Matemática Essencial

Cheatsheet Content

### Noções Básicas de Álgebra #### Propriedades * **Comutativa:** $a+b = b+a$; $ab = ba$ * **Associativa:** $(a+b)+c = a+(b+c)$; $(ab)c = a(bc)$ * **Distributiva:** $a(b+c) = ab+ac$ * **Elemento Neutro:** $a+0 = a$; $a \cdot 1 = a$ * **Elemento Inverso:** $a+(-a) = 0$; $a \cdot (1/a) = 1$ (para $a \neq 0$) #### Produtos Notáveis * **Quadrado da soma:** $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ * **Quadrado da diferença:** $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ * **Produto da soma pela diferença:** $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ * **Cubo da soma:** $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ * **Cubo da diferença:** $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ #### Fatoração * **Fator comum:** $ab+ac = a(b+c)$ * **Diferença de quadrados:** $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ * **Soma de cubos:** $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ * **Diferença de cubos:** $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ * **Trinômio quadrado perfeito:** $a^2 \pm 2ab+b^2 = (a \pm b)^2$ ### Equações #### Equação do 1º Grau * **Forma:** $ax+b=0$ * **Solução:** $x = -b/a$ (para $a \neq 0$) #### Equação do 2º Grau * **Forma:** $ax^2+bx+c=0$ (para $a \neq 0$) * **Discriminante (Delta):** $\Delta = b^2-4ac$ * **Fórmula de Bhaskara:** $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ * Se $\Delta > 0$: Duas raízes reais e distintas * Se $\Delta = 0$: Duas raízes reais e iguais * Se $\Delta ### Inequações * **Propriedades:** * Somar/subtrair um número: $a 0$: $a bc$ e $a/c > b/c$ (inverte o sinal da desigualdade) * **Resolução:** Analisar o sinal de cada fator (para inequações do 2º grau ou de grau superior, e fracionárias) e fazer o "varal de sinais". ### Funções #### Função do 1º Grau (Função Afim) * **Definição:** $f(x)=ax+b$ * **Gráfico:** Uma reta * **Coeficientes:** * $a$: Coeficiente angular (inclinação da reta) * $b$: Coeficiente linear (onde a reta corta o eixo $y$) * **Raiz:** $x = -b/a$ (onde a reta corta o eixo $x$) * **Crescente/Decrescente:** * Se $a > 0$, $f(x)$ é crescente. * Se $a #### Função do 2º Grau (Função Quadrática) * **Definição:** $f(x)=ax^2+bx+c$ (com $a \neq 0$) * **Gráfico:** Uma parábola * **Concavidade:** * Se $a > 0$, concavidade para cima. * Se $a 0$, $y_v$ é o valor mínimo da função. * Se $a #### Função Exponencial * **Definição:** $f(x)=a^x$ (com $a > 0$ e $a \neq 1$) * **Propriedades:** * $a^0=1$ * $a^1=a$ * $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ * $a^x / a^y = a^{x-y}$ * $(a^x)^y = a^{xy}$ * $(ab)^x = a^x b^x$ * $(a/b)^x = a^x / b^x$ * $a^{-x} = 1/a^x$ * **Gráfico:** * Se $a > 1$, $f(x)$ é crescente. * Se $0 #### Função Logarítmica * **Definição:** $f(x)=\log_b x$ (com $b > 0$ e $b \neq 1$) * **Equivalência:** $\log_b x = y \iff b^y = x$ * **Condições de existência:** $x > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$ * **Propriedades:** * $\log_b 1 = 0$ * $\log_b b = 1$ * $\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$ * $\log_b (x/y) = \log_b x - \log_b y$ * $\log_b (x^n) = n \cdot \log_b x$ * **Mudança de base:** $\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}$ * **Gráfico:** * Se $b > 1$, $f(x)$ é crescente. * Se $0 #### Função Modular * **Definição:** $|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \ge 0 \\ -x, & \text{se } x 0$) * $|x| > a \iff x a$ (para $a > 0$) * **Função:** $f(x)=|x|$ * **Gráfico:** Simétrico em relação ao eixo $y$. #### Funções Trigonométricas * **Função Seno:** $f(x) = \sin x$ * Domínio: $\mathbb{R}$ * Imagem: $[-1, 1]$ * Período: $2\pi$ * **Função Cosseno:** $f(x) = \cos x$ * Domínio: $\mathbb{R}$ * Imagem: $[-1, 1]$ * Período: $2\pi$ * **Função Tangente:** $f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ * Domínio: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ * Imagem: $\mathbb{R}$ * Período: $\pi$ ### Trigonometria #### Arcos e Ângulos * **Conversão:** * Grau para Radiano: $Ângulo_{rad} = Ângulo_{graus} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$ * Radiano para Grau: $Ângulo_{graus} = Ângulo_{rad} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$ * **Comprimento de um arco ($L$):** $L = R \cdot \theta$ (onde $R$ é o raio e $\theta$ é o ângulo em radianos) #### Seno, Cosseno e Tangente (Círculo Trigonométrico) * **Definições:** * $\sin \theta = y$ (coordenada $y$ no círculo unitário) * $\cos \theta = x$ (coordenada $x$ no círculo unitário) * $\tan \theta = y/x$ * **Identidade Fundamental:** $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ * **Relações Derivadas:** * $\sec \theta = 1/\cos \theta$ * $\csc \theta = 1/\sin \theta$ * $\cot \theta = 1/\tan \theta = \cos \theta / \sin \theta$ * $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ * $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ * **Sinais nos Quadrantes:** | Quadrante | Seno | Cosseno | Tangente | |-----------|------|---------|----------| | I | + | + | + | | II | + | - | - | | III | - | - | + | | IV | - | + | - | #### Razões Trigonométricas e Relações Métricas do Triângulo Retângulo * **Razões (SOH CAH TOA):** * $\sin \alpha = \text{Cateto Oposto} / \text{Hipotenusa}$ * $\cos \alpha = \text{Cateto Adjacente} / \text{Hipotenusa}$ * $\tan \alpha = \text{Cateto Oposto} / \text{Cateto Adjacente}$ * **Teorema de Pitágoras:** $a^2 = b^2 + c^2$ (onde $a$ é a hipotenusa) * **Relações Métricas:** * $h^2 = m \cdot n$ * $b^2 = a \cdot m$ * $c^2 = a \cdot n$ * $b \cdot c = a \cdot h$ * $a = m+n$ * (Onde $h$ é a altura relativa à hipotenusa, $m$ e $n$ são as projeções dos catetos na hipotenusa, $b$ e $c$ são os catetos, e $a$ é a hipotenusa.) #### Associação de Arcos * **Soma e Diferença de Arcos:** * $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ * $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ * $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ * **Arco Duplo:** * $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ * $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$ * $\tan(2A) = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$ * **Lei dos Senos:** $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ (onde $R$ é o raio da circunferência circunscrita) * **Lei dos Cossenos:** $a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A$ ### Progressões #### Progressão Aritmética (PA) * **Definição:** Sequência onde a diferença entre termos consecutivos é constante (razão $r$). * **Termo Geral:** $a_n = a_1 + (n-1)r$ * **Razão:** $r = a_n - a_{n-1}$ * **Soma dos $n$ primeiros termos:** $S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}$ * **Propriedade:** Para 3 termos consecutivos, $a_k = \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}$ #### Progressão Geométrica (PG) * **Definição:** Sequência onde a razão entre termos consecutivos é constante (razão $q$). * **Termo Geral:** $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ * **Razão:** $q = a_n / a_{n-1}$ * **Soma dos $n$ primeiros termos:** $S_n = \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ (para $q \neq 1$) * **Soma de PG Infinita:** $S_\infty = \frac{a_1}{1-q}$ (para $|q|