Math Tronc Commun - Aide-Mémoire

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1. Calcul Algébrique & Racines Carrées Propriétés des racines carrées: $\sqrt{a^2} = |a|$ $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ pour $a, b \ge 0$ $(\sqrt{a})^2 = a$ pour $a \ge 0$ Comparaison: Pour $a, b \ge 0$, $a Pour comparer $X$ et $Y$, on peut étudier le signe de $X-Y$ ou comparer $X^2$ et $Y^2$ si $X, Y \ge 0$. Formules utiles: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 2. Identités Remarquables Généralisées Si $a+b$ et $a^2+b^2$ sont connus: $ab = \frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{2}$ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ $a^3+b^3 = (a+b)((a^2+b^2)-ab)$ 3. Valeur Absolue Définition: $|x| = x$ si $x \ge 0$, et $|x| = -x$ si $x Propriétés: $|x| = a \iff x = a \text{ ou } x = -a$ (pour $a \ge 0$) $|x| 0$) $|x| > a \iff x a$ (pour $a \ge 0$) $|X| = |Y| \iff X = Y \text{ ou } X = -Y$ $|X| \le |Y| \iff X^2 \le Y^2$ 4. Encadrement & Inégalités Si $a \le x \le b$ et $c \le y \le d$ (avec $a,b,c,d$ réels): $a+c \le x+y \le b+d$ $a-d \le x-y \le b-c$ Si $x,y,a,b,c,d$ sont positifs: $ac \le xy \le bd$ Si $x,y,a,b,c,d$ sont positifs: $\frac{a}{d} \le \frac{x}{y} \le \frac{b}{c}$ **Inégalité triangulaire:** $|x+y| \le |x| + |y|$ Pour montrer $A \le B$, on peut étudier le signe de $A-B$. 5. Transformations Algébriques & Rationalisation Pour simplifier $\frac{1}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$, multiplier par le conjugué: $\frac{1}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}{a-b}$. Expression $\sqrt{1+x^2}-1$: peut être transformée en multipliant par le conjugué $\sqrt{1+x^2}+1$: $$ \sqrt{1+x^2}-1 = \frac{(\sqrt{1+x^2}-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{\sqrt{1+x^2}+1} = \frac{(1+x^2)-1}{\sqrt{1+x^2}+1} = \frac{x^2}{1+\sqrt{1+x^2}} $$ Pour prouver une inégalité du type $A \ge B$, on peut étudier le signe de $A-B$. 6. Approximation Numérique Pour une valeur approchée de $\sqrt{1+\epsilon}$ avec $\epsilon$ petit: $\sqrt{1+\epsilon} \approx 1 + \frac{\epsilon}{2}$ (Formule issue du développement limité d'ordre 1) L'erreur est généralement de l'ordre de $\frac{\epsilon^2}{8}$. 7. Géométrie Analytique dans le Plan $(O; \vec{i}, \vec{j})$ 7.1. Vecteurs et Points Soient $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$. Coordonnées du vecteur $\vec{AB}$: $\vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A)$. **Déterminant de deux vecteurs $\vec{u}(x,y)$ et $\vec{v}(x',y')$:** $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$. Points $A, B, C$ sont alignés $\iff \vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires $\iff \det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0$. **Appartenance d'un point à une droite:** Un point $M(x_M, y_M)$ appartient à une droite d'équation $ax+by+c=0$ si $ax_M+by_M+c=0$. 7.2. Droites **Équation Cartésienne d'une droite:** $ax+by+c=0$. Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(-b, a)$. Un vecteur normal est $\vec{n}(a, b)$. Pour trouver l'équation d'une droite passant par $A(x_A, y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(x_u, y_u)$: Soit $M(x,y)$ un point de la droite, alors $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. $\det(\vec{AM}, \vec{u}) = 0$. $(x-x_A)y_u - (y-y_A)x_u = 0$. **Représentation Paramétrique d'une droite:** Une droite passant par $A(x_A, y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(x_u, y_u)$ a pour représentation: $$ \begin{cases} x = x_A + t x_u \\ y = y_A + t y_u \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) $$ **Parallélisme de droites:** Deux droites $(D)$ et $(D')$ sont parallèles $\iff$ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Ou, si elles ont des équations $D: ax+by+c=0$ et $D': a'x+b'y+c'=0$, elles sont parallèles si $ab'-a'b=0$. **Intersection de droites (sécantes):** Pour trouver le point d'intersection $I(x,y)$ de deux droites, il faut résoudre le système formé par leurs équations. Si une droite est donnée par une représentation paramétrique et l'autre par une équation cartésienne, substituer $x$ et $y$ de la paramétrique dans l'équation cartésienne pour trouver la valeur du paramètre $t$.