Mécanique du Solide Indéformable

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I. Calcul Vectoriel I-1. Définitions Espace Vectoriel: $E$ sur un corps $K$. Muni d'une structure de groupe commutatif pour l'addition (+). $\forall \lambda, \mu \in K, \forall \vec{u}, \vec{v} \in E$: $\lambda(\vec{u} + \vec{v}) = \lambda\vec{u} + \lambda\vec{v}$ et $\lambda(\mu\vec{u}) = (\lambda\mu)\vec{u}$ Espace Vectoriel Euclidien: $E$ est euclidien s'il est muni d'un produit scalaire $f(\vec{u},\vec{v}) \in \mathbb{R}$ tel que: $f(\vec{u},\vec{v}) = f(\vec{v},\vec{u})$ $f(\vec{u}, \lambda\vec{v}) = \lambda f(\vec{u},\vec{v})$ $f(\vec{u},\vec{v}+\vec{w}) = f(\vec{u},\vec{v}) + f(\vec{u},\vec{w})$ $f(\vec{u},\vec{u}) \ge 0$ (égalité si $\vec{u} = \vec{0}$) Notation: $f(\vec{u},\vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{v}$ Espace Affine: Ensemble de points $\mathcal{E}$ tel que pour $A, B \in \mathcal{E}$, il existe un vecteur $\vec{AB}$. $\vec{AB} = -\vec{BA}$ $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ $\forall O \in \mathcal{E}$ et $\vec{u} \in E, \exists ! A \in \mathcal{E}$ défini par $\vec{OA} = \vec{u}$ Espace Métrique: Espace affine associé à un espace vectoriel euclidien. I-2. Vecteurs-Moment d'un vecteur Vecteur Lié: Couple $(A, \vec{u})$ où $A \in \mathcal{E}$ est l'origine et $\vec{u} \in E$ est la grandeur vectorielle. Notation: $(A, \vec{u}) = \vec{u}(A)$. Vecteur Glissant: Vecteur défini à un glissement près sur un axe $(\Delta)$. Notation: $(\Delta, \vec{u})$. I-2-2. Opérations sur les vecteurs Produit Scalaire: $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cos(\vec{u}, \vec{v})$ Symétrie: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ Distributivité: $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ Multiplication par un réel: $\lambda\vec{u} \cdot \alpha\vec{v} = \lambda\alpha (\vec{u} \cdot \vec{v})$ En base orthonormée $(x,y,z)$: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0 \iff \vec{v_1} \perp \vec{v_2}$ Produit Vectoriel: $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est un vecteur tel que: $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est perpendiculaire au plan $(\vec{u},\vec{v})$. $(\vec{u},\vec{v},\vec{u} \wedge \vec{v})$ est direct. $||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \sin(\vec{u}, \vec{v})$ (représente la surface du parallélogramme). Propriétés: Antisymétrie: $\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}$ Distributivité: $\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}$ Multiplication par un réel: $\lambda\vec{u} \wedge \alpha\vec{v} = \lambda\alpha (\vec{u} \wedge \vec{v})$ En base orthonormée directe $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$: $\vec{x} \wedge \vec{x} = \vec{0}$, $\vec{y} \wedge \vec{y} = \vec{0}$, $\vec{z} \wedge \vec{z} = \vec{0}$ $\vec{x} \wedge \vec{y} = \vec{z}$, $\vec{y} \wedge \vec{z} = \vec{x}$, $\vec{z} \wedge \vec{x} = \vec{y}$ $\vec{y} \wedge \vec{x} = -\vec{z}$, $\vec{z} \wedge \vec{y} = -\vec{x}$, $\vec{x} \wedge \vec{z} = -\vec{y}$ Cas de nullité: Un des vecteurs est nul OU les vecteurs sont colinéaires ($\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$). En base orthonormée $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$, pour $\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)$ et $\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)$: $$\vec{v_1} \wedge \vec{v_2} = (y_1z_2 - z_1y_2)\vec{x} + (z_1x_2 - x_1z_2)\vec{y} + (x_1y_2 - y_1x_2)\vec{z}$$ Double Produit Vectoriel: $\vec{v_1} \wedge (\vec{v_2} \wedge \vec{v_3}) = (\vec{v_1} \cdot \vec{v_3})\vec{v_2} - (\vec{v_1} \cdot \vec{v_2})\vec{v_3}$ Produit Mixte: $(\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}) = \vec{v_1} \cdot (\vec{v_2} \wedge \vec{v_3})$ Permutation des opérateurs: $(\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}) = \vec{v_1} \cdot (\vec{v_2} \wedge \vec{v_3}) = (\vec{v_1} \wedge \vec{v_2}) \cdot \vec{v_3}$ Distributivité: $(\vec{v_1}+\vec{v_2},\vec{v_3},\vec{v_4}) = (\vec{v_1},\vec{v_3},\vec{v_4}) + (\vec{v_2},\vec{v_3},\vec{v_4})$ Multiplication par un réel: $(\lambda\vec{v_1}, \mu\vec{v_2}, \gamma\vec{v_3}) = \lambda\mu\gamma (\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3})$ Permutation des vecteurs: $(\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}) = -(\vec{v_2},\vec{v_1},\vec{v_3})$ Permutation circulaire: $(\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}) = (\vec{v_2},\vec{v_3},\vec{v_1}) = (\vec{v_3},\vec{v_1},\vec{v_2})$ Expression analytique: Pour $\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)$, $\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)$, $\vec{v_3}=(x_3,y_3,z_3)$ $$(\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}) = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix} = x_1y_2z_3 + x_2y_3z_1 + x_3y_1z_2 - x_3y_2z_1 - x_1y_3z_2 - x_2y_1z_3$$ I-2-3. Moment d'un vecteur en un point Le moment au point $A$ du glisseur $(P,\vec{v})$, noté $\vec{M_A}(\vec{v})$ est le vecteur: $\vec{M_A}(\vec{v}) = \vec{AP} \wedge \vec{v}$. Propriétés: Indépendant du choix de $P$ sur le support $(D)$ du glisseur. Relation des moments en deux points: $\vec{M_B}(\vec{v}) = \vec{M_A}(\vec{v}) + \vec{BA} \wedge \vec{v}$ I-3. Torseurs Définition: Un torseur est un outil mathématique décrivant les mouvements et actions mécaniques sur un solide indéformable. Un torseur $[\mathcal{T}]$ est caractérisé par un champ de vecteurs antisymétriques $\vec{u}(M)$ et son vecteur $\vec{R}$. Conséquence: $\vec{u}(M) = \vec{u}(O) + \vec{R} \wedge \vec{OM}$. Notation: $[\mathcal{T}(O)] = [\vec{R}, \vec{u}(O)]$ ou $[\mathcal{T}] = \begin{Bmatrix} \vec{R} \\ \vec{u}(O) \end{Bmatrix}_O$. $\vec{R}$ est la résultante du torseur, $\vec{u}(O)$ est le moment du torseur au point $O$. I-3-2. Application antisymétrique Une application $\mathcal{L}: E \to E$ est antisymétrique si et seulement si $\forall \vec{u}, \vec{v} \in E, \vec{u} \cdot \mathcal{L}(\vec{v}) = -\vec{v} \cdot \mathcal{L}(\vec{u})$. Proposition: Si $\mathcal{L}$ est antisymétrique, $\exists ! \vec{R} \in E$ tel que $\mathcal{L}(\vec{u}) = \vec{R} \wedge \vec{u}$. I-3-3. Champ antisymétrique Un champ de vecteurs $\vec{u}(M)$ est antisymétrique s'il existe une application antisymétrique $\mathcal{L}$ telle que $\forall M, N \in \mathcal{E}$, $\vec{u}(N) = \vec{u}(M) + \mathcal{L}(\vec{MN})$. Si $\vec{R}$ est le vecteur associé à $\mathcal{L}$, alors $\vec{u}(N) = \vec{u}(M) + \vec{R} \wedge \vec{MN}$. Un champ de vecteurs $\vec{u}(M)$ est équiprojectif si $\forall M, N \in \mathcal{E}$: $\vec{MN} \cdot \vec{u}(N) = \vec{MN} \cdot \vec{u}(M)$. Un champ de vecteurs antisymétrique est équiprojectif. I-3-4. Opérations sur les torseurs Addition: $[\mathcal{T}_1(O)] = [\vec{R_1}, \vec{u_1}(O)]$ et $[\mathcal{T}_2(O)] = [\vec{R_2}, \vec{u_2}(O)]$. Somme: $[\mathcal{T}(O)] = [\mathcal{T}_1(O)] + [\mathcal{T}_2(O)]$ a pour éléments de réduction: $$\begin{Bmatrix} \vec{R} = \vec{R_1} + \vec{R_2} \\ \vec{u}(O) = \vec{u_1}(O) + \vec{u_2}(O) \end{Bmatrix}_O$$ Commutative et associative. Élément neutre: torseur nul ($\vec{0}$, $\vec{0}$). Opposé de $[\mathcal{T}(O)]$ est $[-\vec{R}, -\vec{u}(O)]$. Multiplication par un scalaire: $\lambda [\mathcal{T}(O)]$ $$ \lambda [\mathcal{T}(O)] \iff \begin{Bmatrix} \lambda\vec{R} \\ \lambda\vec{u}(O) \end{Bmatrix}_O $$ Comoment (produit scalaire de deux torseurs): $$[\mathcal{T}_1(O)] \cdot [\mathcal{T}_2(O)] = \vec{R_1} \cdot \vec{u_2}(O) + \vec{R_2} \cdot \vec{u_1}(O)$$ Égalité de deux torseurs: $[\mathcal{T}_1(O)] = [\mathcal{T}_2(O)] \iff \begin{Bmatrix} \vec{R_1} = \vec{R_2} \\ \vec{u_1}(O) = \vec{u_2}(O) \end{Bmatrix}$ Invariant Scalaire: Pour deux points $O$ et $O'$, les composantes du torseur sont conservées: Premier invariant: la résultante $\vec{R}$. Second invariant: la projection du moment sur sa résultante: $\vec{R} \cdot \vec{u}(O') = \vec{R} \cdot \vec{u}(O)$. Axe Central: Pour un torseur $[\mathcal{T}(O)] = [\vec{R}, \vec{u}(O)]$ avec $\vec{R} \ne \vec{0}$, l'axe central $(\Delta)$ est le lieu des points $P$ tels que $\vec{u}(P) \wedge \vec{R} = \vec{0}$. Équation de $(\Delta)$: $\vec{OP} = \frac{\vec{u}(O) \wedge \vec{R}}{||\vec{R}||^2} + \lambda\vec{R}$ (avec $\lambda \in \mathbb{R}$) L'axe central est la droite de vecteur directeur $\vec{R}$ passant par le point $P_0$ tel que $\vec{OP_0} = \frac{\vec{u}(O) \wedge \vec{R}}{||\vec{R}||^2}$. Classification des Torseurs: Glisseur: $[\mathcal{T}(O)]$ est un glisseur si son invariant scalaire est nul ($\vec{R} \cdot \vec{u}(O) = 0$) et $\vec{R} \ne \vec{0}$. Sur l'axe central d'un glisseur, $\vec{u}(P) = \vec{0}$. Couple: $[\mathcal{T}(O)]$ est un couple si $\vec{R} = \vec{0}$. Le champ $\vec{u}(M)$ devient indépendant de $M$. Il n'existe pas d'axe central pour un couple. Proposition: Un torseur peut être décomposé en la somme d'un glisseur et d'un couple. II. Changement de Position Géométrique des Solides Rigides II-1. Espace Repère-Solide rigide Espace Repère $\mathcal{R}_0$: Défini par une horloge $\mathcal{H}$ et un repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ orthonormé direct. Solide Rigide: Ensemble de points matériels dont les distances mutuelles restent constantes. Le vecteur position d'un point $M(t)$ par rapport à $\mathcal{R}_0$ est $\vec{OM}(t)$. Vecteur vitesse: $\vec{v}(M/\mathcal{R}_0) = \left. \frac{d\vec{OM}}{dt} \right|_{\mathcal{R}_0}$ Vecteur accélération: $\vec{\gamma}(M/\mathcal{R}_0) = \left. \frac{d\vec{v}(M/\mathcal{R}_0)}{dt} \right|_{\mathcal{R}_0} = \left. \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} \right|_{\mathcal{R}_0}$ II-1-2. Paramétrage de la position d'un solide Mouvement de translation : changements de position. Mouvement de rotation : changements d'orientation. Un solide $(S)$ est associé à un repère $\mathcal{R}_S(O_S, \vec{I}, \vec{J}, \vec{K})$. Paramétrage de l'orientation de la base $(\vec{I}, \vec{J}, \vec{K})$ par rapport à $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$: Angles d'Euler ($\psi, \theta, \phi$). $\psi$: angle de précession (rotation lente autour de la verticale). $\theta$: angle de nutation (oscillation de l'axe de rotation propre). $\phi$: angle de rotation propre (rotation autour de l'axe du solide). II-2. Notion des champs des vitesses et des accélérations Un solide peut effectuer une rotation sur lui-même. II-2-1. Dérivée d'un vecteur lié à un référentiel mobile Soit un vecteur $\vec{V}$ exprimé dans la base du repère $\mathcal{R}_1: \vec{V} = a\vec{x} + b\vec{y} + c\vec{z}$. $$\left. \frac{d\vec{V}}{dt} \right|_{\mathcal{R}_0} = \left. \frac{d\vec{V}}{dt} \right|_{\mathcal{R}_1} + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{V}$$ Ceci est la Formule de Varignon , où $\vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)$ est le vecteur de rotation de $\mathcal{R}_1$ par rapport à $\mathcal{R}_0$. Champ des vitesses d'un solide: Le champ des vitesses d'un solide est équiprojectif et antisymétrique. $$\vec{v}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(A/\mathcal{R}_0) + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$$ Ceci est la Formule Fondamentale de la Cinématique du Solide . II-2-3. Champ des accélérations d'un solide $\vec{\gamma}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{\gamma}(A/\mathcal{R}_0) + \left. \frac{d\vec{\Omega}}{dt} \right|_{\mathcal{R}_0} \wedge \vec{AB} + \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{AB})$ En général, le champ des accélérations d'un solide n'est pas représentable par un torseur. II-3. Mouvements de translation-rotation-tangent Mouvement de translation-Couple: Si $\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) = \vec{0}$, alors $\forall A, B \in (S)$, $\vec{v}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(A/\mathcal{R}_0)$. Le torseur cinématique est un couple. Rotation autour d'un axe fixe: Si $(S)$ tourne autour d'un axe $(\Delta)$ fixe dans $\mathcal{R}_0$. Torseur cinématique est un glisseur. L'axe de rotation est l'axe central du glisseur. Mouvement hélicoïdal: Tout point $M \in (S)$ tourne autour d'un axe $(\Delta)$ et se déplace le long de cet axe. L'invariant scalaire n'est pas nul. Mouvement général: $\vec{v}(B/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(A/\mathcal{R}_0) + \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{AB}$. Si $\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) = \vec{0}$, mouvement tangent à une translation. Si $\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) \ne \vec{0}$, le torseur cinématique admet un axe central $(\Delta)$. II-4. Composition des Mouvements Dérivation Vectorielle: Soit $\mathcal{R}_0$ un repère absolu et $\mathcal{R}_1$ un repère mobile. $$\left. \frac{d\vec{AB}}{dt} \right|_{\mathcal{R}_0} = \left. \frac{d\vec{AB}}{dt} \right|_{\mathcal{R}_1} + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{AB}$$ Cette relation est générale. Composition des Vitesses: Pour un point $M$ d'un solide $(S)$, avec $\mathcal{R}_0$ absolu et $\mathcal{R}_1$ mobile. $$\vec{v}(M/\mathcal{R}_0) = \vec{v}(M/\mathcal{R}_1) + \vec{v}(O_1/\mathcal{R}_0) + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{O_1M}$$ où $\vec{v}(M/\mathcal{R}_0)$ est la vitesse absolue, $\vec{v}(M/\mathcal{R}_1)$ la vitesse relative, et $\vec{v}_e(M) = \vec{v}(O_1/\mathcal{R}_0) + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{O_1M}$ la vitesse d'entraînement. Composition des Vecteurs Rotations: Pour des repères $\mathcal{R}, \mathcal{R}_1, \mathcal{R}_0$: $$\vec{\Omega}(\mathcal{R}/\mathcal{R}_0) = \vec{\Omega}(\mathcal{R}/\mathcal{R}_1) + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)$$ II-6. Mouvement plan d'un solide Définition: Mouvement où chaque point du solide se déplace dans un plan parallèle à un plan fixe. Centre Instantané de Rotation (CIR): Point $I$ lié au solide $(S)$ ayant une vitesse nulle dans le repère considéré. $\vec{v}(I/S) = \vec{0}$ et $\vec{v}(I/\mathcal{R}_0) = \vec{0}$. Le CIR est le point central du torseur cinématique et l'intersection de l'axe central avec le plan d'évolution. Équation de la base (trajectoire du CIR dans le plan fixe $\pi_0$): $$\vec{OI} = \vec{OO_S} + \frac{\vec{\Omega}(\mathcal{R}_S/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{v}(O_S/\mathcal{R}_0)}{||\vec{\Omega}(\mathcal{R}_S/\mathcal{R}_0)||^2}$$ III. Géométrie des Masses III-1. Masse-Centre de masse/ Centre d'inertie Masse $m(S)$: Strictement positive: $m(S) > 0$. Additive: $m(S) = \sum m(S_i)$. Invariante et conservée pour un système fermé. Système discret: Pour $n$ points matériels $P_i$ de masse $m_i$: $m(S)\vec{OG} = \sum_{i=1}^n m_i\vec{OP_i}$. Si $O=G$, $\sum_{i=1}^n m_i\vec{GP_i} = \vec{0}$. Système continu: $m\vec{OG} = \int_{(S)} \vec{OP} dm$. Si $O=G$, $\int_{(S)} \vec{GP} dm = \vec{0}$. Théorèmes de Guldin: Théorème 1: Pour une courbe plane de longueur $L$ tournant autour d'un axe $(\Delta)$, la surface engendrée est $S = 2\pi d L$, où $d$ est la distance du centre de masse $G$ à $(\Delta)$. Théorème 2: Pour une surface plane d'aire $S$ tournant autour d'un axe $(\Delta)$, le volume engendré est $V = 2\pi d S$, où $d$ est la distance du centre de masse $G$ à $(\Delta)$. III-2. Moment d'inertie-Opérateur d'inertie Moment d'inertie: Grandeur caractérisant la géométrie des masses ou la résistance à la rotation. Distance $r$ d'un point $M$ de masse $dm$ à un point $O$, un axe $(A)$ ou un plan $(\pi)$. $I(O,S) = \int_{(S)} r^2 dm$. Notations: $I_O, I_A, I_\pi$. $I(xOy, S) = \int_{(S)} z^2 dm$. Similairement $I(xOz, S) = \int_{(S)} y^2 dm$ et $I(yOz, S) = \int_{(S)} x^2 dm$. Carré de la distance à un axe: $I(Oz, S) = \int_{(S)} (x^2+y^2) dm$. Carré de la distance à un point: $I(O, S) = \int_{(S)} (x^2+y^2+z^2) dm$. Relations: $I(O,S) = I(Oz,S) + I(xOy,S) = I(Oy,S) + I(xOz,S) = I(Ox,S) + I(yOz,S)$. Opérateur d'inertie $\mathbb{J}(O,S)$: $\vec{u} \cdot \mathbb{J}(O,S)(\vec{u}) = I(\Delta,S) = \int_{(S)} (\vec{OM} \wedge \vec{u})^2 dm$. C'est une application linéaire et symétrique. III-3. Matrice d'inertie-Matrice principale d'inertie Matrice d'inertie $\Pi(O,S)$: Matrice associée à l'opérateur $\mathbb{J}(O,S)$ dans une base orthonormée. $$\Pi(O,S) = \begin{pmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{pmatrix}$$ où $A = I_{Ox}$, $B = I_{Oy}$, $C = I_{Oz}$ sont les moments d'inertie, et $D = \int yz dm$, $E = \int xz dm$, $F = \int xy dm$ sont les produits d'inertie. $A, B, C \ge 0$, $D, E, F$ peuvent être positifs ou négatifs. Théorème de Huygens (formule de transport): $$\mathbb{J}(O,S)(\vec{u}) = \mathbb{J}(G,S)(\vec{u}) + m\vec{OG} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OG})$$ En termes de matrices: $\Pi(O,S) = \Pi(G,S) + \Pi_{transport}$, où $\Pi_{transport}$ est la matrice d'inertie d'un point matériel de masse $m$ situé en $G$. $$ \Pi_{transport} = m \begin{pmatrix} Y_G^2+Z_G^2 & -X_G Y_G & -X_G Z_G \\ -X_G Y_G & X_G^2+Z_G^2 & -Y_G Z_G \\ -X_G Z_G & -Y_G Z_G & X_G^2+Y_G^2 \end{pmatrix} $$ III-3-2. Matrice d'inertie en cas de symétrie Si $(Oz)$ est un axe de symétrie matérielle, alors $E=D=0$. $(Oz)$ est un axe principal d'inertie. Si $(xOy)$ est un plan de symétrie matérielle, alors $E=D=0$. $(xOy)$ est un plan principal d'inertie. Si $(Oz)$ est un axe de révolution matérielle, alors $F=D=E=0$ et $A=B$. Matrice principale d'inertie: Lorsque les produits d'inertie sont nuls, la matrice est diagonale. $$\Pi(O,S) = \begin{pmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & C \end{pmatrix}$$ Les axes sont alors les axes principaux d'inertie. Si $A \ne B \ne C$: un seul repère principal d'inertie. Si $A=B \ne C$: infinité de repères principaux d'inertie ayant l'axe $Oz$ en commun. Si $A=B=C$: toute direction passant par $O$ est principale. L'opérateur est sphérique. IV. Cinétique, Dynamique et Énergétique du Solide Rigide IV-1. Définitions des quantités cinétiques (point matériel $M(m)$) Quantité de mouvement: $\vec{p}(M/\mathcal{R}_0) = m\vec{v}(M/\mathcal{R}_0)$. Moment cinétique: $\vec{\sigma}(O,M/\mathcal{R}_0) = \vec{OM} \wedge \vec{p}(M/\mathcal{R}_0) = \vec{OM} \wedge m\vec{v}(M/\mathcal{R}_0)$. Quantité d'accélération: $\vec{a}(M/\mathcal{R}_0) = m\vec{\gamma}(M/\mathcal{R}_0)$. Moment dynamique: $\vec{\delta}(O,M/\mathcal{R}_0) = \vec{OM} \wedge \vec{a}(M/\mathcal{R}_0) = \vec{OM} \wedge m\vec{\gamma}(M/\mathcal{R}_0)$. Énergie cinétique: $E_c(M/\mathcal{R}_0) = \frac{1}{2} m ||\vec{v}(M/\mathcal{R}_0)||^2$. IV-2. Définitions des quantités cinétiques (solide $S$) Quantité de mouvement: $\vec{P}(S/\mathcal{R}_0) = \int_{(S)} \vec{v}(M/\mathcal{R}_0) dm = m\vec{V}(G/\mathcal{R}_0)$. Dans le repère barycentrique $\mathcal{R}_G$: $\vec{P}(S/\mathcal{R}_G) = \vec{0}$. Moment cinétique: $\vec{\sigma}(O,S/\mathcal{R}_0) = \int_{(S)} \vec{OM} \wedge \vec{v}(M/\mathcal{R}_0) dm$. Théorème de Koenig (cinétique): $\vec{\sigma}(O,S/\mathcal{R}_0) = \vec{\sigma}(G,S/\mathcal{R}_G) + \vec{OG} \wedge m\vec{V}(G/\mathcal{R}_0)$. Quantité d'accélération: $\vec{A}(S/\mathcal{R}_0) = \int_{(S)} \vec{\gamma}(M/\mathcal{R}_0) dm = m\vec{\gamma}(G/\mathcal{R}_0)$. Dans le repère barycentrique $\mathcal{R}_G$: $\vec{A}(S/\mathcal{R}_G) = \vec{0}$. Moment dynamique: $\vec{\delta}(O,S/\mathcal{R}_0) = \int_{(S)} \vec{OM} \wedge \vec{\gamma}(M/\mathcal{R}_0) dm$. Théorème de Koenig (dynamique): $\vec{\delta}(O,S/\mathcal{R}_0) = \vec{\delta}(G,S/\mathcal{R}_G) + \vec{OG} \wedge m\vec{\gamma}(G/\mathcal{R}_0)$. Énergie cinétique: $E_c(S/\mathcal{R}_0) = \frac{1}{2} \int_{(S)} ||\vec{v}(M/\mathcal{R}_0)||^2 dm$. Théorème de Koenig (énergie): $E_c(S/\mathcal{R}_0) = \frac{1}{2} m ||\vec{V}(G/\mathcal{R}_0)||^2 + E_c(S/\mathcal{R}_G)$. IV-3. Torseur Cinétique Le moment cinétique est antisymétrique, il est représentable par un torseur cinétique $[\mathcal{C}]$. $$[\mathcal{C}(O)] = \begin{Bmatrix} \vec{P}(S/\mathcal{R}_0) \\ \vec{\sigma}(O,S/\mathcal{R}_0) \end{Bmatrix}_O$$ Représentation matricielle: $\vec{\sigma}(A,S/\mathcal{R}_0) = \Pi(A,S) \cdot \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0)$. Si $A$ est fixe dans $\mathcal{R}_0$: $\vec{\sigma}(A,S/\mathcal{R}_0) = \mathbb{J}(A,S)(\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0))$. Formules d'Euler: Pour un solide tournant autour d'un axe fixe $A$ dans $\mathcal{R}_0$, avec $\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) = p\vec{i} + q\vec{j} + r\vec{k}$ (où $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ sont les axes principaux d'inertie liés au solide). $$\begin{Bmatrix} A\dot{p} + (C-B)qr \\ B\dot{q} + (A-C)pr \\ C\dot{r} + (B-A)pq \end{Bmatrix}$$ IV-5. Torseur Dynamique Le moment dynamique est antisymétrique, il est représentable par un torseur dynamique $[\mathcal{D}]$. $$[\mathcal{D}(O)] = \begin{Bmatrix} \vec{A}(S/\mathcal{R}_0) \\ \vec{\delta}(O,S/\mathcal{R}_0) \end{Bmatrix}_O$$ IV-6. Relation entre $[\mathcal{C}]$ et $[\mathcal{D}]$ $\vec{\delta}(A,S/\mathcal{R}_0) = \left. \frac{d\vec{\sigma}(A,S/\mathcal{R}_0)}{dt} \right|_{\mathcal{R}_0} - \vec{v}(A/\mathcal{R}_0) \wedge m\vec{V}(G/\mathcal{R}_0)$. En général, $[\mathcal{C}] \ne [\mathcal{D}]$. L'égalité est vérifiée si: $\mathcal{R}_G$ est le repère barycentrique ($\vec{V}(G/\mathcal{R}_0) = \vec{0}$). Le point $A$ est fixe dans $\mathcal{R}_0$. $A=G$. $\vec{V}(G/\mathcal{R}_0) = \vec{V}(A/\mathcal{R}_0)$. IV-9. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) Le torseur dynamique est égal au torseur des forces extérieures: $$[\mathcal{D}(S/\mathcal{R}_0)] = [\mathcal{F}_{ext} \to S]$$ Composition du torseur dynamique: $$[\mathcal{D}(S/\mathcal{R}_0)] = [\mathcal{D}(S/\mathcal{R}_1)] + [\mathcal{D}_e(S)] + [\mathcal{D}_c(S)]$$ où $[\mathcal{D}_e(S)]$ est le torseur dynamique d'entraînement et $[\mathcal{D}_c(S)]$ est le torseur dynamique de Coriolis. IV-10. Travail et Puissance Puissance d'un couple: Pour un couple de moment $\vec{\Gamma}$ et un solide de rotation $\vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0)$: $$\mathcal{P} = \vec{\Gamma} \cdot \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0)$$ Le travail élémentaire est $\delta W = \vec{\Gamma} \cdot \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0) dt$. Puissance d'un torseur de forces: Pour un torseur $[\mathcal{F}(A)] = [\vec{R}, \vec{M}_A]$ et un torseur cinématique $[\mathcal{C}(A)] = [\vec{P}, \vec{\sigma}_A]$: $$\mathcal{P} = \vec{R} \cdot \vec{V}(A/\mathcal{R}_0) + \vec{M}_A \cdot \vec{\Omega}(S/\mathcal{R}_0)$$ (Comoment du torseur des forces appliquées et du torseur cinématique). Théorème de l'énergie cinétique: $$\frac{dE_c(S/\mathcal{R}_0)}{dt} = \mathcal{P}_{ext}$$ (La variation de l'énergie cinétique est égale à la puissance des forces extérieures). II-5. Cinématique des Solides en Contact II-5-1. Contact ponctuel Contact entre deux solides $(S_1)$ et $(S_2)$ en un point $I$. $I_1 \in (S_1)$ et $I_2 \in (S_2)$ sont confondus avec le point géométrique $I$. Vitesse de glissement: $\vec{v}_g(S_1/S_2) = \vec{v}(I_1/S_2) = \vec{v}(I_1/\mathcal{R}_0) - \vec{v}(I_2/\mathcal{R}_0)$. Roulement et pivotement: $\vec{\Omega}(S_1/S_2) = \vec{\Omega}_r + \vec{\Omega}_p$. $\vec{\Omega}_r = \vec{n} \wedge (\vec{\Omega}(S_1/S_2) \wedge \vec{n})$: rotation de roulement (autour de l'axe tangent). $\vec{\Omega}_p = (\vec{\Omega}(S_1/S_2) \cdot \vec{n})\vec{n}$: rotation de pivotement (autour de l'axe normal). II-5-2. Contact multi-ponctuel (types de liaisons) Liaison rotoïde (pivot): $(S_1)$ tourne autour d'un axe $(\mathcal{A}, \vec{k})$ fixe par rapport à $(S_2)$. $\vec{\Omega}(S_1/S_2) = \dot{\phi}\vec{k}$, $\vec{v}(A \in S_1/S_2) = \vec{0}$. Torseur cinématique: $[\mathcal{T}(A)] = [\vec{0}, \dot{\phi}\vec{k}]_A$. C'est un glisseur. Liaison glissière: $(S_1)$ translate le long d'un axe $(\mathcal{A}, \vec{k})$ fixe par rapport à $(S_2)$. $\vec{\Omega}(S_1/S_2) = \vec{0}$, $\vec{v}(A \in S_1/S_2) = \dot{\lambda}\vec{k}$. Torseur cinématique: $[\mathcal{T}(A)] = [\dot{\lambda}\vec{k}, \vec{0}]_A$. C'est un couple. Liaison verrou (pivot-glissant): $(S_1)$ tourne et translate le long d'un axe $(\mathcal{A}, \vec{k})$ fixe par rapport à $(S_2)$. $\vec{\Omega}(S_1/S_2) = \dot{\phi}\vec{k}$, $\vec{v}(A \in S_1/S_2) = \dot{\lambda}\vec{k}$. Torseur cinématique: $[\mathcal{T}(A)] = [\dot{\lambda}\vec{k}, \dot{\phi}\vec{k}]_A$. Liaison sphérique (rotule): $(S_1)$ tourne autour d'un point fixe $A$ par rapport à $(S_2)$. $\vec{v}(A \in S_1/S_2) = \vec{0}$. Torseur cinématique: $[\mathcal{T}(A)] = [\vec{0}, \vec{\Omega}(S_1/S_2)]_A$. C'est un glisseur.