Hibbeler Mechanics Cheatsheet

Cheatsheet Content

### พื้นฐานวงกลม - **วงกลม:** เซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางเท่ากัน - **รัศมี (r):** ระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดใดๆ บนวงกลม - **เส้นผ่านศูนย์กลาง (d):** ระยะทางข้ามวงกลมผ่านจุดศูนย์กลาง ($d=2r$) - **คอร์ด:** ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดบนวงกลม - **ส่วนโค้ง:** ส่วนหนึ่งของเส้นรอบวงของวงกลม - **เซกเตอร์:** บริเวณที่ล้อมรอบด้วยรัศมีสองเส้นและส่วนโค้ง - **เซกเมนต์:** บริเวณที่ล้อมรอบด้วยคอร์ดและส่วนโค้ง - **เส้นสัมผัส:** เส้นที่สัมผัสวงกลมเพียงจุดเดียว - **เส้นตัด:** เส้นที่ตัดวงกลมสองจุด - **มุมที่จุดศูนย์กลาง:** มุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม - **มุมในส่วนโค้ง:** มุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและแขนทั้งสองเป็นคอร์ด ### ทฤษฎีบทที่ 1: มุมที่จุดศูนย์กลาง - มุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน จะมีขนาดเป็น **สองเท่า** ของมุมในส่วนโค้งที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันนั้น - **แผนภาพ:** - ให้ O เป็นจุดศูนย์กลาง, A, B, P เป็นจุดบนเส้นรอบวง - มุม AOB (มุมที่จุดศูนย์กลาง) = $2 \times$ มุม APB (มุมในส่วนโค้ง) - **สูตร:** $\angle AOB = 2 \times \angle APB$ ### ทฤษฎีบทที่ 2: มุมในส่วนโค้งเดียวกัน - มุมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันในเซกเมนต์เดียวกันของวงกลมจะมีขนาด **เท่ากัน** - **แผนภาพ:** - ให้ A, B, C, D เป็นจุดบนเส้นรอบวง - ถ้าส่วนโค้ง AB รองรับมุม ACB และ ADB แล้ว $\angle ACB = \angle ADB$ - **สูตร:** $\angle ACB = \angle ADB$ ### ทฤษฎีบทที่ 3: มุมในครึ่งวงกลม - มุมที่รองรับด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางที่จุดใดๆ บนเส้นรอบวงจะเป็น **มุมฉาก** ($90^\circ$) - **แผนภาพ:** - ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง, C เป็นจุดใดๆ บนเส้นรอบวง - แล้ว $\angle ACB = 90^\circ$ - **สูตร:** $\angle ACB = 90^\circ$ (ถ้า AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง) ### ทฤษฎีบทที่ 4: รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม - ผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม (รูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดทั้งหมดอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม) จะเป็น **มุมประกอบสองมุมฉาก** (รวมกันได้ $180^\circ$) - **แผนภาพ:** - ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม - แล้ว $\angle A + \angle C = 180^\circ$ และ $\angle B + \angle D = 180^\circ$ - **สูตร:** $\angle A + \angle C = 180^\circ$, $\angle B + \angle D = 180^\circ$ - **มุมภายนอกของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม:** มุมภายนอกของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมจะเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม - $\angle CDE = \angle ABC$ ### ทฤษฎีบทที่ 5: สมบัติเส้นสัมผัส-รัศมี - เส้นสัมผัส ณ จุดใดๆ บนวงกลมจะ **ตั้งฉาก** กับรัศมีที่ลากผ่านจุดสัมผัสนั้น - **แผนภาพ:** - ให้ O เป็นจุดศูนย์กลาง, T เป็นจุดสัมผัสบนวงกลม - ให้เส้นตรง L เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด T - แล้วรัศมี OT ตั้งฉากกับเส้นตรง L - **สูตร:** $OT \perp L \Rightarrow \angle OTL = 90^\circ$ ### ทฤษฎีบทที่ 6: เส้นสัมผัสจากจุดภายนอก - ความยาวของเส้นสัมผัสสองเส้นที่ลากจากจุดภายนอกจุดหนึ่งไปยังวงกลมวงเดียวกันจะมีขนาด **เท่ากัน** - **แผนภาพ:** - ให้ P เป็นจุดภายนอก, PA และ PB เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด A และ B ตามลำดับ - แล้ว $PA = PB$ - **นอกจากนี้:** เส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางกับจุดภายนอกจะแบ่งครึ่งมุมระหว่างเส้นสัมผัสและแบ่งครึ่งมุมระหว่างรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส - $\angle APO = \angle BPO$ และ $\angle AOP = \angle BOP$ ### ทฤษฎีบทที่ 7: ทฤษฎีบทส่วนสลับ - มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสและคอร์ดที่จุดสัมผัส จะมีขนาดเท่ากับมุมใน **ส่วนสลับ** - **แผนภาพ:** - ให้ AB เป็นคอร์ด, และเส้นตรง CDE เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด D - แล้ว $\angle ADE = \angle ABD$ และ $\angle CDB = \angle DAB$ - **สูตร:** $\angle ADE = \angle ABD$, $\angle CDB = \angle DAB$ ### ทฤษฎีบทที่ 8: เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังคอร์ด - เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังคอร์ด จะ **แบ่งครึ่งคอร์ด** นั้น - **แผนภาพ:** - ให้ O เป็นจุดศูนย์กลาง, AB เป็นคอร์ด, M เป็นจุดกึ่งกลางของ AB - ถ้า $OM \perp AB$, แล้ว $AM = MB$ - **ในทางกลับกัน:** เส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางกับจุดกึ่งกลางของคอร์ดจะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น ### ทฤษฎีบทที่ 9: ทฤษฎีบทคอร์ดตัดกัน - ถ้าคอร์ดสองเส้นตัดกันภายในวงกลม ผลคูณของส่วนของคอร์ดหนึ่งจะเท่ากับผลคูณของส่วนของคอร์ดอีกเส้นหนึ่ง - **แผนภาพ:** - ให้คอร์ด AB และ CD ตัดกันที่จุด P ภายในวงกลม - แล้ว $AP \times PB = CP \times PD$ - **สูตร:** $AP \cdot PB = CP \cdot PD$ ### ทฤษฎีบทที่ 10: ทฤษฎีบทเส้นตัดกัน - ถ้ามีเส้นตัดสองเส้นลากจากจุดภายนอกจุดหนึ่งไปยังวงกลม ผลคูณของส่วนภายนอกกับความยาวรวมของเส้นตัดนั้นจะเท่ากันสำหรับเส้นตัดทั้งสอง - **แผนภาพ:** - ให้ P เป็นจุดภายนอก เส้นตัด PAB ตัดวงกลมที่ A และ B เส้นตัด PCD ตัดวงกลมที่ C และ D - แล้ว $PA \times PB = PC \times PD$ - **สูตร:** $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ ### ทฤษฎีบทที่ 11: ทฤษฎีบทเส้นสัมผัส-เส้นตัด - ถ้ามีเส้นสัมผัสและเส้นตัดลากจากจุดภายนอกจุดหนึ่งไปยังวงกลม กำลังสองของความยาวเส้นสัมผัสจะเท่ากับผลคูณของส่วนภายนอกกับความยาวรวมของเส้นตัด - **แผนภาพ:** - ให้ P เป็นจุดภายนอก เส้นสัมผัส PT สัมผัสวงกลมที่ T เส้นตัด PAB ตัดวงกลมที่ A และ B - แล้ว $PT^2 = PA \times PB$ - **สูตร:** $PT^2 = PA \cdot PB$