Physique - Concepts Clés

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Mécanique Cinématique Position: $x(t)$ (scalaire), $\vec{r}(t)$ (vecteur) Déplacement: $\Delta x = x_f - x_i$, $\Delta \vec{r} = \vec{r}_f - \vec{r}_i$ Vitesse moyenne: $v_{moy} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ Vitesse instantanée: $v(t) = \frac{dx}{dt}$, $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}$ Accélération moyenne: $a_{moy} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ Accélération instantanée: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$, $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ Mouvement à accélération constante: $v = v_0 + at$ $x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$ $x - x_0 = \frac{1}{2}(v_0 + v)t$ Chute libre (près de la Terre): $a_y = -g = -9.8 \text{ m/s}^2$ Dynamique Lois de Newton: 1ère Loi (Inertie): Un corps au repos reste au repos, et un corps en mouvement continue en mouvement avec une vitesse constante, à moins qu'une force nette n'agisse sur lui. 2ème Loi (Force): $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ 3ème Loi (Action-Réaction): $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ Poids: $F_g = mg$ Force de frottement statique: $f_s \le \mu_s N$ Force de frottement cinétique: $f_k = \mu_k N$ Tension: Force exercée par une corde ou un câble. Force centripète: $F_c = \frac{mv^2}{R}$ (dirigée vers le centre) Travail et Énergie Travail: $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos\theta$ Travail variable: $W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$ Énergie cinétique: $K = \frac{1}{2}mv^2$ Théorème de l'énergie cinétique: $W_{net} = \Delta K = K_f - K_i$ Énergie potentielle gravitationnelle: $U_g = mgh$ Énergie potentielle élastique (ressort): $U_s = \frac{1}{2}kx^2$ Forces conservatives: Le travail ne dépend pas du chemin (gravité, ressort). $W_c = -\Delta U$. Forces non conservatives: Le travail dépend du chemin (frottement). Conservation de l'énergie mécanique (forces conservatives seulement): $E_{mec} = K + U = \text{constante}$ $K_i + U_i = K_f + U_f$ Conservation de l'énergie (générale): $W_{nc} = \Delta K + \Delta U = \Delta E_{mec}$ Puissance: $P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}$ (instantanée), $P_{moy} = \frac{\Delta W}{\Delta t}$ Quantité de Mouvement et Impulsion Quantité de mouvement: $\vec{p} = m\vec{v}$ Impulsion: $\vec{J} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F} dt = \Delta \vec{p}$ Théorème de l'impulsion-quantité de mouvement: $\vec{J}_{net} = \Delta \vec{p}$ Conservation de la quantité de mouvement (système isolé): $\sum \vec{p}_i = \sum \vec{p}_f$ Collisions: Élastiques: Conservation de $K$ et $\vec{p}$. Inélastiques: Conservation de $\vec{p}$, $K$ non conservée. Parfaitement inélastiques: Objets collent ensemble, conservation de $\vec{p}$. Centre de masse: $\vec{r}_{CM} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$ Rotation Position angulaire: $\theta$ (radians) Vitesse angulaire: $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ Accélération angulaire: $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ Relations linéaires-angulaires: $s = r\theta$ $v_t = r\omega$ (vitesse tangentielle) $a_t = r\alpha$ (accélération tangentielle) $a_c = \frac{v_t^2}{r} = r\omega^2$ (accélération centripète) Cinématique de rotation (accélération angulaire constante): $\omega = \omega_0 + \alpha t$ $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$ Moment d'inertie: $I = \sum m_i r_i^2$ (ponctuel), $I = \int r^2 dm$ (continu) Énergie cinétique de rotation: $K_R = \frac{1}{2}I\omega^2$ Moment de force (Torque): $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$, $\tau = rF \sin\theta$ 2ème Loi de Newton pour la rotation: $\sum \vec{\tau} = I\vec{\alpha}$ Moment angulaire: $\vec{L} = I\vec{\omega}$ (pour corps rigide), $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ (pour particule) Conservation du moment angulaire: Si $\sum \vec{\tau}_{ext} = 0$, alors $\vec{L} = \text{constante}$ $I_i \omega_i = I_f \omega_f$ Ondes et Optique Ondes Mécaniques Onde sinusoïdale: $y(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ Nombre d'onde: $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ Fréquence angulaire: $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ Vitesse de l'onde: $v = \lambda f = \frac{\omega}{k}$ Vitesse d'onde sur corde: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ ($T$ = tension, $\mu$ = masse linéique) Intensité: $I \propto A^2$ Principe de superposition: Les déplacements s'additionnent. Ondes stationnaires: Nœuds (amplitude nulle), Ventres (amplitude maximale). Cordes fixées aux deux bouts: $\lambda_n = \frac{2L}{n}$, $f_n = n \frac{v}{2L}$ ($n=1,2,3...$) Son Vitesse du son dans l'air: $v \approx 343 \text{ m/s}$ (à 20°C) Intensité sonore (niveau sonore): $\beta = 10 \log_{10} \left(\frac{I}{I_0}\right)$ (en dB), $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ Effet Doppler: $f' = f \frac{v \pm v_D}{v \mp v_S}$ (D: détecteur, S: source; + pour rapprochement, - pour éloignement) Optique Géométrique Vitesse de la lumière dans le vide: $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ Indice de réfraction: $n = \frac{c}{v}$ Loi de Snell-Descartes: $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$ Réflexion totale interne: Quand $\theta_1 > \theta_c$ et $n_1 > n_2$, $\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$ Lentilles minces et miroirs sphériques: $\frac{1}{p} + \frac{1}{i} = \frac{1}{f}$ (p: objet, i: image, f: focale) Grandissement: $M = -\frac{i}{p} = \frac{h_i}{h_p}$ Miroirs: $f = R/2$ (concave $f>0$, convexe $f Lentilles: Convergente $f>0$, Divergente $f Conventions de signe: $p>0$ (objet réel), $p $i>0$ (image réelle, même côté que $p$ pour miroir, côté opposé pour lentille) $i $h_i>0$ (image droite), $h_i Optique Physique (Interférence et Diffraction) Interférence à deux fentes (Young): Maxima (constructive): $d \sin\theta = m\lambda$ ($m=0, \pm 1, \pm 2, ...$) Minima (destructive): $d \sin\theta = (m + \frac{1}{2})\lambda$ Séparation des franges lumineuses sur écran: $\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$ Diffraction par une fente simple: Minima: $a \sin\theta = m\lambda$ ($m=\pm 1, \pm 2, ...$) Diffraction par une ouverture circulaire: 1er minimum (Rayleigh): $\sin\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$ Réseaux de diffraction: Maxima: $d \sin\theta = m\lambda$ ($m=0, \pm 1, \pm 2, ...$) Électricité et Magnétisme Électrostatique Charge électrique: $q$, $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$ Loi de Coulomb: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$, $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 8.99 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ Champ électrique: $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$, $\vec{E} = k \frac{q}{r^2}\hat{r}$ (charge ponctuelle) Flux électrique: $\Phi_E = \int \vec{E} \cdot d\vec{A}$ Loi de Gauss: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$ Énergie potentielle électrique: $U = qV$ Potentiel électrique: $V = \frac{U}{q_0}$, $V = k \frac{q}{r}$ (charge ponctuelle) $\vec{E} = -\nabla V$ (en 1D: $E_x = -\frac{dV}{dx}$) Condensateur: $C = \frac{Q}{V}$ Condensateur plan: $C = \epsilon_0 \frac{A}{d}$ Énergie stockée: $U_C = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}QV$ Diélectrique: $C = \kappa C_0$, $\epsilon = \kappa \epsilon_0$ Condensateurs en série: $\frac{1}{C_{eq}} = \sum \frac{1}{C_i}$ Condensateurs en parallèle: $C_{eq} = \sum C_i$ Courant et Circuits Courant électrique: $I = \frac{dQ}{dt}$ Densité de courant: $\vec{J} = n q \vec{v}_d$ Loi d'Ohm: $V = IR$, $\vec{J} = \sigma \vec{E}$ Résistance: $R = \rho \frac{L}{A}$ Puissance dissipée: $P = IV = I^2R = \frac{V^2}{R}$ Résistances en série: $R_{eq} = \sum R_i$ Résistances en parallèle: $\frac{1}{R_{eq}} = \sum \frac{1}{R_i}$ Lois de Kirchhoff: Jonctions (courant): $\sum I_{entrant} = \sum I_{sortant}$ Mailles (tension): $\sum \Delta V = 0$ Circuit RC: Charge: $Q(t) = Q_{max}(1 - e^{-t/RC})$ Décharge: $Q(t) = Q_0 e^{-t/RC}$ Constante de temps: $\tau = RC$ Champ Magnétique Force magnétique sur charge: $\vec{F}_B = q\vec{v} \times \vec{B}$ ($F_B = |q|vB \sin\theta$) Force magnétique sur fil: $\vec{F}_B = I\vec{L} \times \vec{B}$ ($F_B = ILB \sin\theta$) Moment dipolaire magnétique: $\vec{\mu} = NIA\hat{n}$ Torque sur boucle: $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$ Loi de Biot-Savart: $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$ Champ magnétique d'un fil long: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ Champ magnétique d'une boucle au centre: $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ Champ magnétique d'un solénoïde: $B = \mu_0 n I$ ($n = N/L$) Loi d'Ampère: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 I_{int}$ Induction Électromagnétique Flux magnétique: $\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$ Loi de Faraday: $\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ Loi de Lenz: Le courant induit s'oppose à la variation de flux qui l'a créé. Inductance: $L = \frac{N\Phi_B}{I}$ Inductance d'un solénoïde: $L = \mu_0 n^2 A l$ Énergie stockée dans un inducteur: $U_L = \frac{1}{2}LI^2$ Circuit RL: Croissance du courant: $I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}(1 - e^{-t/\tau})$ Décroissance du courant: $I(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ Constante de temps: $\tau = L/R$ Oscillations LC: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ Circuits RLC: Amortissement des oscillations. Courant alternatif (AC): Tension/Courant RMS: $V_{RMS} = \frac{V_{max}}{\sqrt{2}}$, $I_{RMS} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$ Réactance capacitive: $X_C = \frac{1}{\omega C}$ Réactance inductive: $X_L = \omega L$ Impédance: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ Courant max: $I_{max} = \frac{V_{max}}{Z}$ Angle de phase: $\tan\phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ Puissance moyenne: $P_{moy} = V_{RMS} I_{RMS} \cos\phi$ (facteur de puissance) Ondes Électromagnétiques Vitesse dans le vide: $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ Relation E et B: $E = cB$ Vecteur de Poynting (densité de puissance): $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}(\vec{E} \times \vec{B})$ Intensité moyenne: $I = S_{moy} = \frac{E_{max}B_{max}}{2\mu_0} = \frac{E_{max}^2}{2\mu_0 c}$ Pression de radiation: $P_r = \frac{I}{c}$ (absorption), $P_r = \frac{2I}{c}$ (réflexion) Thermodynamique Température: Mesure de l'énergie cinétique moyenne des particules. Chaleur: Transfert d'énergie dû à une différence de température. Capacité thermique spécifique: $Q = mc\Delta T$ Chaleur latente (changement de phase): $Q = mL$ Conduction thermique: $P = kA \frac{\Delta T}{L}$ Loi des gaz parfaits: $PV = nRT = NkT$ Travail fait par un gaz: $W = \int P dV$ 1ère Loi de la Thermodynamique: $\Delta E_{int} = Q - W$ Processus thermodynamiques: Isobare: $P = \text{constante}$, $W = P\Delta V$ Isochore: $V = \text{constante}$, $W = 0$, $\Delta E_{int} = Q$ Isotherme: $T = \text{constante}$, $\Delta E_{int} = 0$, $Q = W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ Adiabatique: $Q = 0$, $\Delta E_{int} = -W$, $PV^\gamma = \text{constante}$, $TV^{\gamma-1} = \text{constante}$ 2ème Loi de la Thermodynamique: L'entropie d'un système isolé ne peut qu'augmenter ou rester constante. Rendement d'un moteur thermique: $\epsilon = \frac{|W_{net}|}{|Q_H|} = 1 - \frac{|Q_C|}{|Q_H|}$ Rendement de Carnot (max): $\epsilon_C = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ Coefficient de performance (réfrigérateur): $K = \frac{|Q_C|}{|W|} = \frac{|Q_C|}{|Q_H| - |Q_C|}$ Entropie: $\Delta S = \int \frac{dQ}{T}$ (réversible), $\Delta S \ge 0$ (système isolé)