Law of Sines and Cosines

Cheatsheet Content

Law of Sines Ang Law of Sines ay ginagamit upang hanapin ang nawawalang gilid o anggulo sa anumang tatsulok (hindi lang right triangle) kung alam mo ang isang gilid at ang tapat nitong anggulo, at isa pang gilid o anggulo. $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$ $a, b, c$ ay ang haba ng mga gilid. $A, B, C$ ay ang mga tapat na anggulo. Kailan Gagamitin ang Law of Sines: AAS (Angle-Angle-Side): Dalawang anggulo at isang di-kasamang gilid. ASA (Angle-Side-Angle): Dalawang anggulo at ang gilid na nasa pagitan ng mga ito. SSA (Side-Side-Angle): Dalawang gilid at isang di-kasamang anggulo (maaaring may "ambiguous case"). Ambiguous Case (SSA) Kapag binibigyan ng SSA, maaaring mayroong: Walang tatsulok Isang tatsulok Dalawang tatsulok Ito ay nangyayari kapag ang ibinigay na anggulo ay acute. Kung ang ibinigay na anggulo ay obtuse o right, mayroon lamang isang posibleng tatsulok (o wala). Law of Cosines Ang Law of Cosines ay ginagamit upang hanapin ang nawawalang gilid o anggulo sa anumang tatsulok kung alam mo ang lahat ng tatlong gilid, o dalawang gilid at ang anggulo sa pagitan nila. $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$ $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$ $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B $$ Maaari ding i-rearrange upang hanapin ang anggulo: $$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$ $$ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} $$ $$ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} $$ Kailan Gagamitin ang Law of Cosines: SAS (Side-Angle-Side): Dalawang gilid at ang anggulo sa pagitan nila. SSS (Side-Side-Side): Lahat ng tatlong gilid. Mga Hakbang sa Paglutas ng Tatsulok Tukuyin ang Ibinigay: Aling mga gilid at anggulo ang alam mo? Piliin ang Tamang Batas: AAS, ASA, SSA $\implies$ Law of Sines SAS, SSS $\implies$ Law of Cosines Lutasin: Gamitin ang napiling pormula upang hanapin ang nawawalang halaga. Suriin: Tiyakin na ang kabuuan ng mga anggulo ay $180^\circ$. Halimbawa ng Problema Paggamit ng Law of Sines (ASA) Ibinigay: $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 70^\circ$, $c = 10$. Hanapin ang $a, b, \angle C$. Hanapin ang $\angle C$: $\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 70^\circ = 80^\circ$. Gamitin ang Law of Sines para sa $a$: $$ \frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{\sin 80^\circ} $$ $$ a = \frac{10 \sin 30^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{10 \times 0.5}{0.9848} \approx 5.077 $$ Gamitin ang Law of Sines para sa $b$: $$ \frac{b}{\sin 70^\circ} = \frac{10}{\sin 80^\circ} $$ $$ b = \frac{10 \sin 70^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{10 \times 0.9397}{0.9848} \approx 9.542 $$ Paggamit ng Law of Cosines (SAS) Ibinigay: $a = 5$, $b = 7$, $\angle C = 60^\circ$. Hanapin ang $c, \angle A, \angle B$. Hanapin ang $c$ gamit ang Law of Cosines: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$ $$ c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7) \cos 60^\circ $$ $$ c^2 = 25 + 49 - 70(0.5) $$ $$ c^2 = 74 - 35 = 39 $$ $$ c = \sqrt{39} \approx 6.245 $$ Hanapin ang $\angle A$ gamit ang Law of Cosines (o Law of Sines ngayon na alam na ang $c$): $$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$ $$ \cos A = \frac{7^2 + (\sqrt{39})^2 - 5^2}{2(7)(\sqrt{39})} = \frac{49 + 39 - 25}{14\sqrt{39}} = \frac{63}{14\sqrt{39}} \approx 0.7208 $$ $$ \angle A = \arccos(0.7208) \approx 43.89^\circ $$ Hanapin ang $\angle B$: $\angle B = 180^\circ - 60^\circ - 43.89^\circ = 76.11^\circ$.