính hội tụ:** - $R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$ hoặc $R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$. - **Tính chất của chuỗi lũy thừa:** - Hội tụ đều trên mọi khoảng $[a, b] \subset (-R, R)$. - Là hàm số liên tục, khả vi và khả tích trên $(-R, R)$. - Có thể tích phân và đạo hàm từng số hạng trong miền hội tụ. - **Khai triển Maclaurin:** Chuỗi Taylor tại $c=0$, $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$. - **Khai triển Taylor:** $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (x-c)^n$. ### Chương 2. Phương trình vi phân #### Đại cương về phương trình vi phân cấp một - **Định nghĩa:** Phương trình vi phân (PTVP) là phương trình chứa đạo hàm của hàm số cần tìm. - **Cấp:** Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. - **Nghiệm:** Hàm số thỏa mãn PTVP. - **Nghiệm tổng quát (NTQ):** Họ các hàm số $y=\varphi(x, C)$ thỏa mãn: - Với mỗi $C$, $\varphi(x, C)$ là một nghiệm. - Với mỗi $(x_0, y_0)$, tồn tại $C_0$ sao cho $\varphi(x, C_0)$ là nghiệm của bài toán Cauchy $y(x_0)=y_0$. - **Nghiệm riêng:** Nghiệm ứng với một giá trị $C$ cụ thể. - **Nghiệm kỳ dị:** Nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát. #### Phương trình khuyết - **Dạng $F(x, y', y'') = 0$ (khuyết $y$):** Đặt $y' = u$, đưa về PTVP cấp một $F(x, u, u') = 0$. - **Dạng $F(y, y', y'') = 0$ (khuyết $x$):** Đặt $y' = u$, suy ra $y'' = u \frac{du}{dy}$, đưa về PTVP cấp một $F(y, u, u \frac{du}{dy}) = 0$. #### Phương trình vi phân với biến số phân ly - **Dạng:** $f(y)dy = g(x)dx$. - **Cách giải:** Tích phân hai vế: $\int f(y)dy = \int g(x)dx + C$. #### Phương trình vi phân đẳng cấp - **Dạng:** $y' = F(\frac{y}{x})$. - **Cách giải:** Đặt $v = \frac{y}{x}$, suy ra $y = vx \implies y' = v + xv'$. Thay vào PTVP và biến đổi về phương trình tách biến. #### Phương trình đưa được về phương trình đẳng cấp - **Dạng:** $y' = \frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_2x + b_2y + c_2}$. - **Trường hợp 1:** $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \ne 0$. Giải hệ $\begin{cases} a_1\alpha + b_1\beta + c_1 = 0 \\ a_2\alpha + b_2\beta + c_2 = 0 \end{cases}$ để tìm $(\alpha, \beta)$. Đặt $x = u+\alpha, y = v+\beta$, đưa về phương trình đẳng cấp theo $u, v$. - **Trường hợp 2:** $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = 0$. Tồn tại $\lambda$ sao cho $a_2x+b_2y = \lambda(a_1x+b_1y)$. Đặt $z = a_1x+b_1y$, đưa về phương trình tách biến. #### Phương trình vi phân tuyến tính - **Dạng:** $y' + p(x)y = q(x)$. - **Cách giải (thừa số tích phân):** Nhân cả hai vế với $\mu(x) = e^{\int p(x)dx}$. Khi đó, $(\mu(x)y)' = \mu(x)q(x)$. Tích phân hai vế để tìm $y$. - **Cách giải (biến thiên hằng số):** Giải PTVP thuần nhất $y' + p(x)y = 0$ được $y_h = C e^{-\int p(x)dx}$. Thay $C$ bằng $C(x)$ và tìm $C(x) = \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C_0$. #### Phương trình Bernoulli - **Dạng:** $y' + p(x)y = q(x)y^\alpha$, với $\alpha \ne 0, 1$. - **Cách giải:** Chia cả hai vế cho $y^\alpha$. Đặt $v = y^{1-\alpha}$, đưa về PTVP tuyến tính cấp một theo $v$. #### Phương trình vi phân toàn phần - **Dạng:** $P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$. - **Điều kiện toàn phần:** $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$. - **Cách giải:** Tồn tại hàm $u(x,y)$ sao cho $du(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy$. Khi đó $u(x,y) = C$. - $u(x,y) = \int P(x,y_0)dx + \int Q(x_0,y)dy = C$ (hoặc các công thức tương đương). #### Thừa số tích phân - **Định nghĩa:** Hàm $\mu(x,y) \ne 0$ sao cho $\mu P dx + \mu Q dy = 0$ là PTVP toàn phần. - **Cách tìm:** - Nếu $\frac{Q_x - P_y}{Q}$ chỉ phụ thuộc $x$, thì $\mu(x) = e^{\int \frac{Q_x - P_y}{Q}dx}$. - Nếu $\frac{P_y - Q_x}{P}$ chỉ phụ thuộc $y$, thì $\mu(y) = e^{\int \frac{P_y - Q_x}{P}dy}$. #### Đại cương về phương trình vi phân cấp hai - **Định nghĩa:** PTVP chứa đạo hàm cấp hai. - **Nghiệm tổng quát (NTQ):** $y = \varphi(x, C_1, C_2)$. #### Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai - **Dạng thuần nhất:** $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$. - **Dạng không thuần nhất:** $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$. - **Hệ nghiệm cơ bản:** Hai nghiệm độc lập tuyến tính (ĐLTT) $y_1(x), y_2(x)$. - **Định thức Wronsky:** $W(y_1, y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}$. Nếu $W(y_1, y_2)(x) \ne 0$, $y_1, y_2$ là ĐLTT. - **NTQ của thuần nhất:** $y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$. - **NTQ của không thuần nhất:** $y = y_h + y_p$, trong đó $y_h$ là NTQ của thuần nhất tương ứng, $y_p$ là một nghiệm riêng của không thuần nhất. - **Nguyên lý chồng chất nghiệm:** Nếu $y_1$ là nghiệm của $f_1(x)$ và $y_2$ là nghiệm của $f_2(x)$, thì $y_1+y_2$ là nghiệm của $f_1(x)+f_2(x)$. #### Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng - **Dạng thuần nhất:** $y'' + py' + qy = 0$. - **Phương trình đặc trưng:** $\lambda^2 + p\lambda + q = 0$. - **Hai nghiệm thực phân biệt $\lambda_1, \lambda_2$:** $y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x}$. - **Nghiệm kép $\lambda_1$:** $y = (C_1x + C_2)e^{\lambda_1x}$. - **Hai nghiệm phức liên hợp $\alpha \pm i\beta$:** $y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$. - **Nghiệm riêng $y_p$ (phương pháp hệ số bất định):** - **Dạng $f(x) = e^{\alpha x}P_n(x)$:** - Nếu $\alpha$ không là nghiệm đặc trưng: $y_p = e^{\alpha x}Q_n(x)$. - Nếu $\alpha$ là nghiệm đơn: $y_p = xe^{\alpha x}Q_n(x)$. - Nếu $\alpha$ là nghiệm kép: $y_p = x^2e^{\alpha x}Q_n(x)$. - **Dạng $f(x) = P_m(x)\cos\beta x + P_n(x)\sin\beta x$:** - Nếu $\pm i\beta$ không là nghiệm đặc trưng: $y_p = Q_l(x)\cos\beta x + R_l(x)\sin\beta x$. - Nếu $\pm i\beta$ là nghiệm đặc trưng: $y_p = x(Q_l(x)\cos\beta x + R_l(x)\sin\beta x)$. - **Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange:** - $y_p = C_1(x)y_1(x) + C_2(x)y_2(x)$, với $C_1'(x)y_1(x) + C_2'(x)y_2(x) = 0$ và $C_1'(x)y_1'(x) + C_2'(x)y_2'(x) = f(x)$. #### PTVP tuyến tính đưa được về PTVP tuyến tính với hệ số hằng - **Phương trình Euler:** $x^2y'' + axy' + by = 0$. - **Cách giải:** Đặt $x = e^t$ (hoặc $t = \ln|x|$), chuyển về PTVP cấp hai với hệ số hằng theo biến $t$. - **Phương trình Chebysev:** $(1-x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$. - **Cách giải:** Đặt $x = \cos t$, chuyển về PTVP cấp hai với hệ số hằng theo biến $t$. #### Hệ phương trình vi phân cấp một - **Dạng chuẩn tắc:** $\mathbf{y}' = \mathbf{f}(x, \mathbf{y})$. - **Độc lập tuyến tính (ĐLTT)/Phụ thuộc tuyến tính (PTTT) của hệ véctơ hàm:** Tương tự như hàm số. - **Định thức Wronsky của hệ véctơ hàm:** $W(x) = \det(\mathbf{Y}_1(x), \dots, \mathbf{Y}_n(x))$. - **Hệ nghiệm cơ bản:** $n$ nghiệm ĐLTT $\mathbf{Y}_1(x), \dots, \mathbf{Y}_n(x)$. - **NTQ của hệ thuần nhất:** $\mathbf{Y}(x) = C_1\mathbf{Y}_1(x) + \dots + C_n\mathbf{Y}_n(x)$. - **NTQ của hệ không thuần nhất:** $\mathbf{Y}(x) = \mathbf{Y}_h(x) + \mathbf{Y}_p(x)$. #### Hệ PTVP TT thuần nhất với hệ số hằng - **Dạng:** $\mathbf{y}' = \mathbf{A}\mathbf{y}$. - **Phương pháp đặc trưng:** Tìm trị riêng $\lambda$ và véctơ riêng $\mathbf{v}$ của ma trận $\mathbf{A}$. - **Nghiệm thực phân biệt $\lambda_1, \lambda_2$:** $\mathbf{y} = C_1e^{\lambda_1x}\mathbf{v}_1 + C_2e^{\lambda_2x}\mathbf{v}_2$. - **Nghiệm phức liên hợp $\alpha \pm i\beta$:** $\mathbf{y} = C_1e^{\alpha x}(\mathbf{a}\cos\beta x - \mathbf{b}\sin\beta x) + C_2e^{\alpha x}(\mathbf{a}\sin\beta x + \mathbf{b}\cos\beta x)$, với $\mathbf{v} = \mathbf{a}+i\mathbf{b}$. - **Nghiệm bội $\lambda_1$:** - Nếu có đủ véctơ riêng ĐLTT: $\mathbf{y} = C_1e^{\lambda_1x}\mathbf{v}_1 + C_2e^{\lambda_1x}\mathbf{v}_2$. - Nếu không đủ véctơ riêng ĐLTT: $\mathbf{y} = C_1e^{\lambda_1x}\mathbf{v} + C_2e^{\lambda_1x}(x\mathbf{v} + \boldsymbol{\eta})$, với $(\mathbf{A}-\lambda_1\mathbf{I})\boldsymbol{\eta} = \mathbf{v}$. - **Phương pháp khử:** Khử các biến để đưa về PTVP cấp cao. #### PP biến thiên hằng số giải hệ PTVP TT cấp một - **Dạng:** $\mathbf{y}' = \mathbf{A}(x)\mathbf{y} + \mathbf{F}(x)$. - **Cách giải:** Tìm NTQ của hệ thuần nhất $\mathbf{Y}_h(x) = C_1\mathbf{Y}_1(x) + C_2\mathbf{Y}_2(x)$. - Đặt $\mathbf{Y}_p(x) = C_1(x)\mathbf{Y}_1(x) + C_2(x)\mathbf{Y}_2(x)$. Giải hệ để tìm $C_1'(x), C_2'(x)$. ### Chương 3. Phương pháp toán tử Laplace #### Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược - **Định nghĩa:** $\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt$. - **Hàm bậc mũ:** $|f(t)| \le Me^{\alpha t}$ với $M, \alpha, T$ là các hằng số. - **Tính tuyến tính:** $\mathcal{L}\{\alpha f(t) + \beta g(t)\} = \alpha \mathcal{L}\{f(t)\} + \beta \mathcal{L}\{g(t)\}$. - **Phép biến đổi Laplace ngược:** $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t)$. - **Tính tuyến tính của $\mathcal{L}^{-1}$:** $\mathcal{L}^{-1}\{\alpha F(s) + \beta G(s)\} = \alpha \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} + \beta \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}$. #### Phép biến đổi của đạo hàm, nghiệm của bài toán giá trị ban đầu - **Biến đổi Laplace của đạo hàm:** - $\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$. - $\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - \dots - f^{(n-1)}(0)$. - **Sơ đồ giải PTVP bằng Laplace:** PTVP $\xrightarrow{\mathcal{L}}$ Phương trình đại số $\xrightarrow{Giải}$ Nghiệm $X(s)$ $\xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}}$ Nghiệm $x(t)$. #### Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản - **Phép tịnh tiến trên trục $s$:** $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$. - **Phép tịnh tiến trên trục $t$ (Hàm Heaviside):** $\mathcal{L}\{u_a(t)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$, với $u_a(t) = \begin{cases} 0 & t #### Đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi - **Tích chập:** $(f*g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau$. - **Phép biến đổi Laplace của tích chập:** $\mathcal{L}\{(f*g)(t)\} = F(s)G(s)$. - **Vi phân của phép biến đổi:** $\mathcal{L}\{-tf(t)\} = F'(s)$. - **Tích phân của phép biến đổi:** $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{F(s)}{s}\right\} = \int_0^t f(\tau)d\tau$. ### Phụ lục A. Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số bất kì - **Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 2):** Cho hai chuỗi số dương $\sum a_n, \sum b_n$. Nếu $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c > 0$, thì $\sum a_n$ và $\sum b_n$ có cùng tính chất hội tụ/phân kỳ. - **Tiêu chuẩn kẹp:** Cho $\sum a_n, \sum b_n, \sum c_n$ thỏa mãn $a_n \le b_n \le c_n$. - Nếu $\sum a_n, \sum c_n$ hội tụ thì $\sum b_n$ hội tụ. - Nếu $\sum a_n$ phân kỳ đến $\infty$ thì $\sum b_n$ phân kỳ đến $\infty$. - Nếu $\sum c_n$ phân kỳ đến $-\infty$ thì $\sum b_n$ phân kỳ đến $-\infty$. ### Phụ lục B. Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh - **Tiêu chuẩn so sánh kết hợp d'Alambert:** Cho $\sum a_n, \sum b_n$ là các chuỗi số dương. Nếu $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n}$ với $n \ge K$: - Nếu $\sum b_n$ hội tụ thì $\sum a_n$ cũng hội tụ. - Nếu $\sum a_n$ phân kỳ thì $\sum b_n$ cũng phân kỳ. - **Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số dương (dạng $n\ln(\frac{a_n}{a_{n+1}})$):** Nếu $\lim_{n \to \infty} n\ln(\frac{a_n}{a_{n+1}}) = K$: - $K > 1$ thì hội tụ. - $K ### Phụ lục C. Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh hơn d'Alembert và Cauchy - **Tiêu chuẩn Kummer:** Cho $\sum a_n$ là chuỗi số dương và $\sum d_n$ là chuỗi dương phân kỳ. Nếu $\lim_{n \to \infty} (d_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - d_{n+1}) = K$: - $K > 0$ thì hội tụ. - $K 1$ thì hội tụ. - $R 1$ thì hội tụ. - $B 1$ thì hội tụ. - $A 1$ thì hội tụ. - $B