Higher Math Admission Cheat Sheet

Cheatsheet Content

উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র (Higher Mathematics 1st Paper) প্রথম অধ্যায়: ম্যাট্রিক্স নির্ণায়ক (Matrix and Determinants) ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ (Types of Matrices): আয়তাকার ম্যাট্রিক্স: $m \ne n$ বর্গ ম্যাট্রিক্স: $m = n$ শূণ্য ম্যাট্রিক্স: সব উপাদান $0$ একক/অভেদক ম্যাট্রিক্স ($I$): প্রধান কর্ণের উপাদান $1$, বাকি $0$ কর্ণ ম্যাট্রিক্স: প্রধান কর্ণের উপাদান অশূন্য, বাকি $0$ বিম্ব ম্যাট্রিক্স ($A^T$): সারি ও কলাম বিনিময় ট্রেস (Trace): প্রধান কর্ণের উপাদানগুলোর যোগফল অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স (Adj(A)): সহগুণক ম্যাট্রিক্সের বিম্ব ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স: $|A| = 0$ অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স: $|A| \ne 0$ ত্রিভুজাকৃতি ম্যাট্রিক্স: প্রধান কর্ণের উপরের বা নিচের সব উপাদান $0$ বিপরীত ম্যাট্রিক্স ($A^{-1}$): $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)$ শর্ত: ম্যাট্রিক্সটি বর্গাকার ও অব্যতিক্রমী হতে হবে। $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্সের জন্য: যদি $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ হয়, তবে $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ ম্যাট্রিক্সের যোগ, বিয়োগ ও গুণ: যোগ/বিয়োগ: Order সমান হতে হবে। গুণ: প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা = দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা। Note: $AB \ne BA$ হতে পারে। নির্ণায়ক (Determinants): শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয় করা যায়। অনুরাশি (Minor): কোনো উপাদানের সারি ও কলাম বাদ দিয়ে গঠিত নির্ণায়ক। সহগুণক (Cofactor): অনুরাশির সাথে $(-1)^{i+j}$ গুণ করে। নির্ণায়কের ধর্ম: $|A| = |A^T|$ দুটি সারি/কলাম বিনিময় করলে চিহ্ন পাল্টায়। একটি সারি/কলামের সব উপাদান $0$ হলে নির্ণায়কের মান $0$। দুটি সারি/কলাম অভিন্ন হলে নির্ণায়কের মান $0$। একটি সারি/কলামের উপাদানকে $k$ দিয়ে গুণ করলে নির্ণায়কের মান $k$ গুণ হয়। তৃতীয় অধ্যায়: সরলরেখা (Straight Line) স্থানাঙ্ক পদ্ধতি: কার্তেসীয় ও পোলার (Coordinate Systems: Cartesian & Polar): পোলার থেকে কার্তেসীয়: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ কার্তেসীয় থেকে পোলার: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ $\theta$ নির্ণয়: চতুর্ভাগ অনুযায়ী। যেমন, $(x,y)$ হলে $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$; $(-x,y)$ হলে $\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ দূরত্ব নির্ণয় (Distance Formula): কার্তেসীয়: $PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ পোলার: $PQ = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_1-\theta_2)}$ অন্তর্বিভক্তিকরণ ও বহির্বিভক্তিকরণ (Internal & External Division): $(x_1, y_1)$ ও $(x_2, y_2)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখা $m_1:m_2$ অনুপাতে বিভক্ত হলে: অন্তর্বিভক্তি: $x = \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}$, $y = \frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}$ বহির্বিভক্তি: $x = \frac{m_1x_2-m_2x_1}{m_1-m_2}$, $y = \frac{m_1y_2-m_2y_1}{m_1-m_2}$ $X$-অক্ষ $y_1:y_2$ অনুপাতে, $Y$-অক্ষ $x_1:x_2$ অনুপাতে বিভক্ত করে। ক্ষেত্রফল নির্ণয় (Area Calculation): ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: $\frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)|$ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল: একই নিয়মে, শীর্ষবিন্দুগুলো ক্রমানুসারে বসিয়ে। সরলরেখার সমীকরণ (Equation of Straight Line): বিভিন্ন আকার: ঢাল-ছেদক আকার: $y = mx + c$ $x$-অক্ষের সমান্তরাল: $y = b$ $y$-অক্ষের সমান্তরাল: $x = a$ বিন্দু-ঢাল আকার: $y - y_1 = m(x - x_1)$ দুই-বিন্দু আকার: $\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ছেদক আকার: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ লম্ব আকার: $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ সরলরেখার শর্ত: $xy$ যুক্ত কোনো পদ থাকবে না। $c-1=0 \implies c=1$ (যদি $xy$ এর সহগ $c-1$ হয়) দুটি রেখা অভিন্ন হওয়ার শর্ত: $a_1x+b_1y+c_1=0$ ও $a_2x+b_2y+c_2=0$ হলে $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ দুটি রেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ $\theta$: $\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$ সমান্তরাল হওয়ার শর্ত: $m_1 = m_2$ অথবা $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ লম্ব হওয়ার শর্ত: $m_1m_2 = -1$ অথবা $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ একটি বিন্দু থেকে রেখার লম্ব দূরত্ব: $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ চতুর্থ অধ্যায়: বৃত্ত (Circle) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ কেন্দ্র: $(-g, -f)$, ব্যাসার্ধ: $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ শর্ত: $x^2$ ও $y^2$ এর সহগ সমান ও অশূন্য, $xy$ পদ অনুপস্থিত। মূলবিন্দুতে কেন্দ্র হলে: $x^2 + y^2 = r^2$ অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত: $x$-অক্ষকে স্পর্শ করলে: $g^2 = c$ $y$-অক্ষকে স্পর্শ করলে: $f^2 = c$ উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে: $g^2 = f^2 = c$ স্পর্শকের সমীকরণ: $(x_1, y_1)$ বিন্দুতে $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ বৃত্তের স্পর্শক: $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ $y=mx+c$ সরলরেখা $x^2+y^2=a^2$ বৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত: $c^2=a^2(1+m^2)$ সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ: $S_1 - S_2 = 0$ ($S_1=0$ ও $S_2=0$ দুটি বৃত্তের সমীকরণ) সপ্তম অধ্যায়: ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios) মৌলিক সূত্রাবলি: $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ $\sin 2A = 2 \sin A \cos A = \frac{2 \tan A}{1+\tan^2 A}$ $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A - 1 = 1 - 2 \sin^2 A = \frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A}$ $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1-\tan^2 A}$ $\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A$ $\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ $\tan 3A = \frac{3 \tan A - \tan^3 A}{1 - 3 \tan^2 A}$ যোগফল ও গুণফল সূত্র: $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ ইত্যাদি। $\sin C + \sin D = 2 \sin\left(\frac{C+D}{2}\right) \cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$ ইত্যাদি। ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ $\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ কোয়াড্রেন্টের নিয়ম: All Sin Tan Cos ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ: $\sin \theta = 0 \implies \theta = n\pi$ $\cos \theta = 0 \implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ $\tan \theta = 0 \implies \theta = n\pi$ $\sin \theta = \sin \alpha \implies \theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ $\cos \theta = \cos \alpha \implies \theta = 2n\pi \pm \alpha$ $\tan \theta = \tan \alpha \implies \theta = n\pi + \alpha$ ত্রিভুজের ধর্মাবলি: সাইন সূত্র: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ কোসাইন সূত্র: $a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A$ ইত্যাদি। ক্ষেত্রফল: $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ নবম অধ্যায়: অন্তরীকরণ (Differentiation) সীমা (Limits): অনির্ণেয় আকার: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty, 0^\infty, 1^\infty$ L'Hopital's Rule: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ (যদি $\frac{0}{0}$ বা $\frac{\infty}{\infty}$ আকার হয়) মৌলিক সীমা: $\lim_{x \to a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = na^{n-1}$ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ $\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$ অন্তরীকরণের সূত্রাবলি (Differentiation Formulas): $\frac{d}{dx}(c) = 0$ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$, $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$, $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$ $\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$, $\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$ $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$, $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$, $\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$ $\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ইত্যাদি। অন্তরীকরণের নিয়মাবলি (Rules of Differentiation): যোগ/বিয়োগ: $\frac{d}{dx}(u \pm v) = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}$ গুণফল: $\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ ভাগফল: $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ চেইন রুল (Chain Rule): $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ প্যারামেট্রিক ফাংশন: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ অব্যক্ত ফাংশন: $-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}$ গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার (Applications): ঢাল (Slope): $m = \frac{dy}{dx}$ স্পর্শকের সমীকরণ: $y - y_1 = m(x - x_1)$ অভিলম্বের সমীকরণ: $y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1)$ পরিবর্তনের হার: $\frac{dy}{dx}$ গুরুমান/লঘুমান: $\frac{dy}{dx}=0$ এবং $\frac{d^2y}{dx^2} 0$ (লঘুমান) দশম অধ্যায়: যোগজীকরণ (Integration) অনির্দিষ্ট যোগজ (Indefinite Integral): $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (যদি $n \ne -1$) $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ $\int e^x dx = e^x + C$ $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ $\int \sin x dx = -\cos x + C$, $\int \cos x dx = \sin x + C$ $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$ অংশায়ন (Integration by Parts): $\int u dv = uv - \int v du$ প্রতিস্থাপন (Substitution): $u = f(x)$ ধরে। নির্দিষ্ট যোগজ (Definite Integral): $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ ক্ষেত্রফল: $A = \int_a^b y dx$ (x-অক্ষ বরাবর), $A = \int_c^d x dy$ (y-অক্ষ বরাবর) বৃত্তের ক্ষেত্রফল: $\pi r^2$ উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল: $\pi ab$ উচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্র (Higher Mathematics 2nd Paper) তৃতীয় অধ্যায়: জটিল সংখ্যা (Complex Numbers) সংজ্ঞা: $z = a+ib$ আকারের সংখ্যা, যেখানে $a,b \in \mathbb{R}$ এবং $i = \sqrt{-1}$। অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা ($\bar{z}$): $z = a+ib$ হলে $\bar{z} = a-ib$। মডুলাস ($|z|$): $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ আর্গুমেন্ট ($\arg(z)$): $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ (চতুর্ভাগ অনুযায়ী)। পোলার আকার: $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$ এককের ঘনমূল: $1, \omega, \omega^2$ $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$, $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ $1+\omega+\omega^2 = 0$ $\omega^3 = 1$ জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক রূপ (সঞ্চারপথ): $|z|=a \implies$ কেন্দ্র $(0,0)$ ব্যাসার্ধ $a$ বিশিষ্ট বৃত্ত। $|z-z_0|=a \implies$ কেন্দ্র $z_0$ ব্যাসার্ধ $a$ বিশিষ্ট বৃত্ত। $|z-z_1|=|z-z_2| \implies$ $z_1$ ও $z_2$ এর সংযোজক রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্ডক। $|z-z_1|+|z-z_2|=k \implies$ উপবৃত্ত (যদি $k > |z_1-z_2|$)। $|z-z_1|-|z-z_2|=k \implies$ অধিবৃত্ত (যদি $k চতুর্থ অধ্যায়: বহুপদী সমীকরণ (Polynomial Equations) দ্বিঘাত সমীকরণ: $ax^2+bx+c=0$ মূল নির্ণয়: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ নিশ্চায়ক ($D$): $D = b^2-4ac$ মূলের প্রকৃতি: $D=0 \implies$ বাস্তব ও সমান। $D>0 \implies$ বাস্তব ও অসমান। ($D$ পূর্ণবর্গ হলে মূলদ, না হলে অমূলদ)। $D মূল ও সহগের সম্পর্ক: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$, $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ ত্রিঘাত সমীকরণ: $ax^3+bx^2+cx+d=0$ মূল ও সহগের সম্পর্ক: $\alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$ নির্ণায়ক: $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ ইত্যাদি। নতুন মূলবিশিষ্ট সমীকরণ গঠন: যদি $ax^2+bx+c=0$ এর মূল $\alpha, \beta$ হয়, এবং $f(\alpha), f(\beta)$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ গঠন করতে হয়, তবে $x = f(y)$ ধরে $y$ এর মান $x$ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে নতুন সমীকরণ পাওয়া যায়। যেমন: $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ: $cx^2+bx+a=0$ ষষ্ঠ অধ্যায়: কনিক (Conic) সংজ্ঞা: একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (উপকেন্দ্র) এবং একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা (নিয়মক) থেকে কোনো বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত (উৎকেন্দ্রিকতা $e$) একটি ধ্রুবক হলে, বিন্দুর সঞ্চারপথকে কনিক বলে। কনিকের প্রকারভেদ: বৃত্ত: $e=0$ পরাবৃত্ত: $e=1$ উপবৃত্ত: $0 অধিবৃত্ত: $e>1$ পরাবৃত্ত (Parabola): $e=1$ সাধারণ সমীকরণ: $y^2=4ax$ (উপকেন্দ্র $(a,0)$, নিয়মক $x=-a$) শীর্ষবিন্দু: $(0,0)$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $|4a|$ উপবৃত্ত (Ellipse): $0 সাধারণ সমীকরণ: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ উপকেন্দ্র: $(\pm ae, 0)$ (যদি $a>b$) অথবা $(0, \pm be)$ (যদি $b>a$) উৎকেন্দ্রিকতা: $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ (যদি $a>b$) অথবা $e = \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}$ (যদি $b>a$) বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2a$ (যদি $a>b$) অথবা $2b$ (যদি $b>a$) ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2b$ (যদি $a>b$) অথবা $2a$ (যদি $b>a$) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\frac{2b^2}{a}$ (যদি $a>b$) অথবা $\frac{2a^2}{b}$ (যদি $b>a$) অধিবৃত্ত (Hyperbola): $e>1$ সাধারণ সমীকরণ: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ উপকেন্দ্র: $(\pm ae, 0)$ উৎকেন্দ্রিকতা: $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2a$ অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2b$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\frac{2b^2}{a}$ স্পর্শকের শর্ত: $y=mx+c$ সরলরেখা $\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1$ কনিকের স্পর্শক হওয়ার শর্ত $c^2 = a^2m^2\pm b^2$ সপ্তম অধ্যায়: বিপরীত ত্রিকোণমিতি (Inverse Trigonometry) মৌলিক সূত্রাবলি: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ $\sec^{-1} x + \csc^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ $2\tan^{-1} x = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ ডোমেন ও রেঞ্জ: $\sin^{-1} x$: ডোমেন $[-1,1]$, রেঞ্জ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ $\cos^{-1} x$: ডোমেন $[-1,1]$, রেঞ্জ $[0, \pi]$ $\tan^{-1} x$: ডোমেন $(-\infty, \infty)$, রেঞ্জ $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ অষ্টম অধ্যায়: স্থিতিবিদ্যা (Statics) বলের সামান্তরিক সূত্র: $R^2 = P^2+Q^2+2PQ \cos \alpha$ $\tan \theta = \frac{Q \sin \alpha}{P+Q \cos \alpha}$ $\alpha = 0^\circ \implies R_{max} = P+Q$ $\alpha = 180^\circ \implies R_{min} = |P-Q|$ $\alpha = 90^\circ \implies R^2 = P^2+Q^2$ বলের ত্রিভুজ সূত্র: তিনটি বলকে ত্রিভুজের বাহু দ্বারা মানে ও দিকে একই ক্রমে সূচিত করা গেলে বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকে। ল্যামির উপপাদ্য: $\frac{P}{\sin \alpha} = \frac{Q}{\sin \beta} = \frac{R}{\sin \gamma}$ (তিনটি বল সাম্যাবস্থায় থাকলে) লম্বাংশ উপপাদ্য: কতগুলো বলের লব্ধির যেকোনো দিকে উপাংশ, বলগুলো ঐ দিকে উপাংশগুলোর বীজগাণিতিক যোগফলের সমান। সদৃশ সমান্তরাল বল: $R = P+Q$, $P \cdot AC = Q \cdot BC$ (যদি $C$ লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু হয়) বিসদৃশ সমান্তরাল বল: $R = |P-Q|$, $P \cdot AC = Q \cdot BC$ যুগল: $M = F \cdot d$ (বল $\times$ বাহু) নবম অধ্যায়: সমতলে বস্তুকণার গতি (Motion of a Particle in a Plane) মৌলিক সূত্রাবলি (সমত্বরণে): $v = u \pm ft$ $S = ut \pm \frac{1}{2}ft^2$ $v^2 = u^2 \pm 2fS$ $t$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব: $S_t = u \pm \frac{f}{2}(2t-1)$ মহাকর্ষের অধীনে গতি: ($f=g$) উল্লম্ব নিক্ষেপ: $v = u - gt$ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ $v^2 = u^2 - 2gh$ সর্বোচ্চ উচ্চতা: $H = \frac{u^2}{2g}$ উড্ডয়নকাল: $T = \frac{2u}{g}$ প্রক্ষেপক গতি (Projectile Motion): আনুভূমিক পাল্লা: $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$ সর্বোচ্চ উচ্চতা: $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ উড্ডয়নকাল: $T = \frac{2u \sin \alpha}{g}$ লিফটের গতি: উপরের দিকে ত্বরণ $f$: $R = m(g+f)$ নিচের দিকে ত্বরণ $f$: $R = m(g-f)$