Dynamique des Fluides

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### Introduction à la Dynamique des Fluides La dynamique des fluides est l'étude du mouvement des fluides (liquides et gaz). Elle repose sur trois principes fondamentaux de conservation : la masse, la quantité de mouvement et l'énergie. Ces principes sont exprimés sous forme d'équations qui peuvent être locales (différentielles) ou globales (intégrales). #### Notations Générales - $t$: temps - $\vec{x}$: position dans l'espace - $\rho$: masse volumique du fluide ($kg/m^3$) - $\vec{v}$: vitesse du fluide ($m/s$) - $P$: pression statique ($Pa$) - $\tau_{ij}$: tenseur des contraintes visqueuses ($Pa$) - $\vec{f}$: force volumique externe (e.g., gravité) ($N/m^3$) - $e$: énergie interne spécifique ($J/kg$) - $h$: enthalpie spécifique ($J/kg$) - $q_i$: flux de chaleur ($W/m^2$) - $\dot{w}_s$: travail des forces de surface ($W/m^3$) - $D/Dt = \partial/\partial t + \vec{v} \cdot \vec{\nabla}$: dérivée matérielle ### 1. Équation de Conservation de la Masse (Continuité) #### Forme Locale (Différentielle) Décrit l'évolution de la masse volumique en un point de l'espace. $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0$$ Où : - $\vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{v})$ est la divergence du flux massique. #### Forme Globale (Intégrale) Décrit la conservation de la masse à travers un volume de contrôle $V$ délimité par une surface $S$. $$\frac{d}{dt} \int_V \rho \, dV + \int_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS = 0$$ Où : - $\vec{n}$: vecteur normal unitaire sortant de la surface $S$. #### Spécificités - **Fluides Incompressibles (Liquides):** $\rho = const$. L'équation se simplifie en $\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0$, ou $\int_S \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS = 0$. Cela signifie que le volume d'un élément fluide ne change pas. - **Fluides Compressibles (Gaz):** $\rho$ peut varier avec la pression et la température. L'équation complète doit être utilisée. #### Situation d'Utilisation - Calcul des débits massiques et volumiques. - Analyse des écoulements dans les conduites, buses, diffuseurs. - Vérification de la cohérence des champs de vitesse. ### 2. Équation de Conservation de la Quantité de Mouvement (Navier-Stokes) #### Forme Locale (Différentielle) Décrit la relation entre les forces agissant sur un élément fluide et son accélération. C'est la seconde loi de Newton appliquée aux fluides. $$\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} = -\vec{\nabla} P + \vec{\nabla} \cdot \mathbf{\tau} + \rho \vec{f}$$ Où : - $\mathbf{\tau}$: Tenseur des contraintes visqueuses. Pour un fluide Newtonien incompressible, $\mathbf{\tau} = \mu (\vec{\nabla} \vec{v} + (\vec{\nabla} \vec{v})^T)$, où $\mu$ est la viscosité dynamique. - $\rho \vec{f}$: Forces volumiques (e.g., gravité, forces électromagnétiques). #### Forme Globale (Intégrale) Décrit le bilan de quantité de mouvement sur un volume de contrôle $V$. $$\frac{d}{dt} \int_V \rho \vec{v} \, dV + \int_S \rho \vec{v} (\vec{v} \cdot \vec{n}) \, dS = -\int_S P \vec{n} \, dS + \int_S \mathbf{\tau} \cdot \vec{n} \, dS + \int_V \rho \vec{f} \, dV$$ #### Spécificités - **Fluides Non Visqueux (Idéaux):** $\mathbf{\tau} = 0$. L'équation devient l'équation d'Euler. - **Fluides Visqueux (Réels):** Le terme $\vec{\nabla} \cdot \mathbf{\tau}$ est crucial. Il représente les effets de frottement interne. - **Liquides:** Généralement considérés incompressibles, ce qui simplifie le terme de viscosité. - **Gaz:** Peuvent être compressibles et visqueux. Les effets de compressibilité peuvent être importants à haute vitesse (nombre de Mach > 0.3). #### Situation d'Utilisation - Calcul des forces aérodynamiques et hydrodynamiques (traînée, portance). - Conception d'avions, de navires, de turbines. - Analyse des écoulements laminaires et turbulents. ### 3. Équation de Conservation de l'Énergie #### Forme Locale (Différentielle) Décrit la conservation de l'énergie (cinétique + interne) d'un élément fluide. $$\rho \frac{D}{Dt} \left( e + \frac{1}{2} |\vec{v}|^2 \right) = \vec{\nabla} \cdot (\mathbf{\tau} \cdot \vec{v}) - \vec{\nabla} \cdot \vec{q} + \rho \vec{f} \cdot \vec{v}$$ Une forme alternative utilisant l'enthalpie $h = e + P/\rho$: $$\rho \frac{Dh}{Dt} = \frac{DP}{Dt} + \vec{\nabla} \cdot (\mathbf{\tau} \cdot \vec{v}) - \vec{\nabla} \cdot \vec{q} + \rho \vec{f} \cdot \vec{v}$$ Où : - $\vec{q}$: flux de chaleur (par conduction, e.g., loi de Fourier $\vec{q} = -k \vec{\nabla} T$). - $\vec{\nabla} \cdot (\mathbf{\tau} \cdot \vec{v})$: travail des forces visqueuses. - $\rho \vec{f} \cdot \vec{v}$: travail des forces volumiques. #### Forme Globale (Intégrale) Décrit le bilan d'énergie sur un volume de contrôle $V$. $$\frac{d}{dt} \int_V \rho \left( e + \frac{1}{2} |\vec{v}|^2 \right) \, dV + \int_S \rho \left( e + \frac{1}{2} |\vec{v}|^2 \right) (\vec{v} \cdot \vec{n}) \, dS = - \int_S P \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS + \int_S (\mathbf{\tau} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{n} \, dS - \int_S \vec{q} \cdot \vec{n} \, dS + \int_V \rho \vec{f} \cdot \vec{v} \, dV$$ #### Spécificités - **Fluides Incompressibles:** L'énergie interne $e$ dépend principalement de la température. Les changements de pression ont un faible impact sur la température. - **Fluides Compressibles (Gaz):** L'énergie interne et l'enthalpie dépendent fortement de la température et de la pression. Les effets de chaleur et de travail sont souvent importants. - **Processus Adiabatiques:** $\vec{q} = 0$, pas d'échange de chaleur avec l'extérieur. - **Processus Isothermes:** Température constante. #### Situation d'Utilisation - Analyse des transferts de chaleur dans les écoulements (refroidissement, chauffage). - Conception de moteurs, de réacteurs, de systèmes de climatisation. - Étude des ondes de choc et des écoulements à haute vitesse. ### Équation d'État Pour fermer le système d'équations (conservation de la masse, quantité de mouvement, énergie), une équation d'état est nécessaire pour relier les propriétés thermodynamiques du fluide. #### Gaz Parfaits $P = \rho R T$ Où : - $R$: constante spécifique du gaz ($J/(kg \cdot K)$) - $T$: température absolue ($K$) #### Liquides Les liquides sont souvent considérés comme incompressibles, donc $\rho$ est constante. Pour des variations de pression et de température, des corrélations empiriques sont souvent utilisées.