Oscillations (Gujarati)

Cheatsheet Content

### 1. પ્રસ્તાવના (Introduction) - પદાર્થ પર લાગતા બળોની ગતિપથ પર અસર. - તરંગગતિ, આવર્તગતિ, અને દોલિત ગતિના ખ્યાલો: આવૃત્તિ, આવર્તકાળ, કંપ વિસ્તાર. - ધ્વનિ અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઉત્પત્તિ અને પ્રસરણમાં આવર્તગતિનો ફાળો. - અણુ, પરમાણુ, આયનો જેવા ઘટક કણો પણ દોલિત ગતિ કરે છે. - આ પ્રકરણમાં આવર્ત અને દોલિત ગતિના ખ્યાલો તાજા કરીશું અને સ્થાન આધારિત બળોની અસર હેઠળ આવી ગતિનો અભ્યાસ કરીશું. - સ્થિતિ-ઊર્જા, ગતિ-ઊર્જા અને કુલ યાંત્રિક-ઊર્જાના ગાણિતીય નિરૂપણો જોઈશું. - અવમંદિત દોલનો, પ્રણોદિત દોલનો અને અનુનાદનો અભ્યાસ કરીશું. ### 2. આવર્તગતિ અને દોલિત ગતિ (Periodic Motion and Oscillatory Motion) - **આવર્તગતિ (Periodic Motion):** જો કોઈ પદાર્થ કોઈ નિશ્ચિત પથ પર, કોઈ નિશ્ચિત બિંદુને અનુલક્ષીને, નિયત સમયગાળે પોતાની ગતિનું પુનરાવર્તન કરતો હોય, તો તેવી ગતિને આવર્તગતિ કહે છે. - **ઉદાહરણ:** પંખાની ગતિ, ઘડિયાળના કાંટાની ગતિ, ચંદ્રની પૃથ્વીની આસપાસની ગતિ, પૃથ્વીનું સૂર્યની આસપાસનું ભ્રમણ. - ચાકગતિ અને વર્તુળાકાર ગતિ એ આવર્તગતિ જ છે. - **દોલિત ગતિ (Oscillatory Motion):** જો કોઈ પદાર્થ કોઈ નિયત બિંદુની આસપાસ આગળ-પાછળ કે ઉપર-નીચે નિયત સમયમાં ગતિ કરતો હોય, તો તેવી ગતિને દોલિત ગતિ કહે છે. - જે પદાર્થ આવી ગતિ કરે છે, તેને **દોલક (Oscillator)** કહે છે. - **ઉદાહરણ:** લોલકની ગતિ, સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવેલ દળદાર પદાર્થની ગતિ. - **મહત્વનો મુદ્દો:** દરેક દોલિત ગતિઓ આવર્તગતિઓ છે, પરંતુ દરેક આવર્તગતિઓ દોલિત ગતિઓ ન પણ હોય. - **ઉદાહરણ:** ઘડિયાળના કાંટાની ગતિ, પૃથ્વીની સૂર્યની આસપાસની ગતિ એ આવર્તગતિઓ છે, પરંતુ દોલિત ગતિ નથી. કારણ કે તેમાં નિયત બિંદુની આસપાસ, આગળ-પાછળ કે ઉપર-નીચેની ગતિનો ખ્યાલ નથી. - દોલિત ગતિને sine અને cosine વિધેયો વડે દર્શાવાય છે. ત્રિકોણમિતિના વિધેયો sine અને cosine એ $2\pi$ રેડિયન આવર્તકાળ ધરાવતા આવર્ત વિધેયો છે, જેને ગણિતમાં પ્રચલિત વિધેયો (harmonic functions) તરીકે ઓળખાય છે. આથી દોલિત ગતિને **પ્રચલિત ગતિ (Harmonic Motion)** પણ કહેવાય છે. ### 3. સરળ આવર્તગતિ (Simple Harmonic Motion - SHM) - સરળ આવર્તગતિ એ આવર્તગતિનો સાદામાં સાદો પ્રકાર છે. - જ્યારે કોઈ પદાર્થ નિયતબિંદુથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને નિયતબિંદુ તરફ લાગતા બળની અસર હેઠળ નિયતબિંદુની આસપાસ સુરેખ પથ પર આવર્તગતિ કરતો હોય, તો તેવી ગતિને સરળ આવર્તગતિ કહે છે. - **શરતો:** - સુરેખ પથ - $F = -ky$ (હૂકના નિયમનું પાલન) - $F \propto -y$ - સરળ આવર્તગતિ કરતા પદાર્થને **સરળ આવર્તદોલક (Simple Harmonic Oscillator)** કહે છે. - **ઉદાહરણ:** સિલાઈ મશીનની સોયની ગતિ દોલિત ગતિ છે, પરંતુ $F \propto -y$ ન હોવાથી તે SHM નથી. - **સ્પ્રિંગ-દળ પ્રણાલી:** વજનરહિત સ્પ્રિંગને દૃઢ આધાર પરથી લટકાવી, તેના નીચેના છેડે $m$ દળવાળા પદાર્થને બાંધો. જ્યારે આ પદાર્થને નીચે તરફ ખેંચીને છોડી દઈશું, ત્યારે તે (લગભગ) સરળ આવર્તગતિ કરશે. #### 3.1 કેટલીક મૂળભૂત રાશિઓ 1. **સમતુલન સ્થિતિ (Equilibrium position / Mean position):** સરળ આવર્તદોલક જે બિંદુની સાપેક્ષે સરળ આવર્તગતિ કરતું હોય તે બિંદુને સમતુલન સ્થાન કે મધ્યમાન સ્થાન કહે છે. - આકૃતિ (a), (e) અને (i) માં પદાર્થ સમતુલન સ્થાન પર છે. 2. **સ્થાનાંતર (Displacement):** સમતુલનબિંદુથી કોઈ પણ ક્ષણે દોલકના અંતરને તે ક્ષણે દોલકનું સ્થાનાંતર કહે છે. - આકૃતિ (b) માં $t = t_1$ સમયે દોલકનું સ્થાનાંતર $y_1$ છે. $t = t_5$ સમયે દોલકનું સ્થાનાંતર $-y_1$ છે. 3. **કંપવિસ્તાર (Amplitude):** મધ્યમાન સ્થાનથી કોઈ એક તરફના દોલકના અધિકતમ સ્થાનાંતરને દોલકનો કંપવિસ્તાર કહે છે. - આકૃતિ c, g માં બતાવ્યા પ્રમાણે $y_2$ એ દોલક વડે પ્રાપ્ત થતું મહત્તમ સ્થાનાંતર છે. આથી $y_2$ એ આ દોલકનો કંપવિસ્તાર થશે. - **નોંધ:** સ્પ્રિંગને છેડે લટકતા દોલકને મધ્યમાન સ્થાનેથી 10 cm ખેંચીને છોડી દેતા તે સ.આ.ગ. કરે તો કંપવિસ્તાર = 10 cm થાય. 4. **આવર્તકાળ (Periodic Time, Time period or period - T):** એક દોલન પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા લઘુત્તમ સમયને તે દોલકનો આવર્તકાળ $T$ કહે છે. - બીજા શબ્દોમાં, જે લઘુત્તમ સમયના અંતરાલમાં દોલક આવર્તગતિનું પુનરાવર્તન કરે તે સમયને તે દોલકનો આવર્તકાળ કહે છે. - આવર્તકાળનો SI એકમ second (s) છે. - આકૃતિના દોલક માટે $t_8 - t_0$ એ આવર્તકાળ છે. - **નોંધ:** - $y = 0$ થી $y = +A$ કે $y = -A$ પહોંચતા લાગતો સમય $T/4$ sec થાય. વળી, $y = \pm A$ થી $y = 0$ સુધી પહોંચતા પણ $T/4$ sec સમય લાગે. - $y = 0$ થી $y = A/2$ (પ્રથમ) પહોંચતા $T/12$ sec અને $y = A/2$ થી $y = A$ (બીજું $A/2$) અંતર કાપતા $T/6$ sec લાગે. 5. **આવૃત્તિ (Frequency - $f$):** એક સેકન્ડમાં પૂર્ણ થતા દોલનોની સંખ્યાને સરળ આવર્ત દોલકની આવૃત્તિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. - આવૃત્તિનો SI એકમ $s^{-1}$ અથવા Hz છે. - આવૃત્તિને $f$ વડે દર્શાવાય છે અને $f = 1/T$. 6. **કોણીય આવૃત્તિ (Angular frequency - $\omega$):** દોલકની આવૃત્તિના $2\pi$ ગણાને તે દોલકની કોણીય આવૃત્તિ કહે છે. - કોણીય આવૃત્તિને $\omega (= 2\pi f)$ વડે દર્શાવાય છે. - કોણીય આવૃત્તિનો SI એકમ $rad \ s^{-1}$ છે. - **નોંધ:** 1 દોલનમાં કાપેલ અંતર = $4A$. #### 3.2 સ.આ.ગ.નું ગાણિતીય નિરૂપણ - સ.આ.ગતિને સમય સાથેના ગાણિતીય વિધેય તરીકે નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય: $$y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$$ જ્યાં $y(t)$ = $t$ સમયે સ્થાનાંતર, $A$ = કંપવિસ્તાર, $\omega$ = કોણીય આવૃત્તિ, $t$ = સમય અને $\phi$ = પ્રારંભિક કળા. - **કંપવિસ્તાર:** $y(t)$ એ $\pm A$ વચ્ચે બદલાશે. જો બીજી સ.આ.ગ. $y(t) = B \sin(\omega t + \phi)$ જ્યાં $B A$ હોય, તો તે વક્ર 3 મુજબનો હોય. - **કળા ($\omega t + \phi$):** રાશિ $\omega t + \phi$ ને સ.આ.ગ.ની $t$ સમયની કળા કહે છે. કળા સતત વધતું વિધેય છે. [ $\sin$ કે $\cos$ પાછળનો ખૂણો.] - તે દોલકની તે સમયની ગતિની અવસ્થા દર્શાવે છે. (દા.ત. $\omega t + \phi = \pi/2$ હોય તો $y = +A$, $\omega t + \phi = 0$ હોય તો $y = 0$ વગેરે). - $t = 0$ સમયની સ.આ.દો.ની કળાને **પ્રારંભિક કળા (initial phase or epoch)** $\phi$ કે કળા-અચળાંક $\phi$ કહે છે. - ગતિનો પ્રારંભ $y = 0$ થી ઉપર તરફ $\Rightarrow \phi = 0$; $y = +A$ સ્થાનેથી $\Rightarrow \phi = \pi/2$ - $y = 0$ થી નીચે તરફ $\Rightarrow \phi = \pi$; $y = -A$ સ્થાનેથી ઉપર તરફ $\Rightarrow \phi = 3\pi/2$ - એક પૂર્ણ દોલનમાં સ.આ.ગ.ની કળામાં $2\pi$ rad જેટલો વધારો થાય છે અને આથી $n$ દોલનોના અંતે કળામાં $2n\pi$ rad જેટલો વધારો થાય. ($n$ દોલનના અંતે કળા = $2n\pi + \phi$). - ધન છેડેથી ગતિ શરૂ કરે તો cosine આકારનો આલેખ પણ મળે. - **કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર:** $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$ ($\because T = 1/f$). #### 3.2.1 વેગ (Velocity) - $y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ પરથી દોલનનો વેગ: $$v(t) = \frac{dy(t)}{dt} = \omega A \cos(\omega t + \phi)$$ - $v(t) = \omega A \sqrt{1 - \sin^2(\omega t + \phi)} = \pm \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ - $y = 0$ એ, $v = \pm A\omega = \pm v_m$ (મહત્તમ વેગ) - સ.આ.ગ.ની આ મહત્તમ ગતિ કે ગતિ-કંપવિસ્તાર $v_m$ છે. - $y = \pm A$ (સ.આ.ગ.ના અંત્યબિંદુ) આગળ, $v = 0$. - **નોંધ:** ઉપર જાય ત્યારે +; નીચે આવે ત્યારે -; જો ગતિ X-અક્ષ પર હોય તો જમણી બાજુની ગતિનો વેગ ધન અને ડાબી બાજુની ગતિ માટે વેગ ઋણ લો. #### 3.2.2 પ્રવેગ (Acceleration) - $y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ પરથી સ.આ.દોલકનો પ્રવેગ: $$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d^2y(t)}{dt^2} = -\omega^2 A \sin(\omega t + \phi)$$ $$a(t) = -\omega^2 y(t)$$ - $y = 0$ આગળ, $a(t) = 0$ - $y = \pm A$ આગળ, $a(t) = \mp \omega^2 A$. (ધન છેડે $a = -\omega^2 A$, ઋણ છેડે $a = +\omega^2 A$). #### 3.2.3 આલેખો - સ.આ.ગ.ના કણના સ્થાનાંતર $y(t)$, વેગ $v(t)$ અને પ્રવેગ $a(t)$ ના સમય વિરુદ્ધના આલેખો આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. #### 3.2.4 ટેબલ ($\phi = 0$ માટે જ) | $t$ | 0 | $T/4$ | $T/2$ | $3T/4$ | $4T/4$ | |---|---|---|---|---|---| | સ્થાનાંતર $y(t)$ | 0 | A | 0 | -A | 0 | | ગતિ $v(t)$ | $\omega A$ | 0 | $-\omega A$ | 0 | $\omega A$ | | પ્રવેગ $a(t)$ | 0 | $-\omega^2 A$ | 0 | $\omega^2 A$ | 0 | | વિધેય | sine | cosine | -sine | -cosine | sine | ### 4. સરળ આવર્તગતિ માટેનો બળનો નિયમ - સમીકરણ $a = -\omega^2 y$ પરથી એ જોઈ શકાય છે કે સરળ આવર્ત દોલકનો પ્રવેગ સમયનું વિધેય છે. આ પ્રવેગ માટે કેટલા બળની જરૂર પડે? આ પ્રશ્નનો ઉત્તર આપવા આપણે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ. - આપણે જાણીએ છીએ કે, $F = ma$ $$\therefore F = -m\omega^2 y$$ - આ પુન:સ્થાપક બળ છે. હૂકના નિયમ અનુસાર, પુન:સ્થાપક બળ $F = -ky$ વડે આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે. - સમી. $F = -m\omega^2 y$ અને $F = -ky$ ને સરખાવતા, $k = m\omega^2$ - **કોણીય આવૃત્તિ:** $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ - **દોલકની આવૃત્તિ:** $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ - **દોલકનો આવર્તકાળ:** $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ - **નોંધ:** - $k$ નો એકમ N/m છે. - $k$ એ એકમ સ્થાનાંતર દીઠ ઉદ્ભવતું પુન:સ્થાપક બળ છે. - સખત સ્પ્રિંગનો $k$ નરમ કરતા વધારે હોય છે. - જો વજનને ધીમે-ધીમે નીચે આવવા દેવામાં આવે તો $k = mg/\Delta l$ થાય. - જો વજનને લટકાવીને છોડી દેવામાં આવે તો $mgx = \frac{1}{2}kx^2$ પરથી $k = 2mg/x = 2mg/\Delta l$ થાય. - ઘણા બધા કિસ્સાઓમાં સ્પ્રિંગ વગર પણ સરળ આવર્તગતિ ઉદ્ભવે છે. આ કિસ્સામાં $k$ ને સ.આ.ગ.નો બળઅચળાંક કહે છે અને તે એકમ સ્થાનાંતર દીઠ લાગતું પુન:સ્થાપક બળ છે ($F/y = -k$). દા.ત. સાદું લોલક. ### 5. સરળ આવર્તગતિનું વિકલ સમીકરણ (Differential Equation of Simple Harmonic Motion) #### 5.1 સૂત્ર - ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ પ્રમાણે, $F = ma = m\frac{d^2y}{dt^2}$ - આને $F = -ky$ સાથે સરખાવતા, $$m\frac{d^2y}{dt^2} = -ky$$ $$\frac{d^2y(t)}{dt^2} = -\frac{k}{m}y(t)$$ $$\frac{d^2y(t)}{dt^2} + \omega^2 y(t) = 0$$ (જ્યાં $\omega^2 = k/m$) OR $$\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y$$ #### 5.2 ઉકેલ - આ સરળ આવર્તગતિનું દ્વિતીય ક્રમનું વિકલ સમીકરણ છે. આ સમીકરણનો ઉકેલ: - $y(t) = A \sin \omega t$ - $y(t) = B \cos \omega t$ - અથવા $\sin$ અને $\cos$ નું કોઈ રેખીય સંયોજન, $y(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$ જેવું હોય છે. - **દા.ત.** 1. $y = A \sin \omega t \Rightarrow dy/dt = A\omega \cos \omega t \Rightarrow d^2y/dt^2 = -A\omega^2 \sin \omega t = -\omega^2 y$. (પક્ષ) 2. $y = A \sin \omega t + B \cos \omega t \Rightarrow dy/dt = A\omega \cos \omega t - B\omega \sin \omega t \Rightarrow d^2y/dt^2 = -A\omega^2 \sin \omega t - B\omega^2 \cos \omega t = -\omega^2 (A \sin \omega t + B \cos \omega t) = -\omega^2 y$. (પક્ષ) - તેથી ઉકેલ સાચો છે. ### 6. સરળ આવર્તદોલકની કુલ યાંત્રિક-ઊર્જા (Total Mechanical Energy in Simple Harmonic Oscillator) #### 6.1 સૂત્ર - સ.આ.ગ. કરતો કણ બે પ્રકારની ઊર્જા ધરાવે છે: i. કણની ગતિ થકી ગતિ-ઊર્જા (Kinetic Energy - KE) ii. કણના સ્થાન થકી સ્થિતિ-ઊર્જા (Potential Energy - PE) - આપણે જાણીએ છીએ કે કણની ગતિ-ઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$. - સમી. $v = \pm \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ નો સમી.(1) માં ઉપયોગ કરતા, $$K = \frac{1}{2}m\omega^2 (A^2 - y^2)$$ - જો કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t + \phi)$ હોય તો $v = A\omega \cos(\omega t + \phi)$. $$K = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \phi)$$ - અત્રે પ્રસ્તુત કિસ્સામાં, દોલક પરનું બળ $F = -ky$ (જેને પુન:સ્થાપક બળ કહે છે.) આવા કિસ્સામાં સ્થિતિ-ઊર્જા $U = \frac{1}{2}ky^2$ વડે આપવામાં આવે છે. - સ.આ.ગ. કરતા કણની સ્થિતિ-ઊર્જા: $$U = \frac{1}{2}k A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$$ - હવે દોલકની કુલ યાંત્રિક-ઊર્જા (Mechanical Energy): $E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}ky^2$ - $E = \frac{1}{2}m\omega^2 (A^2 - y^2) + \frac{1}{2}ky^2$ (જ્યાં $k = m\omega^2$) - $E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 y^2 + \frac{1}{2}ky^2$ - $E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$ (જ્યાં $m\omega^2 = k$) - $$E = \frac{1}{2}kA^2$$ - આ સમીકરણો સૂચવે છે કે રેખીય સરળ આવર્તદોલકની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ છે તથા સમય $t$ અને સ્થાનાંતર $y$ થી સ્વતંત્ર છે. $E \propto A^2$. #### 6.2 આલેખ ($y$ સાથે) - આકૃતિમાં સ.આ.દો.ની ગતિ-ઊર્જા, સ્થિતિ-ઊર્જા અને કુલ યાંત્રિક-ઊર્જાના સ્થાનાંતર વિરુદ્ધના આલેખો દર્શાવેલ છે. - આકૃતિ પરથી નીચેના મુદ્દાઓ નોંધવા રહ્યા: i. મધ્યમન સ્થિતિ ($y = 0$) એ, સ્થિતિ-ઊર્જા ન્યૂનતમ $U = 0$ અને ગતિ-ઊર્જા મહત્તમ $K = \frac{1}{2}kA^2 = E$ હોય છે. ($y$ વધે તેમ $K$ ઘટે, $U$ વધે). ii. $y = \pm A$ (ગતિપથના અંત્યબિંદુઓ) આગળ સ્થિતિ-ઊર્જા મહત્તમ $U = \frac{1}{2}kA^2 = E$ અને ગતિ-ઊર્જા ન્યૂનતમ $K = 0$ છે. iii. બિંદુઓ P અને Q કે જ્યાં U અને K ના આલેખો એકબીજાને છેદે છે, ત્યારે $U = K = \frac{1}{2}E$. iv. P અને Q ના યામો $(\mp A/\sqrt{2}, E/2)$. #### 6.2.1 આલેખ ($t$ સાથે) - આકૃતિએ સ.આ.દો.ની ગતિ-ઊર્જા, સ્થિતિ-ઊર્જા અને યાંત્રિક-ઊર્જાના સમયવિધેયના આલેખો બતાવે છે. - આલેખો પરથી જોઈ શકાય છે કે દોલક જ્યારે એક દોલન પૂર્ણ કરે છે, ત્યારે $K$ અને $U$ બે દોલનો પૂર્ણ કરે છે. - આમ, ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જાની આવૃત્તિ સ.આ.ગ. કરતા બમણી છે. - $K = U \Rightarrow E \cos^2\omega t = E \sin^2\omega t \Rightarrow \tan^2\omega t = 1 \Rightarrow \tan\omega t = \pm 1 \Rightarrow \omega t = \pi/4 \Rightarrow t = T/8$ sec. - (સમીકરણ (2), (4) અને (7) નો ઉપયોગ કરો.) - (સમીકરણો (3), (5) અને (7) નો ઉપયોગ કરો.) - જો $y = A\cos\omega t$ મુજબ સ.આ.ગ. હોય તો $U = \frac{1}{2}kA^2 \cos^2\omega t$ અને $K = \frac{1}{2}kA^2 \sin^2\omega t$ થાય. આથી આલેખો બદલાય જાય. (જુઓ Topic 4 to 6, Level-3, MCQ-50). ### 7. સાદું લોલક (Simple Pendulum) - કોઈ એક સ્થિર (દૃઢ) આધાર પરથી વજનરહિત અને ખેંચી ન શકાય તેવી વળરહિત દોરી વડે લટકતી નાની દળદાર વસ્તુથી બનતી રચનાને સાદું લોલક કહે છે. - આકૃતિને ધ્યાનમાં લો. - સાદા લોલકના સમગ્ર દળને લટકાવેલા ગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર એકત્રિત થયેલ ગણવામાં આવે છે. - આધારબિંદુથી ગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર તે સાદા લોલકની (અસરકારક) લંબાઈ $l$ છે. - હવે વિચારો કે લોલકના ગોળાને તેના સમતુલન-સ્થાન O માંથી $\theta$ જેટલું નાનું કોણીય સ્થાનાંતર આપી બિંદુ B આગળથી મુક્ત કરતા તે ઊર્ધ્વ સમતલમાં દોલનો કરે છે. - $m$ દળ ધરાવતા આ ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ થશે: 1. નીમ્ન દિશામાં લાગતું ગોળાનું વજન = $mg$ 2. $\vec{BA}$ દિશામાં દોરીમાં લાગતું તણાવ $T'$ - બળ $mg$ ના ઘટકો: i. $mg\cos\theta$ એ $\vec{BC}$ તરફ લાગશે અને ii. $mg\sin\theta$ એ $\vec{BD}$ તરફ લાગશે અને - દોરી ખેંચાયેલી રહે છે તેથી, $T' = mg\cos\theta$ - બળનો બીજો ઘટક $mg\sin\theta$ એ ગોળાને તેની સમતુલન સ્થિતિ O માં પાછો લાવે છે. આથી ગોળા પર લાગતું આ પુન:સ્થાપક બળ છે. $$F = -mg\sin\theta$$ - જો ગોળાનું કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ નાનું હોય, તો $\sin\theta \approx \theta$ (જેમ $\theta \to 0$). $$F = -mg\theta$$ $$F = -mg \frac{OB}{l} \quad (\because \text{ચાપ } OB = x)$$ $$F = -mg \frac{x}{l}$$ $$F = -kx \quad \text{જ્યાં } k = \frac{mg}{l}$$ - સમી. $k = mg/l$ એ સાદા લોલકનો બળ અચળાંક આપે છે. - હવે સાદા લોલકનો આવર્તકાળ: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/l}}$$ $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$ - **દોલકની આવૃત્તિ:** $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$ - **કોણીય આવૃત્તિ:** $\omega = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{g}{l}}$ #### 7.1 નોંધનીય મુદ્દાઓ - જો સાદા લોલકની લંબાઈમાં થતો આંશિક ફેરફાર $dl/l$ હોય તો તેના આવર્તકાળમાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર શોધવો. $$\frac{dT}{T} \times 100\% = \frac{1}{2} \left(\frac{dl}{l} \times 100\% \right)$$ - જો ગુરુત્વપ્રવેગમાં થતો આંશિક ફેરફાર $dg/g$ હોય, તો તેના આવર્તકાળમાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર શોધવો. ($l$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.) $$\frac{dT}{T} \times 100\% = -\frac{1}{2} \left(\frac{dg}{g} \times 100\% \right)$$ (9% સુધી જ આ રીત વાપરવી) - જો સાદા લોલકની લંબાઈ $l$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ બંનેમાં ફેરફાર થાય તો તેના આવર્તકાળમાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર શોધવો. $$\frac{dT}{T} \times 100\% = \frac{1}{2} \left(\frac{dl}{l} - \frac{dg}{g} \right) \times 100\%$$ #### 7.2 આધાર - નાના ખૂણા $\theta$ માટે સાદા લોલકનો આવર્તકાળ: i. ગોળાના દળથી સ્વતંત્ર છે. ii. દોલકના કંપવિસ્તારથી સ્વતંત્ર છે. iii. તે લોલકની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે. $T \propto \sqrt{l}$ અને iv. તે ગુરુત્વીય પ્રવેગ પર આધારિત છે. $T \propto 1/\sqrt{g}$ #### 7.3 આલેખો - સમીકરણ $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ પરથી નીચેની આકૃતિ મુજબના આલેખો દોરી શકાય. - $T \to \sqrt{l}$ નો આલેખ: ઢાળ = $2\pi/\sqrt{g}$ - $T^2 \to l$ નો આલેખ: ઢાળ = $4\pi^2/g$ - $T \to 1/\sqrt{g}$ નો આલેખ: ઢાળ = $2\pi\sqrt{l}$ - $T \to \sqrt{l/g}$ નો આલેખ: ઢાળ = $2\pi$ #### 7.4 નોંધનીય મુદ્દાઓ i. $T \propto \sqrt{l}$ એનો અર્થ એવો નથી કે જેમ $l \to \infty$, તેમ $T \to \infty$. આ સંબંધ $l \ge$ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા માટે લાગુ પડતું નથી. - પૃથ્વીની ત્રિજ્યાની સાપેક્ષે જ્યારે સાદા લોલકની લંબાઈ અવગણ્ય ન હોય ત્યારે આવર્તકાળ (T) શોધવો. $T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g(\frac{1}{l} + \frac{1}{R_e})}}$. - જો $l \ll R_e$, તો $1/R_e = 0 \Rightarrow T = 2\pi\sqrt{l/g}$. - જો $l \gg R_e$, તો $T = 2\pi\sqrt{R_e/g}$. ii. સૂતરાઉ દોરીની જગ્યાએ જો ગોળો ધાતુના તાર વડે લટકાવેલ હોય તો લોલકની લંબાઈ તાપમાનના વધવાથી વધશે અને તાપમાન ઘટવાથી ઘટશે. આનો અર્થ એમ કે સાદા લોલકનો આવર્તકાળ વધે કે ઘટે તેનો આધાર તાપમાન વધશે કે ઘટશે તેના પર છે. આ જ કારણથી લોલક ઘડિયાળ શિયાળામાં ઝડપી અને ઉનાળામાં ધીમી પડે છે. - શિયાળામાં $l$ ઘટે, $T$ ઘટે, ઝડપી દોલનો. ઉનાળામાં આનાથી ઊલટું. iii. પૃથ્વીની સપાટી કરતા પહાડો ઉપર કે ખાણોમાં $g$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય છે. આથી સાદા લોલકનો આવર્તકાળ સૈદ્ધાંતિક રીતે પહાડો પર કે ખાણોમાં વધશે. #### 7.5 લિફ્ટમાં સાદું લોલક - જો $a$ જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરતી લિફ્ટમાં સાદું લોલક દોલન કરતું હોય, તો તેના પર લાગતું $g$ એ, $g_{eff} = g \pm a$. - + નિશાની લિફ્ટ ઉપર જતી હોય ત્યારે અને - નિશાની લિફ્ટ નીચે આવતી હોય ત્યારે લેવામાં આવે છે. - લિફ્ટ ઉપર જાય તો $a$ નીચે, તેથી $g_{eff} = g+a$. - લિફ્ટ નીચે આવે તો $a$ ઉપર, તેથી $g_{eff} = g-a$. ($a$ = આભાસી પ્રવેગ છે.) - આથી સાદા લોલકનો આવર્તકાળ: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g \pm a}}$$ - હવે, ધારો કે લિફ્ટ મુક્તપતન કરે છે. - $a = g$ - $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g - g}} = \infty$ - એટલો કે લોલક દોલન નહીં કરે. #### 7.6 ટ્રેનના ડબ્બામાં સાદું લોલક - $a$ જેટલા પ્રવેગ કે પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરતી ટ્રેનના ડબ્બામાં જો સાદું લોલક દોલન કરતું હોય, તો $g$ નું અસરકારક મૂલ્ય: $$g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$$ ( $g$ અધોદિશામાં અને $a$ સમક્ષિતિજ દિશામાં તેથી $\vec{g}_{eff} = \vec{g} + \vec{a}$ ) - આથી આવર્તકાળ: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + a^2}}}$$ #### 7.7 સેકન્ડ લોલક - જે લોલકનો આવર્તકાળ બે સેકન્ડ હોય છે તેવા લોલકને સેકન્ડ લોલક કહે છે. - $T = 2s \Rightarrow l = 1m$. - આવું લોલક તેના દોલન દરમિયાન એક અંતિમ સ્થાનેથી બીજા અંતિમ સ્થાન સુધી જતાં એક સેકન્ડ જેટલો સમય લે છે. - તે સમતુલન સ્થિતિ આગળથી દર સેકન્ડે પસાર થાય છે. ### 8. સરળ આવર્તગતિ અને નિયમિત વર્તુળમય ગતિ (Simple Harmonic Motion and Uniform Circular Motion) - O કેન્દ્ર અને A ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર માર્ગ પર $\omega$ જેટલી અચળ કોણીય ઝડપથી વિષમઘડી દિશામાં ગતિ કરતો એક કણ P લો. - અહીં કણને સંદર્ભકણ અને વર્તુળને સંદર્ભવર્તુળ તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે. - સંદર્ભરેખા OX ની સાપેક્ષે $t$ સમયે કણનું કોણીય સ્થાન $(\omega t + \phi)$ જ્યાં $\phi$ એ પ્રારંભિક કળા છે. Q એ P નો Y-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ છે, જે $t$ સમયે સ્થાનસદિશ $OP$ નો પ્રક્ષેપ = $OQ = y(t)$ આપે છે. - આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી, $\sin(\omega t + \phi) = \frac{OQ}{OP}$ $$y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$$ - આ સમીકરણ (1) એ Y-અક્ષ પર સ.આ.ગ. કરતા કણનું સ્થાનાંતર બતાવે છે. - જો OP નો પ્રક્ષેપ X-અક્ષ પર OR તરીકે લેવામાં આવે, તો $\cos(\omega t + \phi) = \frac{OR}{OP}$ $$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$ - આ સમીકરણ (2) એ X-અક્ષ પર સ.આ.ગ. કરતા કણનું સ્થાનાંતર બતાવે છે. - આમ આપણે તારવી શકીએ કે, સરળ આવર્તગતિ એ નિયમિત વર્તુળમય ગતિના, સંદર્ભવર્તુળના વ્યાસ પરના પ્રક્ષેપની ગતિ છે. #### 8.1 વેગ - પ્રવેગ - હવે A જેટલી ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર $\omega$ જેટલી કોણીય ઝડપથી ગતિ કરતા સંદર્ભકણ P ની ગતિ $\vec{v}$ નું મૂલ્ય $v = \omega A$ છે. (વર્તુળ ગતિમાં $v = r\omega$). - $t$ સમયે $v$ નો Y-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ આકૃતિમાં બતાવેલ છે. - આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી, $\cos(\omega t + \phi) = \frac{SQ}{\omega A}$ $$v(t) = \omega A \cos(\omega t + \phi)$$ - જ્યારે દોલક ધન y-દિશામાં ગતિ કરતો હોય ત્યારે $v$ ધન હોય છે અને ઋણ y-દિશામાં તરફ ગતિ કરતો હોય તો $v$ ઋણ હોય છે. - આ જ રીતે સંદર્ભકણનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\omega^2 A$ નો y-દિશામાંનો ઘટક $\omega^2 A \sin(\omega t + \phi)$ છે. - $a_C = v^2/r = r\omega^2$. ( કેન્દ્રગામી પ્રવેગ = $\omega^2 A$ અત્રે સ્થાનાંતર ઊર્ધ્વદિશામાં છે. જ્યારે પ્રવેગ અધોદિશામાં હોવાથી $a = -\omega^2 A \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 y$). ### SUMMARY 1. પુનરાવર્તન પામતી ગતિને આવર્તગતિ કહેવાય છે. 2. આવર્તકાળ $T$ તે એવો લઘુત્તમ સમય છે કે ત્યારબાદ ગતિ પોતે પુનરાવર્તન કરે છે. તે આવૃત્તિ $\nu$ સાથે $T = 1/\nu$ વડે સંબંધિત છે. આવર્ત અથવા દોલન ગતિની આવૃત્તિ એ એકમ સમય દીઠ દોલનોની સંખ્યા છે. SI માં તે Hertz (Hz) માં માપવામાં આવે છે. 1 Hertz = 1 Hz = 1 દોલન પ્રતિ સેકન્ડ = $1s^{-1}$. 3. સરળ આવર્તગતિ (સ.આ.ગ. / SHM) માં તેના સંતુલન સ્થાનથી કણનું સ્થાનાંતર $x(t)$ ને નીચેના સ્વરૂપે આપવામાં આવે છે. $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ (સ્થાનાંતર), જેમાં $A$ એ સ્થાનાંતરનો કંપવિસ્તાર છે. રાશિ $(\omega t + \phi)$ એ ગતિની કળા છે અને $\phi$ એ કળા અચળાંક છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega$, એ આવર્તકાળ અને આવૃત્તિ સાથે $\omega = 2\pi/T = 2\pi\nu$ (કોણીય આવૃત્તિ) વડે સંબંધિત છે. 4. સરળ આવર્તગતિને નિયમિત વર્તુળમય ગતિની તે વર્તુળના વ્યાસ પરના પ્રક્ષેપ તરીકે જોઈ શકાય છે. 5. સમયના વિધેય તરીકે સ.આ.ગ. દરમિયાન કણનો વેગ અને પ્રવેગ નીચે મુજબ છે: $v(t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)$ (વેગ), $a(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$ (પ્રવેગ), આ રીતે આપણે કહી શકીએ છીએ કે, સરળ આવર્તગતિ કરતા પદાર્થનો વેગ અને પ્રવેગ બંને આવર્ત વિધેયો છે, કે જેમના અનુક્રમે વેગ કંપવિસ્તાર $v_m = \omega A$ અને પ્રવેગ કંપવિસ્તાર $a_m = \omega^2 A$ છે. 6. સરળ આવર્તગતિ દરમિયાન લાગતું બળ એ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને હંમેશા ગતિના મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે. 7. સરળ આવર્તગતિ કરતા કણની કોઈ પણ સમયે ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2}kx^2$ હોય છે. જો કોઈ પણ ઘર્ષણ હાજર ન હોય, તો $K$ અને $U$ સમય સાથે બદલાતા હોવા છતાં પ્રણાલીની યાંત્રિક ઊર્જા $E = K+U$ હંમેશા અચળ રહે છે. 8. $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવેલા હૂકના નિયમ મુજબ પુન:સ્થાપક બળની અસર હેઠળ $m$ દ્રવ્યમાનનું કણ એ સરળ આવર્તગતિ કરે છે જેના માટે, $\omega = \sqrt{k/m}$ (કોણીય આવૃત્તિ) $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ (આવર્તકાળ) આવી પ્રણાલીને રેખીય દોલક પણ કહેવાય છે. 9. નાના ખૂણાઓ સુધી ઝૂલતા સાદા લોલકની ગતિ લગભગ સરળ આવર્ત છે. આ દોલનનો આવર્તકાળ છે: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ ### POINTS TO PONDER 1. આવર્તકાળ $T$ તે એવો લઘુત્તમ સમય છે કે ત્યારબાદ ગતિ પોતે પુનરાવર્તન કરે છે. આમ, ગતિ $nT$ પછી જ પુનરાવર્તન કરે છે. જ્યાં, $n$ એક પૂર્ણાંક છે. 2. દરેક આવર્તગતિ સરળ આવર્તગતિ નથી. જે આવર્તગતિ બળના નિયમ $F = -kx$ દ્વારા સંચાલિત હોય તે જ માત્ર સરળ આવર્તગતિ છે. 3. વ્યસ્ત-વર્ગ નિયમ બળ (ગ્રહોની ગતિમાં) ઉપરાંત દ્વિપરિમાણોમાં સરળ આવર્તબળ $-m\omega^2r$ ને કારણે વર્તુળમય ગતિ ઉત્પન્ન થાય છે. બીજા કિસ્સામાં, બે લંબવત દિશામાં ($x$ અને $y$) ગતિની કળાઓ $\pi/2$ જેટલી અલગ હોવી જોઈએ. આમ, કોઈ એક કણ કે જેની પ્રારંભિક સ્થિતિ $(0, A)$ અને વેગ $(\omega A, 0)$ હોય તેના પર $-m\omega^2r$ બળ લગાડતા તે $A$ ત્રિજ્યાના એક વર્તુળમાં નિયમિત રીતે ગતિ કરે છે. 4. આપેલ $\omega$ ની રેખીય સરળ આવર્તગતિ માટે બે યાદૃચ્છિક પ્રારંભિક શરતો જરૂરી છે અને ગતિ સંપૂર્ણપણે નક્કી કરવા માટે તે પર્યાપ્ત છે. આ પ્રારંભિક શરત: i. પ્રારંભિક સ્થિતિ અને પ્રારંભિક વેગ અથવા ii. કંપવિસ્તાર અને કળા અથવા iii. ઊર્જા અને કળા હોઈ શકે છે. 5. ઉપરોક્ત મુદ્દા 4 પરથી, જો કંપવિસ્તાર અથવા ઊર્જા આપેલ હોય, તો પ્રારંભિક સ્થિતિ અથવા પ્રારંભિક વેગ દ્વારા ગતિની કળાઓ શોધવામાં આવે છે. 6. એ જરૂરી નથી કે યાદૃચ્છિક કંપવિસ્તારો અને કળાઓ સાથેની બે સરળ આવર્તગતિનું સંયોજન આવર્ત જ હોય. જો એક ગતિની આવૃત્તિ એ અન્યની આવૃત્તિનો એક પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય, ત્યારે જે-તે આવર્ત થાય છે. જોકે, આવર્તગતિ હંમેશા યોગ્ય કંપવિસ્તાર સાથેની અનંત આવર્તગતિઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે. 7. સ.આ.ગ. નો આવર્તકાળ એ કંપવિસ્તાર અથવા ઊર્જા અથવા કળા-અચળાંક પર આધાર રાખતો નથી. જે ગુરુત્વાકર્ષણ (કેપ્લરનો ત્રીજો નિયમ) હેઠળ ગ્રહોની ભ્રમણ કક્ષાના આવર્તકાળ સાથે વિરોધાભાસ દર્શાવે છે. 8. એક સાદા લોલકની ગતિ નાના કોણીય સ્થાનાંતર માટે સરળ આવર્ત છે. 9. કણની ગતિને સરળ આવર્ત થવા માટે તેના સ્થાનાંતર $x$ ને નીચેના સ્વરૂપોમાંથી કોઈ પણ એક રૂપમાં જ દર્શાવવા જોઈએ: $x = A \cos \omega t + B \sin \omega t$ $x = A \cos (\omega t + \alpha )$ $x = B \sin (\omega t + \beta )$ આ ત્રણ સ્વરૂપો સંપૂર્ણપણે સમતુલ્ય છે. (કોણ પણ એકને અન્ય બે સ્વરૂપોના પદમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે) આમ, અવમંદિત સરળ આવર્તગતિ એ સરળ આવર્તગતિ તો નથી જ તેથી તે ફક્ત $2m/b$ કરતા ખૂબ જ ઓછા સમય અંતરાલ માટે લગભગ લાગુ પાડી શકાય છે જ્યાં, $b$ અવમંદિત અચળાંક છે. ### PHYSICAL QUANTITIES (ભૌતિક રાશિઓ) | ક્રમ | ભૌતિક રાશિઓ | સંજ્ઞા / સૂત્ર | SI એકમ | પારિમાણિક સૂત્ર | |---|---|---|---|---| | 1 | સ્થાનાંતર (સ્થાન) | $y$ | m or cm | $M^0L^1T^0$ | | 2 | કંપવિસ્તાર | $A$ | m or cm | $M^0L^1T^0$ | | 3 | આવર્તકાળ | $T$ | second (s) | $M^0L^0T^1$ | | 4 | આવૃત્તિ | $f$ | $s^{-1}$ or Hz | $M^0L^0T^{-1}$ | | 5 | કોણીય આવૃત્તિ | $\omega$ | rad $s^{-1}$ | $M^0L^0T^{-1}$ | | 6 | ત્રિકોણમિતિય વિધેય | $\sin, \cos$ | એકમ રહિત | $M^0L^0T^0$ | | 7 | સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક | $k$ | N/m | $M^1L^0T^{-2}$ | | 8 | ઊર્જા (ગતિ ઊર્જા, સ્થિતિ ઊર્જા, યાંત્રિક ઊર્જા) | $K, U, E$ | $kgm^2s^{-2}$, Nm or J | $M^1L^2T^{-2}$ | | 9 | અવમંદન અચળાંક | $b$ | kg/s or Ns/m | $M^1L^0T^{-1}$ | ### DEPENDENCY (આધારિતતા) | ભૌતિક રાશિઓ | આધારિત છે | આધારિત નથી | |---|---|---| | સ્થાનાંતર ($y$) | સમય ($t$), કોણીય આવૃત્તિ ($\omega$), પ્રારંભિક કળા ($\phi$), કંપવિસ્તાર ($A$), ત્રિકોણમિતિય વિધેય ($\sin, \cos$) | મધ્યમાન સ્થાન, કળા | | વેગ ($v$) | સમય ($t$), કોણીય આવૃત્તિ ($\omega$), પ્રારંભિક કળા ($\phi$), કંપવિસ્તાર ($A$), ત્રિકોણમિતિય વિધેય ($\sin, \cos$) | | | પ્રવેગ ($a$) | સમય ($t$), કોણીય આવૃત્તિ ($\omega$), પ્રારંભિક કળા ($\phi$), કંપવિસ્તાર ($A$), ત્રિકોણમિતિય વિધેય ($\sin, \cos$) | | | ગતિ ઊર્જા ($K$) | સ.આ. દોલકના વેગ | | | સ્થિતિ ઊર્જા ($U$) | સ.આ. દોલકના સ્થાનાંતર | | | યાંત્રિક ઊર્જા ($E$) | સ.આ. દોલકનો કંપવિસ્તાર | | | લોલકનો આવર્તકાળ ($T$) | લોલકની લંબાઈ ($l$) ($T \propto \sqrt{l}$), ગુરુત્વપ્રવેગ ($g$) ($T \propto 1/\sqrt{g}$) | ગોળાના દળથી સ્વતંત્ર છે. (નાના ખૂણા $\theta$ માટે) દોલકના કંપવિસ્તારથી સ્વતંત્ર છે. | | લોલકની આવૃત્તિ ($f$) | ઉપર મુજબ | | | કોણીય આવૃત્તિ ($\omega$) | ઉપર મુજબ | | | અવમંદિત બળ/અવરોધ બળ | દોલકના વેગ, અવમંદન અચળાંક $b$ | | | પ્રણોદિત દોલનોનો કંપવિસ્તાર | $\omega_0^2 - \omega^2$ તફાવત પર, અવરોધક ગુણાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણ પર | | | અવમંદન અચળાંક | માધ્યમની જાત (શ્યાનતા), દોલકના કદ, આકાર | | ### GRAPHS - સ.આ.દો.ના સ્થાનાંતર, ગતિ અને પ્રવેગના સમય વિરુદ્ધના આલેખો - (sine) - (cosine) - (-sine) - સ.આ.દો.ની ઊર્જાઓ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતર - સ.આ.દો.ની ઊર્જાઓ સમય વિધેય તરીકે ઊર્જાઓ $\to$ સમયનો આલેખ - અનુનાદ વક્રો - $T \to \sqrt{l}$ ના આલેખ: ઢાળ = $2\pi/\sqrt{g}$ - $T^2 \to l$ ના આલેખ: ઢાળ = $4\pi^2/g$ - $T \to 1/\sqrt{g}$ ના આલેખ: ઢાળ = $2\pi\sqrt{l}$ - $T \to \sqrt{l/g}$ ના આલેખ: ઢાળ = $2\pi$ - $T \to l$ ના આલેખ - $T^2 \to g$ ના આલેખ - Topic No. 3.2.1 માટેના ગ્રાફ - જુદા જુદા $\phi$ માટે $y \to t$ નો ગ્રાફ ($f$ અને $A$ અચળ) - જુદા જુદા $f$ (or $T$) માટે $y \to t$ નો ગ્રાફ ($\phi$ અને $A$ અચળ)