CU Math Cheat Note

Cheatsheet Content

ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক ব্যতিক্রমি (Singular) ম্যাট্রিক্স Formula: $|A| = 0 \rightarrow (ad - bc) = 0$ When to use: যখন প্রশ্নে বলে "ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমি হলে $x/a$ এর মান কত?" ⚡ CU Shortcut: কোণাকুণি গুণফলের বিয়োগফল সরাসরি শূন্য ধরুন। $ad = bc$ বিপরীত (Inverse) ম্যাট্রিক্স ($2 \times 2$ ক্ষেত্রে) Formula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ ⚡ CU Shortcut (Step-skipping): প্রধান কর্ণের ভুক্তিদ্বয় জায়গা বদল করবে ($a \leftrightarrow d$), বাকি দুটির চিহ্ন বদলাবে ($b \rightarrow -b, c \rightarrow -c$) এবং নির্ণায়কের মান দিয়ে ভাগ। Final result: $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ নির্ণায়কের মান (Determinant Value) When to use: $3 \times 3$ নির্ণায়কের মান চাইলে। ⚡ CU Shortcut (Pattern Recognition): যদি কোনো নির্ণায়কের দুটি সারি বা কলাম হুবহু মিলে যায় বা গুণিতক হয়, তবে মান 0 । চক্রক্রমিক সারি ($1, a, a^2$) থাকলে মান সরাসরি $(a-b)(b-c)(c-a)$ । যদি ভুক্তিগুলো সমান্তর প্রগমনে থাকে (যেমন: $1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9$), তবে মান সরাসরি 0 । ম্যাট্রিক্সের মাত্রা (Order/Dimension) Formula: $A_{m \times n} \times B_{n \times p} = C_{m \times p}$ ⚡ CU Shortcut: প্রথমটির কলাম = দ্বিতীয়টির সারি হতে হবে। ফলাফল হবে (প্রথমটির সারি $\times$ দ্বিতীয়টির কলাম)। স্কেলার গুণিতক নির্ণায়ক (Property of $|kA|$) Formula: $|kA| = k^n |A|$ ($n$ হলো ম্যাট্রিক্সের ক্রম)। ⚡ CU Shortcut: ধ্রুবকটিকে মাত্রার পাওয়ার দিয়ে গুণ করুন। $3 \times 3$ ম্যাট্রিক্স হলে $7^3 \times |A|$। ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও শর্ত প্রকার (Type) শর্ত (Condition) সমঘাতী (Idempotent) $A^2 = A$ প্রতিসম (Symmetric) $A^T = A$ অভেদক (Identity) $A \cdot I = A$ বিপরীতযোগ্য $\text{det}(A) \neq 0$ দ্রুত নির্ণায়ক সমাধান (Option Elimination) When to use: জিটল বা অজানা রাশি ($a, b, c, \theta$) সংবলিত নির্ণায়ক। Trick: $a=1, b=2, c=3$ ধরে মান বের করে অপশনের সাথে মিলিয়ে দেখা। ম্যাট্রিক্স সমীকরণ সমাধান ($x, y$ মান) Structure: $AX = B \rightarrow X = A^{-1}B$ ⚡ CU Shortcut (Mental Math): অপশন থেকে $x, y$ এর মান মূল সমীকরণে বসিয়ে সিদ্ধ করা (বজ্রগুণন পদ্ধতি এড়িয়ে চলুন)। নির্ণায়ক বিস্তার (Special Cases) ভুক্তি যদি $i$ (Imaginary) হয়: $i^2 = -1$ বসিয়ে বিস্তার করুন। কর্ণ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক: সরাসরি কর্ণ ভুক্তিগুলোর গুণফল। CU Fast-Solving Flowchart প্রশ্নে কি $2 \times 2$ বিপরীত ম্যাট্রিক্স চাইছে? $\rightarrow$ হ্যাঁ $\rightarrow$ কর্ণ বদল ও চিহ্ন পরিবর্তন শর্টকাট। নির্ণায়কের ভুক্তিগুলো কি সমান্তর ধারায় (যেমন: $15, 16, 17$)? $\rightarrow$ হ্যাঁ $\rightarrow$ মান সরাসরি 0 । প্রশ্নে কি $|kA|$ চাইছে? $\rightarrow$ হ্যাঁ $\rightarrow$ $k^{\text{order}} \times |A|$ সূত্র ব্যবহার। ব্যতিক্রমি ম্যাট্রিক্স বলছে? $\rightarrow$ হ্যাঁ $\rightarrow$ $|A|=0$ ধরে দ্রুত কোণাকুণি গুণ। ভেক্টর ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত (Orthogonality) Formula: $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \rightarrow (A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z) = 0$ When to use: যখন প্রশ্নে বলে "ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হলে $a/m/\lambda$ এর মান কত?" ⚡ CU Shortcut: কোণাকুণি গুণের বদলে সরাসরি $i, j, k$ এর সহগগুলো গুণ করে যোগফল শূন্য ধরুন। ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত (Parallelism) Formula: $\vec{A} \times \vec{B} = 0$ অথবা সহগগুলোর অনুপাত সমান। ⚡ CU Shortcut: সহগগুলোর অনুপাত নিন: $\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z}$। ক্রস গুণন (Determinant) পদ্ধতি এড়িয়ে চলুন। ভেক্টরের অিভেক্ষপ (Projection) Formula: $\vec{B}$ এর ওপর $\vec{A}$ এর অিভেক্ষপ $= A \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ ⚡ CU Shortcut: যার ওপর অিভেক্ষপ বলবে, তার মান (Magnitude) দিয়ে ভাগ হবে। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ (Angle between Vectors) Formula: $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ ⚡ CU Shortcut (Mental Math): যদি $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}|$ হয়, তবে কোণ সরাসরি $90^\circ$ । যদি লব্ধির মান যেকোনো একটি ভেক্টরের সমান হয় এবং ভেক্টরদ্বয় সমান হয়, তবে কোণ $120^\circ$ । সমতলীয় হওয়ার শর্ত (Coplanarity) Formula: $[\vec{A} \vec{B} \vec{C}] = 0$ অথবা তিনটি ভেক্টরের সহগ নিয়ে গঠিত নির্ণায়কের মান শূন্য। ⚡ CU Shortcut: নির্ণায়কের প্রথম সারিতে অজ্ঞাত রাশি থাকলে সরাসরি বিস্তার করে দ্রুত সমাধান করুন। একক ভেক্টর (Unit Vector) Formula: $\hat{a} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$ ⚡ CU Shortcut: ভেক্টরটিকে তার মান ($\sqrt{x^2+y^2+z^2}$) দিয়ে ভাগ। ভেক্টর ক্যালকুলাস (Gradient & Divergence) Formula: $\nabla \cdot \vec{r} = \frac{\partial}{\partial x}(r_x) + \frac{\partial}{\partial y}(r_y) + \frac{\partial}{\partial z}(r_z)$ ⚡ CU Shortcut: যদি $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ হয়, তবে $\nabla \cdot \vec{r} = 3$ সবসময়। ভেক্টর বৈশিষ্ট্য সারণী পরিস্থিতি (Condition) গাণিতিক সম্পর্ক (Relation) দ্রুত সমাধানের উপায় (CU Trick) লম্ব (Orthogonal) $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ সহগ গুণফলের সমষ্টি = 0 সমান্তরাল (Parallel) $\vec{A} = k\vec{B}$ সহগগুলোর অনুপাত সমান সমতলীয় (Coplanar) $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$ নির্ণায়কের মান = 0 সর্বোচ্চ লব্ধি (Max Resultant) $R = P+Q$ কোণ $\theta = 0^\circ$ সর্বনিম্ন লব্ধি (Min Resultant) $R = P-Q$ কোণ $\theta = 180^\circ$ CU Fast-Solving Flowchart প্রশ্ন কি $|\vec{P}+\vec{Q}| = |\vec{P}-\vec{Q}|$ বলছে? হ্যাঁ $\rightarrow$ সরাসরি উত্তর $90^\circ$ বা $\pi/2$ দাগান। প্রশ্ন কি দুটি ভেক্টরের গুণফল (Cross) চাচ্ছে? Trick: মনে রাখুন $i \times j = k, j \times k = i, k \times i = j$। ঘড়ির কাটার বিপরীতে চিহ্ন মাইনাস। প্রশ্ন কি অবস্থানের অিভেক্ষপ চাচ্ছে? Action: ডট গুণফলকে দ্বিতীয় ভেক্টরের মান দিয়ে ভাগ দিন। অজ্ঞাত রাশি $m$ বা $\lambda$ বের করতে বলছে? লম্ব হলে: ডট গুণফল শূন্য ধরুন। সমান্তরাল হলে: সহগ অনুপাত সমান ধরুন। সরলরেখা কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্ক (Coordinate Conversion) Formula: $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ এবং $r = \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}(y/x)$ ⚡ CU Shortcut: $\theta$ এর মান $45^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ$ থাকলে সরাসরি মান বসান। যেমন: $(2, 270^\circ)$ হলে $x = 2 \cos 270^\circ = 0$ এবং $y = 2 \sin 270^\circ = -2$। সমবিন্দু হওয়ার শর্ত (Condition for Concurrency) Formula: $ax+by+c=0, bx+cy+a=0, cx+ay+b=0$ সমবিন্দু হলে $a+b+c=0$। ⚡ CU Shortcut: সমীকরণগুলো চক্রক্রমিক ($a, b, c$ পর্যায়ক্রমিক) হলে সরাসরি $a+b+c=0$ বসিয়ে অজ্ঞাত রাশি বের করুন। সমান্তরাল ও লম্ব হওয়ার শর্ত (Parallel & Perpendicular) Parallel: $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$ (সহগ অনুপাত সমান)। Perpendicular: $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ (সহগ গুণফলের যোগফল ০)। 🎯 Sure MCQ model: $2x+3y=7$ এবং $5x-py=2$ লম্ব হলে $p$ কত? সরাসরি $(2 \times 5) + (3 \times -p) = 0 \Rightarrow 10 - 3p = 0 \Rightarrow p = 10/3$। সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance Between Parallel Lines) Formula: $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ ⚡ CU Shortcut (Step-skipping): আগে দুই সমীকরণের $x, y$ সহগ সমান করে নিন। যেমন: $3x-2y=1$ এবং $6x-4y+9=0$। প্রথমটিকে ২ দিয়ে গুণ করলে $6x-4y-2=0$। দূরত্ব $= \frac{|-2-9|}{\sqrt{6^2+4^2}} = \frac{11}{\sqrt{52}}$। সরলরেখার লম্ব দূরত্ব (Perpendicular Distance from Point) Formula: $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ ⚡ CU Shortcut: মূলবিন্দু $(0, 0)$ থেকে দূরত্ব চাইলে সরাসরি $d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$। সমদূরবর্তী সঞ্চারপথ (Equidistant Locus) Pattern: $y$ অক্ষ এবং $(7, 2)$ বিন্দু থেকে $(a, 5)$ বিন্দুর দূরত্ব সমান। ⚡ CU Shortcut: $(x_1, y_1)$ বিন্দু ও $y$ অক্ষ থেকে $(a, k)$ এর দূরত্ব সমান বললে: $a^2 = (a-x_1)^2 + (k-y_1)^2$। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (Area of Triangle) Formula: $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ ⚡ CU Shortcut: একটি বিন্দুকে $(0, 0)$ বানিয়ে বাকিগুলোর স্থানাঙ্ক পরিবর্তন করে কোণাকুণি গুণ করে বিয়োগ (Shoelace method)। সরলরেখা প্যাটার্ন সারণী সমস্যা (Problem Model) ব্যবহৃত সূত্র (Key Formula) দ্রুত সমাধানের উপায় (CU Trick) অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $x$-intercept $= -c/a$, $y$-intercept $= -c/b$ লম্ব রেখার সমীকরণ $bx - ay + k = 0$ সহগ অদলবদল ও চিহ্ন পরিবর্তন করে বিন্দু বসান রেখার ঢাল (Slope) $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ সরাসরি $\tan \theta$ এর সাথে তুলনা সমান্তরাল রেখার ঢাল $m_1 = m_2$ $x$ ও $y$ এর সহগ একই থাকবে CU Fast-Solving Flowchart প্রশ্নে কি পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$ দেওয়া আছে? হ্যাঁ $\rightarrow$ সরাসরি $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ বসান। তিনটি বিন্দু কি সমরেখ (Collinear)? হ্যাঁ $\rightarrow$ বিন্দুগুলো দিয়ে গঠিত ঢাল সমান ধরুন ($m_1 = m_2$) অথবা নির্ণায়ক $= 0$। দুটি রেখার অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ চাচ্ছে? Action: ঢালদ্বয় বের করে $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$ ব্যবহার করুন। অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী অংশ $(x, y)$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে? Trick: সমীকরণ হবে $\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1$। বৃত্ত বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় (Standard Equation) Formula: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ হলে কেন্দ্র $(-g, -f)$ এবং ব্যাসার্ধ $\sqrt{g^2+f^2-c}$ ⚡ CU Shortcut: যদি $x^2$ ও $y^2$ এর সহগ 1 না থাকে, তবে শুরুতেই সহগ দিয়ে পুরো সমীকরণকে ভাগ করে নিন। যেমন: $4x^2 + 4y^2...$ থাকলে 4 দিয়ে ভাগ করুন। অক্ষের খণ্ডিতাংশ ও স্পর্শ করার শর্ত (Intercepts & Touching) Formulas: $X$-অক্ষের খণ্ডিতাংশ $= 2\sqrt{g^2-c}$ $Y$-অক্ষের খণ্ডিতাংশ $= 2\sqrt{f^2-c}$ $X$-অক্ষকে স্পর্শ করলে: $g^2 = c$ $Y$-অক্ষকে স্পর্শ করলে: $f^2 = c$ বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Circle) Formula: $\text{Area} = \pi r^2$ ⚡ CU Shortcut: সমীকরণের ডানপাশে যা থাকে ($r^2$), তার সাথে শুধু $\pi$ বসিয়ে দিন। যেমন: $x^2 + y^2 = 2$ হলে ক্ষেত্রফল সরাসরি $2\pi$ । স্পর্শক হওয়ার শর্ত (Condition of Tangency) Formula: $y = mx + c$ রেখাটি $x^2 + y^2 = a^2$ বৃত্তকে স্পর্শ করলে $c = \pm a\sqrt{1+m^2}$ ⚡ CU Shortcut: কেন্দ্র থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব = ব্যাসার্ধ ($d=r$) ধরে দ্রুত সমাধান করুন। ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দেওয়া থাকলে সমীকরণ (Diameter Form) Formula: $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ ⚡ CU Shortcut: অপশন টেস্ট করুন। প্রান্তবিন্দু দুটি যে সমীকরণকে সিদ্ধ করবে সেটিই উত্তর। বহিঃস্থ বিন্দু থেকে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য (Length of Tangent) Formula: $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ Trick: সমীকরণের বামপাশে বিন্দুটি বসিয়ে তার বর্গমূল নিন। (সহগ 1 নিশ্চিত করুন)। সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ (Common Chord) Formula: $S_1 - S_2 = 0$ ⚡ CU Shortcut: দুটি সমীকরণ একটি থেকে অন্যটি বিয়োগ করলেই সরাসরি জ্যা-এর সমীকরণ পাওয়া যায় ($x^2, y^2$ কাটা যাবে)। বৃত্তের বৈশিষ্ট্য ও শর্ত সারণী পরিস্থিতি (Condition) গাণিতিক শর্ত (Key Rule) দ্রুত সমাধানের উপায় (CU Trick) মূলবিন্দুগামী বৃত্ত $c = 0$ ধ্রুবক পদ থাকবে না $X$-অক্ষকে স্পর্শ করলে $g^2 = c$ কেন্দ্রর $x$-মান $g$ এর বর্গ $c$ এর সমান কেন্দ্র $Y$-অক্ষে থাকলে $g = 0$ $x$ এর কোনো পদ থাকবে না কেন্দ্র $X$-অক্ষে থাকলে $f = 0$ $y$ এর কোনো পদ থাকবে না পোলার সমীকরণ $r = a \cos \theta$ কেন্দ্র $(a/2, 0)$, ব্যাসার্ধ $a/2$ CU Fast-Solving Flowchart সহগ কি $x^2 + y^2 = 1$? না $\rightarrow$ সহগ দিয়ে ভাগ করে 1 বানান। ক্ষেত্রফল চেয়েছে? হ্যাঁ $\rightarrow$ ব্যাসার্ধের বর্গ ($r^2$) নির্ণয় করে $\pi$ গুণ করুন। স্পর্শক সংক্রান্ত সমস্যা? Action: কেন্দ্র থেকে রেখার লম্ব দূরত্ব = ব্যাসার্ধ ($d=r$) সূত্রটি প্রয়োগ করুন। বিন্দু থেকে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য চেয়েছে? Trick: বিন্দুটি মূল সমীকরণে বসিয়ে ঝটপট রুট ($\sqrt{\dots}$) করুন। বিন্যাস ও সমাবেশ 100% CU Repeated: সম্পূরক সমাবেশ (Complementary Combination) Formula: $nC_x = nC_y \Rightarrow n = x + y$ When to use: যখন $nC_{10} = nC_{12}$ বা $18C_r = 18C_{r+2}$ আকারের সমীকরণ থাকে। ⚡ CU Shortcut: নিচের সংখ্যা দুটির যোগফলই হবে উপরের $n$ এর মান। সরাসরি $n = x + y$ বসিয়ে দিন। Sure MCQ Model: শব্দ বিন্যাস (Repeated Letters) Formula: $\text{Permutation} = \frac{n!}{p! q! r!}$ When to use: 'SCIENCE', 'EXAMINATION', 'ASSASSINATION' বা 'CHATTAGRAM' শব্দের বিন্যাস চাইলে। ⚡ CU Shortcut: মোট বর্ণ সংখ্যা! / (একই বর্ণের পুনরাবৃত্তি সংখ্যা!)। 'SCIENCE' এর ক্ষেত্রে $\frac{7!}{2!(C) \cdot 2!(E)} = 1260$। 100% CU Repeated: সমাবেশের যোগসূত্র (Pascal's Identity) Formula: $nC_r + nC_{r-1} = n+1C_r$ When to use: যখন $139C_{92} + 139C_{93} + 140C_{94}$ জাতীয় বড় ধারা থাকে। ⚡ CU Shortcut (Step-skipping): একই $n$ এবং ক্রমিক $r$ থাকলে, ফলাফল হবে $(n+1)$ এবং বড় $r$ টি। Sure MCQ Model: জ্যামিতিক সংখ্যা (Polygon & Triangles) Diagonals (কর্ণ): $nC_2 - n$ Triangles (ত্রিভুজ): $nC_3$ ⚡ CU Shortcut: কর্ণের জন্য $\frac{n(n-3)}{2}$ সরাসরি ব্যবহার করুন। ১২ বাহুর জন্য $\frac{12 \times 9}{2} = 54$। ⚡ CU Shortcut: $nP_r$ ও $nC_r$ এর সম্পর্ক Formula: $r! = \frac{nP_r}{nC_r}$ Trick: সরাসরি ভাগ দিন। $r! = \frac{336}{56} = 6 \Rightarrow r! = 3! \Rightarrow r = 3$। এরপর অপশন থেকে $n$ এর মান বসিয়ে সিদ্ধ করুন। Sure MCQ Model: অংক বিন্যাস (Number Formation) Pattern: ০, ১, ২, ৩ অংকগুলো একবার ব্যবহার করে ১০০০ থেকে বড় সংখ্যা গঠন। ⚡ CU Shortcut (Mental Math): ৪ অংকের সংখ্যা হতে হবে এবং প্রথম ঘরে '০' বসতে পারবে না। অর্থাৎ $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$ টি সংখ্যা। ⚡ CU Shortcut: অপশন এলিমিনেশন (Equation Solving) Formula: $nP_4 = 14 \cdot n-2P_3$ Trick: সমীকরণ সমাধান না করে অপশন থেকে $n=7$ বা $n=8$ বসিয়ে দ্রুত মিলিয়ে দেখুন। বিন্যাস-সমাবেশ প্যাটার্ন সারণী সমস্যা (Model) শর্টকাট সূত্র (Trick) উদাহরণ (CU Past Questions) পাশাপাশি না রাখার বিন্যাস মোট বিন্যাস - পাশাপাশি রাখার বিন্যাস 'Arrange' শব্দের 'r' দুটি পাশাপাশি না রেখে উপহার বা করমর্দন উপহার: $n(n-1)$, করমর্দন: $\frac{n(n-1)}{2}$ ১০ জন ছাত্রের গোলাপ ফুল বিনিময় অসীম গুণোত্তর ধারা $S = \frac{a}{1-r}$ $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots$ এর যোগফল CU Fast-Solving Flowchart প্রশ্নে কি $nC_x = nC_y$ দেওয়া আছে? হ্যাঁ $\rightarrow$ সরাসরি $n = x + y$ সূত্র প্রয়োগ করুন। শব্দ বিন্যাসের প্রশ্নে কি বর্ণ একই (Repeat) আছে? হ্যাঁ $\rightarrow$ মোট বর্ণ! / প্রতিটি রিপিট বর্ণ! দিয়ে ভাগ করুন। সমীকরণে কি $n$ এর মান চেয়েছে? অ্যাকশন: ক্যালকুলেশন না করে সরাসরি অপশন টেস্ট (Option test) করুন। জ্যামিতিক কর্ণের সংখ্যা চেয়েছে? ট্রিক: $nC_2 - n$ অথবা $\frac{n(n-3)}{2}$ ব্যবহার করুন। ত্রিকোণমিতিক অনুপাত 100% CU Repeated: নির্দিষ্ট কোণের মান (15°, 75°, 10π/3) Formula: $\sin(A \pm B), \cos(A \pm B)$ ⚡ CU Shortcut: $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ $\cos 75^\circ = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ $\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$ Sure MCQ Model: কোণের সমষ্টি 45° বা 225° হলে tan এর মান Formula: $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ ⚡ CU Shortcut: যদি $A + B = 45^\circ$ বা $225^\circ$ হয়, তবে $\tan A + \tan B + \tan A \tan B = 1$ সবসময়। Final result: 1 । 100% CU Repeated: কোসাইন গুণোত্তর ধারা (Cosine Product Series) Formula: $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta$ ⚡ CU Shortcut: $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$। এর সাথে $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ গুণ করলে সরাসরি $\frac{1}{16}$। Sure MCQ Model: ত্রিভুজের কোণ ও বাহুর সম্পর্ক (Sine Rule) Formula: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$। ⚡ CU Shortcut: সরাসরি বাহু ও কোণের সাইন অনুপাত বসান। $a = \frac{c \sin A}{\sin C}$। এখানে $C = 180^\circ - (60^\circ + 75^\circ) = 45^\circ$। ⚡ CU Shortcut: অনুপাত থেকে রাশির মান নির্ণয় When to use: $\tan \theta = 3/4$ হলে $\frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta}$ এর মান চাইলে। Trick (Divide by Cosθ): লব ও হরকে $\cos \theta$ দিয়ে ভাগ করলে রাশিটি দাঁড়ায় $\frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta + 1}$। এরপর সরাসরি $\tan \theta$ এর মান বসান। 100% CU Repeated: বর্গমূলীয় রাশির সরলীকরণ Structure: $\sqrt{\frac{1 - \sin A}{1 + \sin A}}$ বা $\sqrt{\frac{1 + \cos A}{1 - \cos A}}$। ⚡ CU Shortcut (Step-skipping): $\sqrt{\frac{1 - \sin A}{1 + \sin A}} = \sec A - \tan A$ $\sqrt{\frac{1 + \cos A}{1 - \cos A}} = \cot(A/2)$ $\frac{\sin A}{1 + \cos A} = \tan(A/2)$ Sure MCQ Model: ফাংশনের পর্যায়কাল (Period) Formula: $\sin ax, \cos ax$ এর পর্যায় $2\pi/a$ এবং $\tan ax$ এর পর্যায় $\pi/a$। ⚡ CU Shortcut: $\tan 2x$ এর ক্ষেত্রে $\pi/2$। একাধিক ফাংশন যোগ থাকলে তাদের পর্যায়ের লসাগু (LCM) নিন। ⚡ CU Shortcut: কিণিক ও ত্রিকোণমিতিক সম্পর্ক Structure: $x = a \cos \theta + b \sin \theta$ এবং $y = a \sin \theta - b \cos \theta$। Trick (Square & Add): $x^2 + y^2 = (a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2 = a^2 + b^2$। Final result: এটি একটি বৃত্ত (Circle) যার ব্যাসার্ধ $\sqrt{a^2+b^2}$। CU Fast-Solving Flowchart প্রশ্নে কি $\tan A + \tan B + \tan A \tan B$ টাইপ রাশি আছে? হ্যাঁ $\rightarrow$ চেক করুন $A+B=45^\circ$ কি না। হলে উত্তর সরাসরি 1 । $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ দেখতে পাচ্ছেন? হ্যাঁ $\rightarrow$ সরাসরি 1/8 বসিয়ে বাকি অংশের সাথে গুণ করুন। $\tan \theta$ দেওয়া আছে কিন্তু $\sin \theta, \cos \theta$ সংবলিত ভগ্নাংশের মান চাইছে? Action: লব ও হরকে $\cos \theta$ দিয়ে ভাগ করে পুরো রাশিকে $\tan \theta$ তে রূপান্তর করুন। $1 - \tan^2(45^\circ-A) / 1 + \tan^2(45^\circ-A)$ এর মান চাইছে? Trick: এটি সরাসরি $\sin 2A$ এর সূত্র। সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত 100% CU Repeated: আদর্শ কোণের মান (15°, 75°, 10π/3) Formula: $\sin(A \pm B), \cos(A \pm B)$ ⚡ CU Shortcut (মুখস্থ মান): $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ $\cos 75^\circ = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ $\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$ Sure MCQ Model: কোণের সমষ্টি (A+B) = 45° বা 225° হলে Formula: $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ ⚡ CU Shortcut: যদি $A+B = 45^\circ$ বা $225^\circ$ হয়, তবে রাশিটির মান সবসময় 1 । 100% CU Repeated: কোসাইন গুণোত্তর ধারা (Cosine Product Series) Formula: $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta$ ⚡ CU Shortcut: $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$ সবসময়। এর সাথে $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ গুণ করলে সরাসরি $\frac{1}{16}$। ⚡ CU Shortcut: বর্গমূলীয় রাশির সরলীকরণ When to use: $\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}}$ বা $\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}$ থাকলে। Trick (Step-skipping): $\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}} = \sec A - \tan A$ $\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}} = \cot(A/2)$ Sure MCQ Model: ফাংশনের পর্যায়কাল (Period) Formula: $\tan ax \rightarrow \pi/a$, $\sin ax \rightarrow 2\pi/a$ ⚡ CU Shortcut (Mental Math): $\tan 2x \Rightarrow \pi/2$ একাধিক ফাংশন থাকলে তাদের পর্যায়ের লসাগু (LCM) নিন। 100% CU Repeated: ত্রিভুজের সাইন সূত্র (Sine Rule) Formula: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ ⚡ CU Shortcut: তৃতীয় কোণ $C = 180^\circ - (A+B)$ বের করে সরাসরি $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ এ মান বসান। ⚡ CU Shortcut: অনুপাত ও রাশির মান Structure: $\tan \theta + \sec \theta = x$ Trick: $\sin \theta = \frac{x^2-1}{x^2+1}$ Another Pattern: $\tan \theta = 3/4$ হলে $\frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta}$ এর মান বের করতে লব ও হরকে $\cos \theta$ দিয়ে ভাগ দিন। প্যাটার্ন রিকগনিশন টেবিল সমস্যা (Pattern) ব্যবহৃত সূত্র/শর্টকাট (Shortcut) ফলাফল (Final Result) $\sin \theta \cos \theta$ $\frac{1}{2} \sin 2\theta$ $1/4 \rightarrow \theta = \pi/12$ $\cot A - \tan A$ $2 \cot 2A$ $2 \cot 2A$ $\frac{\sin A}{1+\cos A}$ $\tan(A/2)$ $\tan(A/2)$ $x = a \cos \theta, y = b \sin \theta$ $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ বৃত্ত/উপবৃত্ত CU Fast-Solving Flowchart প্রশ্নে কি $\tan A + \tan B + \tan A \tan B$ আছে? হ্যাঁ $\rightarrow$ চেক করুন $A+B = 45^\circ$ কি না। হলে উত্তর সরাসরি 1 । প্রশ্নে কি $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ আছে? হ্যাঁ $\rightarrow$ সরাসরি 1/8 বসান। $\tan \theta$ এর মান দিয়ে $\sin$ ও $\cos$ এর ভগ্নাংশ চেয়েছে? Action: লব ও হরকে $\cos \theta$ দিয়ে ভাগ করে $\tan \theta$ তে রূপান্তর করুন। $1 - \tan^2(45^\circ-A) / 1 + \tan^2(45^\circ-A)$ এর মান চেয়েছে? Trick: এটি সরাসরি $\sin 2A$ এর সূত্র। ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র 100% CU Repeated: ভগ্নাংশ ফাংশনের বিপরীত ফাংশন (Inverse Function of Fractions) Formula: $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$ ⚡ CU Shortcut (Step-skipping): প্রধান কর্ণের সহগদ্বয় ($a$ এবং $d$) জায়গা বদল করবে এবং তাদের চিহ্নও বিপরীত হবে। বাকি পদগুলো অপরিবর্তিত থাকবে। Sure MCQ Model: রুটের ভেতরে দ্বিঘাত ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ (Square Root Domain/Range) Formula: $f(x) = \sqrt{a^2 - x^2} \Rightarrow \text{Domain: } [-a, a], \text{ Range: } [0, a]$ ⚡ CU Shortcut: রুটের ভেতরে $x^2$ এর চিহ্ন $(-)$ হলে ডোমেন সবসময় $(- \text{root})$ থেকে $(+ \text{root})$। রেঞ্জ শুরু হবে $0$ থেকে। 100% CU Repeated: লগারিদম সমীকরণ সমাধান (Logarithmic Equations) Formula: $\log_a x = n \Rightarrow a^n = x$ ⚡ CU Shortcut (Option Elimination): অপশন থেকে মান নিয়ে মূল সমীকরণে বসিয়ে সিদ্ধ করুন। যেমন: $\log_x 1728 = 6$ এর ক্ষেত্রে $x=2\sqrt{3}$ বসালে $(2\sqrt{3})^6 = 12^3 = 1728$ পাওয়া যায়। Sure MCQ Model: পরম মান ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ (Absolute Value Function) Structure: $y = \frac{|x|}{x}$ ⚡ CU Shortcut: এর ডোমেন সবসময় $R - \{0\}$ কারণ নিচে $0$ হতে পারে না। এর রেঞ্জ সবসময় $\{-1, 1\}$। ⚡ CU Shortcut: সংযোজিত ফাংশন মান নির্ণয় (Composite Function Value) Formula: $f(g(x)) \Rightarrow$ প্রথমে $g(x)$ এর মান বের করে তা $f(x)$ এ বসানো। Trick (Mental Math): নির্দিষ্ট বিন্দুর জন্য চাইলে ($f(g(2))$), সরাসরি মান বসান। $g(2)=9$, এখন $f(9)=9^2+1=82$। 100% CU Repeated: শর্তসাপেক্ষ (Piecewise) ফাংশনের মান Structure: $f(x) = \{ 3x-1, x>3; x^2-2, -2 \le x \le 3 \}$ ⚡ CU Shortcut: প্রদত্ত $x$ এর মান কোন সীমার মধ্যে পড়ে তা দেখুন, শুধুমাত্র সেই সমীকরণটি সমাধান করুন। $f(6)$ চাইলে $x>3$ শর্ত খাটে, তাই $3(6)-1 = 17$। ফাংশন প্যাটার্ন রিকগনিশন টেবিল ফাংশন টাইপ (Model) ডোমেন (Domain) রেঞ্জ (Range) $\frac{1}{\sqrt{a-x}}$ $(-\infty, a)$ $(0, \infty)$ $\sqrt{x-a}$ $[a, \infty)$ $[0, \infty)$ $\ln(x-a)$ $(a, \infty)$ $R$ $x^2 + a$ $R$ $[a, \infty)$ CU Fast-Solving Flowchart: বিপরীত ফাংশন (Inverse Function) ফাংশনটি কি $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ আকারের? হ্যাঁ $\rightarrow$ হর-লব এর সহগ $a$ এবং $d$ এর স্থান ও চিহ্ন পরিবর্তন করুন। $f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$ না $\rightarrow$ $y = f(x)$ ধরে $x$ এর মান $y$ এর মাধ্যমে বের করুন। অপশনে কি বিপরীত ফাংশনের মান দেওয়া আছে? হ্যাঁ $\rightarrow$ $f^{-1}(k) = a$ হলে, চেক করুন $f(a) = k$ হয় কি না। (Inverse check) দ্রুত সমাধানের জন্য বিশেষ টিপস: বর্গমূলীয় হর: $1/\sqrt{f(x)}$ থাকলে $f(x) > 0$ ধরতে হবে। ডোমেন/রেঞ্জ অপশন টেস্ট: যদি ডোমেন বের করা কঠিন হয়, অপশন থেকে মান নিয়ে ফাংশনে বসান। ফাংশন অসংজ্ঞায়িত (যেমন: রুটের ভেতর নেগেটিভ বা নিচে ০) হলে ওই অপশন ভুল। যোগজীকরণ (Integration) 100% CU Repeated: $e^x [f(x) + f'(x)]$ মডেল Formula: $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ ⚡ CU Shortcut: সরাসরি $e^x \times (\text{main function})$ উত্তর হিসেবে দাগান। 100% CU Repeated: $\sin^n x \cos x$ লিমিট সংক্রান্ত Formula: $\int_0^{\pi/2} \sin^n x \cos x dx = \frac{1}{n+1}$ ⚡ CU Shortcut: সাইনের ঘাত (Power) যা থাকবে, তার সাথে $1$ যোগ করে ভাগ করে দিন। $n=5$ হলে উত্তর $1/6$। Sure MCQ Model: $\frac{f'(x)}{f(x)}$ প্যাটার্ন Formula: $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + c$ ⚡ CU Shortcut: সরাসরি $\ln | \text{denominator} |$ উত্তর। যেমন: $\int \frac{2x}{1+x^2} dx = \ln(1+x^2)$। 100% CU Repeated: নির্দিষ্ট সীমার আদর্শ মান Formula: $\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$ ⚡ CU Shortcut: কোনো সমাধান ছাড়াই সরাসরি $\pi/4$ দাগান। Another Repeated: $\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+\tan x} = \pi/4$। Sure MCQ Model: আংশিক ভগ্নাংশ ও $\tan^{-1}$ সূত্র Formula: $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ ⚡ CU Shortcut: হরে $x^2 + 9$ থাকলে $a=3$ ধরে $\frac{1}{3} \tan^{-1}(x/3)$। ⚡ CU Shortcut: ক্ষেত্রফল নির্ণয় (Parabola & Line) Pattern: $y^2 = 16x$ এবং $y=x$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। ⚡ CU Trick: $y^2 = 4ax$ ও $y = mx$ হলে ক্ষেত্রফল $= \frac{8a^2}{3m^3}$। Sure MCQ Model: $\sin^2 kx$ এর যোগজ Formula: $\int \sin^2 4x dx$ ⚡ CU Shortcut: $\frac{1}{16}(8x - \sin 8x)$। (সহগ দ্বিগুণ হবে হরে)। 100% CU Repeated: $\ln x$ এর যোগজ Formula: $\int \ln x dx$ ⚡ CU Shortcut: সরাসরি মুখস্থ মান বসান। Final result: $x \ln x - x + c$। প্যাটার্ন রিকগনিশন টেবিল সমস্যা (Pattern) ব্যবহৃত সূত্র (Formula) CU দ্রুত সমাধান (Shortcut) $\int \sqrt{e^x} dx$ $\int e^{x/2} dx$ $2\sqrt{e^x} + c$ $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$ $\sin^{-1}(x/a)$ $a$ চিহ্নিত করে সরাসরি $\sin^{-1}$ $\int e^{x+e^x} dx$ Substitution $e^{e^x} + c$ $\int \sec^2 \theta d\theta$ $\tan \theta$ সরাসরি ত্রিকোণমিতিক মান CU Fast-Solving Flowchart লিমিট কি $0$ থেকে $\pi/2$ এবং ফাংশনটি $\sin^n x \cos x$? হ্যাঁ $\rightarrow$ Power এর সাথে $1$ যোগ করে $1/(n+1)$ বসান। প্রশ্নে কি $e^x$ এর সাথে অন্য ফাংশন গুণ আছে? হ্যাঁ $\rightarrow$ চেক করুন এটি $f(x) + f'(x)$ কি না। হলে উত্তর $e^x f(x)$। হর কি রুট মুক্ত এবং $x^2 + a^2$ আকারে? হ্যাঁ $\rightarrow$ উত্তর হবে $\tan^{-1}$ সংক্রান্ত। $y^2 = 4ax$ ও $y = mx$ এর ক্ষেত্রফল চেয়েছে? অ্যাকশন: সরাসরি $\frac{8a^2}{3m^3}$ সূত্রে মান বসান। অন্তরীকরণ (Differentiation) 100% CU Repeated: লিমিটের ত্রিকোণমিতিক শর্টকাট Formula: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$ এবং $\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}$ ⚡ CU Shortcut: সরাসরি সহগদ্বয়ের অনুপাত উত্তর হিসেবে লিখুন। Example: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x} = \frac{2}{5}$। 100% CU Repeated: $\cos$ সংবলিত লিমিট Formula: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ax}{x^2} = \frac{a^2}{2}$ ⚡ CU Shortcut: কোণের সহগের বর্গকে ২ দিয়ে ভাগ করুন। Pattern 2: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos ax - \cos bx}{x^2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$। Sure MCQ Model: অসীম ধারা সংবলিত অন্তরজ (Infinite Series) Pattern: $y = \sqrt{f(x) + \sqrt{f(x) + \sqrt{f(x) \dots \infty}}}$ ⚡ CU Shortcut: $y' = \frac{f'(x)}{2y - 1}$। Example: $y = \sqrt{e^x + \sqrt{e^x + \dots}} \implies y' = \frac{e^x}{2y-1}$। 100% CU Repeated: পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ ($n$-তম অন্তরজ) Model 1 ($y = x^n$): $y_n = n!$ এবং $y_{n+1} = 0$। Model 2 ($y = e^{ax}$): $y_n = a^n e^{ax}$। Model 3 ($y = \frac{1}{x+a}$): $y_n = \frac{(-1)^n n!}{(x+a)^{n+1}}$। Sure MCQ Model: স্পর্শকের ঢাল ও সমীকরণ (Tangent Slope) Formula: ঢাল $m = \frac{dy}{dx}$ ⚡ CU Shortcut: যদি $y^2 = f(x)$ বা $x^2 = f(y)$ থাকে, দ্রুত অন্তরীকরণ করে বিন্দুটি বসান। Condition: ঢাল শূন্র হলে স্পর্শকটি x-অক্ষের সমান্তরাল। ⚡ CU Shortcut: বিশেষ ফাংশনের অন্তরজ (Quick Results) $\frac{d}{dx}(\ln \sin x) = \cot x$ $\frac{d}{dx}(\ln \cos x) = -\tan x$ $\frac{d}{dx}(\ln \ln x) = \frac{1}{x \ln x}$ $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$ $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$ Sure MCQ Model: গুরুমান ও লঘুমান (Max & Min Value) Condition: $f'(x) = 0$ ⚡ CU Shortcut: সরাসরি $x = -b/2a$ বিন্দুটি বের করে মূল ফাংশনে বসান। Example: $y = 2x^2 + 4x + 17$ এর সর্বনিম্ন মান ১৫। অন্তরীকরণ প্যাটার্ন রিকগনিশন টেবিল সমস্যা (Pattern) ব্যবহৃত শর্টকাট (Shortcut) উদাহরণ (CU Questions) লিমিট ($\sin, \tan$) সহগের অনুপাত ($a/b$) $\frac{\sin 4x}{7x} \to 4/7$ অসীম রুট ধারা $y' = \frac{f'(x)}{2y-1}$ $\sqrt{e^x + \dots} \to \frac{e^x}{2y-1}$ $n$-তম অন্তরজ $y = 1/(x+a) \to \frac{(-1)^n n!}{(x+a)^{n+1}}$ $y=1/x$ এর $n$-তম অন্তরজ লঘিষ্ঠ/গরিষ্ঠ মান $x = -b/2a$ মেথড $2x^2+4x+17 \to$ ১৫ CU Fast-Solving Flowchart প্রশ্ন কি $\lim_{x \to 0}$ বা $\lim_{x \to \infty}$ এর? Action: যদি $\infty/\infty$ বা $0/0$ হয়, তবে L'Hospital rule প্রয়োগ করুন (দ্রুত ডিফারেন্সিয়েশন)। Trick: $\frac{\sqrt{a+x} - \sqrt{a-x}}{x} \to \frac{1}{\sqrt{a}}$ দাগান। $y = \sin^{-1} (\dots)$ বা $\tan^{-1} (\dots)$ এর অন্তরজ? Action: ভেতরের অংশ ত্রিকোণমিতিক সূত্রে ছোট করা যায় কি না দেখুন। Trick: $\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} = \tan^{-1} (\tan \frac{x}{2}) = \frac{x}{2} \to$ উত্তর $1/2$। বক্ররেখার ঢাল নির্ণয়? Action: সরাসরি ডিফারেন্সিয়েশন করে বিন্দুটি বসান। যদি ঢাল $0$ হয়, তবে $x = \text{constant}$ হবে।