সরলরেখা: JEE মেইনস ও অ্যাডভান্স

Cheatsheet Content

1. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry) দুটি বিন্দুর দূরত্ব: $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ $\Rightarrow AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ বিভাগ সূত্র: $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ কে $m:n$ অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দু $(x,y)$: অভ্যন্তরীণভাবে: $\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$ বাহ্যিকভাবে: $\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)$ মধ্যবিন্দু: $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ যদি $A,B,C$ সমরেখ হয়, তবে ক্ষেত্রফল $0$ হবে। ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (Centroid): $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ ত্রিভুজের অন্তর্কেন্দ্র (Incenter): $\left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right)$, যেখানে $a,b,c$ হলো বাহুর দৈর্ঘ্য। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র (Circumcenter): ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু। ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র (Orthocenter): ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বগুলির ছেদবিন্দু। 2. সরলরেখার সমীকরণ (Equation of a Straight Line) ঢাল-ছেদক আকার (Slope-intercept form): $y = mx + c$ $m = \tan\theta$ (ঢাল), $c$ = Y-অক্ষের ছেদিতাংশ। একবিন্দু-ঢাল আকার (Point-slope form): $y - y_1 = m(x - x_1)$ দুই-বিন্দু আকার (Two-point form): $y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x - x_1)$ ছেদিতাংশ আকার (Intercept form): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $a$ = X-অক্ষের ছেদিতাংশ, $b$ = Y-অক্ষের ছেদিতাংশ। অভিলম্ব আকার (Normal form): $x\cos\alpha + y\sin\alpha = p$ $p$ = মূলবিন্দু থেকে রেখার উপর লম্বের দৈর্ঘ্য, $\alpha$ = X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে লম্বের কোণ। সাধারণ আকার (General form): $Ax + By + C = 0$ ঢাল $m = -A/B$ X-অক্ষের ছেদিতাংশ $-C/A$ Y-অক্ষের ছেদিতাংশ $-C/B$ প্যারামেট্রিক আকার (Parametric form): $\frac{x-x_1}{\cos\theta} = \frac{y-y_1}{\sin\theta} = r$ 3. দুটি সরলরেখার সাপেক্ষ অবস্থান সমান্তরাল রেখা: $m_1 = m_2$ অথবা $A_1/A_2 = B_1/B_2 \ne C_1/C_2$ লম্ব রেখা: $m_1 m_2 = -1$ অথবা $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ দুটি রেখার মধ্যবর্তী কোণ: $\tan\theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$ দুটি রেখার ছেদবিন্দু: $A_1x+B_1y+C_1=0$ এবং $A_2x+B_2y+C_2=0$ সমাধান করে। দুটি রেখা সমাপতিত (Coincident) হলে: $A_1/A_2 = B_1/B_2 = C_1/C_2$ 4. বিন্দু ও রেখার সম্পর্ক একটি বিন্দু $(x_1, y_1)$ থেকে একটি রেখা $Ax+By+C=0$ এর লম্ব দূরত্ব: $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ দুটি সমান্তরাল রেখা $Ax+By+C_1=0$ এবং $Ax+By+C_2=0$ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব: $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ একটি রেখার সাপেক্ষে একটি বিন্দুর প্রতিবিম্ব (Image): বিন্দু $(x_1, y_1)$ এবং রেখা $Ax+By+C=0$ প্রতিবিম্ব $(x_2, y_2)$ হলে: $\frac{x_2-x_1}{A} = \frac{y_2-y_1}{B} = -2\frac{Ax_1+By_1+C}{A^2+B^2}$ একটি রেখার সাপেক্ষে একটি বিন্দুর পদবিন্দু (Foot of perpendicular): বিন্দু $(x_1, y_1)$ এবং রেখা $Ax+By+C=0$ পদবিন্দু $(x_2, y_2)$ হলে: $\frac{x_2-x_1}{A} = \frac{y_2-y_1}{B} = -\frac{Ax_1+By_1+C}{A^2+B^2}$ 5. রেখাগুলির পরিবার (Family of Lines) দুটি রেখা $L_1=0$ এবং $L_2=0$ এর ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী রেখার সমীকরণ: $L_1 + \lambda L_2 = 0$ (যেখানে $\lambda$ একটি ধ্রুবক) 6. কোণ সমদ্বিখণ্ডক (Angle Bisectors) দুটি রেখা $A_1x+B_1y+C_1=0$ এবং $A_2x+B_2y+C_2=0$ এর কোণ সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ: $\frac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}} = \pm \frac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$ মূলবিন্দু ধারণকারী কোণ (Bisector of the angle containing the origin): $C_1$ এবং $C_2$ কে ধনাত্মক করে, ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করুন। স্থুলকোণ/সূক্ষ্মকোণ সমদ্বিখণ্ডক: $A_1A_2+B_1B_2 > 0$ হলে, ধনাত্মক চিহ্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডক দেয়। $A_1A_2+B_1B_2 7. ত্রিভুজের কেন্দ্রসমূহ (Centres of a Triangle) ভরকেন্দ্র (Centroid): মধ্যমাগুলির ছেদবিন্দু। $G$ দ্বারা চিহ্নিত। $G$ মধ্যমাকে $2:1$ অনুপাতে বিভক্ত করে। অন্তর্কেন্দ্র (Incenter): কোণ সমদ্বিখণ্ডকগুলির ছেদবিন্দু। $I$ দ্বারা চিহ্নিত। এটি ত্রিভুজের মধ্যে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্র। পরিকেন্দ্র (Circumcenter): বাহুগুলির লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু। $O$ দ্বারা চিহ্নিত। এটি ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র। লম্বকেন্দ্র (Orthocenter): শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বগুলির ছেদবিন্দু। $H$ দ্বারা চিহ্নিত। ইউলার রেখা (Euler Line): একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র এবং লম্বকেন্দ্র সর্বদা সমরেখ হয় এবং এই রেখাকে ইউলার রেখা বলে। $G$ রেখা $OH$ কে $1:2$ অনুপাতে বিভক্ত করে।