Flots & Systèmes Différentiels

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Introduction aux Équations Différentielles Ordinaires (EDO) Une EDO est une relation entre une fonction inconnue d'une variable indépendante, ses dérivées et la variable elle-même. Forme générale : $F(t, y(t), y'(t), ..., y^{(n)}(t)) = 0$. Forme normale : $y^{(n)}(t) = f(t, y(t), ..., y^{(n-1)}(t))$. 1. Flots d'une Équation Différentielle 1.1 Définition du flot Considérons une EDO autonome de la forme $\dot{x} = f(x)$, où $x \in \mathbb{R}^n$ et $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ est un champ de vecteurs. Le flot de cette EDO est une fonction $\phi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, notée $\phi_t(x_0)$, qui associe à chaque temps $t$ et à chaque condition initiale $x_0$ la solution unique $x(t)$ du problème de Cauchy : $\dot{x}(t) = f(x(t))$ $x(0) = x_0$ On écrit souvent $x(t; x_0)$ pour désigner la solution passant par $x_0$ à $t=0$. Alors $\phi_t(x_0) = x(t; x_0)$. 1.2 Propriétés du flot Identité : $\phi_0(x_0) = x_0$ (à $t=0$, la solution est la condition initiale). Propriété de semi-groupe (ou composition) : $\phi_{t+s}(x_0) = \phi_t(\phi_s(x_0)) = \phi_s(\phi_t(x_0))$. Cela signifie que suivre le flot pendant $s$ unités de temps, puis pendant $t$ unités de temps, est équivalent à le suivre pendant $t+s$ unités de temps. Différentiabilité : Si $f$ est suffisamment lisse (par exemple, de classe $C^k$), alors le flot $\phi_t(x_0)$ est également $C^k$ par rapport à $t$ et $x_0$. Inversibilité : Pour tout $t$, la fonction $\phi_t: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ est un homéomorphisme (et un difféomorphisme si $f$ est $C^1$). Son inverse est $\phi_{-t}$. 1.3 Exemples de flots EDO linéaire 1D : $\dot{x} = ax$ Solution : $x(t) = x_0 e^{at}$ Flot : $\phi_t(x_0) = x_0 e^{at}$ EDO linéaire 2D : $\dot{x} = Ax$, où $A$ est une matrice $n \times n$. Solution : $x(t) = e^{At} x_0$ (où $e^{At}$ est l'exponentielle de matrice). Flot : $\phi_t(x_0) = e^{At} x_0$ Champ de vecteurs constant : $\dot{x} = c$ (où $c \in \mathbb{R}^n$) Solution : $x(t) = x_0 + ct$ Flot : $\phi_t(x_0) = x_0 + ct$ (translation) 2. Systèmes Différentiels Équivalents 2.1 Définition de l'équivalence Deux systèmes différentiels autonomes, $\dot{x} = f(x)$ et $\dot{y} = g(y)$, sont dits équivalents s'il existe un difféomorphisme $h: U \to V$ (où $U, V$ sont des ouverts de $\mathbb{R}^n$) tel que $h$ transforme les trajectoires du premier système en les trajectoires du second, et vice-versa. Plus précisément, si $x(t)$ est une solution du premier système, alors $y(t) = h(x(t))$ est une solution du second système. Mathématiquement, cela signifie que $g(h(x)) = Dh(x) \cdot f(x)$ pour tout $x \in U$, où $Dh(x)$ est la matrice jacobienne de $h$ au point $x$. 2.2 Types d'équivalence Équivalence topologique : Il existe un homéomorphisme $h$ (continu avec inverse continu) qui transforme les trajectoires d'un système en celles de l'autre, en préservant le sens du temps. Les points d'équilibre sont transformés en points d'équilibre. Le type de stabilité (stable, instable, asymptotiquement stable) est préservé. Les orbites périodiques sont transformées en orbites périodiques. Équivalence lisse (ou difféomorphique) : L'homéomorphisme $h$ et son inverse $h^{-1}$ sont des fonctions différentiables (de classe $C^k$ pour un $k \ge 1$). Cette équivalence est plus forte et préserve des propriétés géométriques plus fines des trajectoires. Équivalence linéaire : Une forme spécifique d'équivalence où $h$ est une transformation linéaire (par exemple, $y = Px$ où $P$ est une matrice inversible). Souvent utilisée pour simplifier des systèmes non linéaires au voisinage de points d'équilibre (linéarisation). 2.3 Importance de l'équivalence L'équivalence permet de classer les systèmes différentiels en classes d'objets ayant le même comportement dynamique. Si deux systèmes sont équivalents, l'étude de l'un peut donner des informations sur l'autre, souvent plus complexe. En particulier, l'équivalence topologique est fondamentale pour la classification des portraits de phase. 2.4 Linéarisation et équivalence Considérons un système non linéaire $\dot{x} = f(x)$ avec un point d'équilibre $x^*$. En translatant l'origine à $x^*$, on obtient $\dot{y} = f(x^*+y)$. La linéarisation autour de $x^*$ donne le système linéaire $\dot{y} = J(x^*)y$, où $J(x^*)$ est la matrice jacobienne de $f$ en $x^*$. Le théorème de Hartman-Grobman affirme que si la matrice jacobienne $J(x^*)$ n'a pas de valeurs propres avec une partie réelle nulle (c'est-à-dire que $x^*$ est un point d'équilibre hyperbolique), alors le système non linéaire est localement topologiquement équivalent au système linéaire linéarisé au voisinage de $x^*$. Cela signifie que le portrait de phase du système non linéaire ressemble à celui du système linéaire près de $x^*$. 3. Diagramme de la relation entre Flots et Systèmes EDO: $\dot{x}=f(x)$ Flot $\phi_t(x_0)$ Portrait de Phase Génère Décrit Équivalence (Topologique/Lisse) Relie Classe Préserve les propriétés dynamiques 4. Concepts Clés et Terminologie Champ de vecteurs : La fonction $f(x)$ dans $\dot{x} = f(x)$, qui associe un vecteur de vitesse à chaque point de l'espace des phases. Espace des phases : L'espace où les états du système évoluent. Pour $\dot{x} = f(x)$, c'est $\mathbb{R}^n$. Trajectoire (ou orbite) : L'ensemble des points parcourus par une solution $x(t)$ du système dans l'espace des phases. C'est l'image de la fonction $t \mapsto \phi_t(x_0)$. Portrait de phase : Une représentation graphique des trajectoires d'un système dynamique dans l'espace des phases. Point d'équilibre (point fixe) : Un point $x^*$ tel que $f(x^*) = 0$. Si le système démarre à $x^*$, il y reste pour toujours. Stabilité : Asymptotiquement stable, stable (Lyapunov), instable. Hyperbolique : Toutes les valeurs propres de la jacobienne $J(x^*)$ ont une partie réelle non nulle. Variété stable ($W^s(x^*)$) : L'ensemble des points dont les trajectoires tendent vers $x^*$ lorsque $t \to +\infty$. Variété instable ($W^u(x^*)$) : L'ensemble des points dont les trajectoires tendent vers $x^*$ lorsque $t \to -\infty$. Cycles limites : Orbites périodiques isolées dans l'espace des phases. 5. Transformation de systèmes non autonomes en systèmes autonomes Un système non autonome est de la forme $\dot{x} = f(t, x)$. On peut le transformer en un système autonome en augmentant la dimension de l'espace d'état. Soit $y = (x, t)$. Alors $\dot{y} = (\dot{x}, \dot{t})$. On définit $\dot{t} = 1$. Le nouveau système autonome est : $\dot{x} = f(t, x)$ $\dot{t} = 1$ Ce système est maintenant de la forme $\dot{y} = G(y)$ où $G(x,t) = (f(t,x), 1)$. Le flot de ce système autonome existe. 6. Flots et Champs de Vecteurs Le champ de vecteurs $f(x)$ est le générateur infinitésimal du flot $\phi_t(x_0)$. On a la relation : $\frac{d}{dt} \phi_t(x_0) \Big|_{t=0} = f(x_0)$. Cette relation met en évidence le lien profond entre la description statique (le champ de vecteurs) et la description dynamique (le flot des solutions).