Systèmes Différentiels Linéaires

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1. Représentation Matricielle du Système Le système différentiel donné est : $x' = 2x + z$ $y' = x - y - z$ $z' = -x + 2y + 2z$ On peut l'écrire sous forme matricielle $\mathbf{X}' = A\mathbf{X}$, où $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $A$ est la matrice des coefficients : $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$ 2. Calcul des Valeurs Propres Pour trouver les valeurs propres $\lambda$, on calcule le déterminant de $(A - \lambda I)$ et on l'annule : $$ \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1 \\ 1 & -1-\lambda & -1 \\ -1 & 2 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0 $$ En développant le déterminant : $(2-\lambda)[(-1-\lambda)(2-\lambda) - (-1)(2)] - 0 + 1[1(2) - (-1)(-1-\lambda)] = 0$ $(2-\lambda)[-2 + \lambda - 2\lambda + \lambda^2 + 2] + [2 - (1+\lambda)] = 0$ $(2-\lambda)[\lambda^2 - \lambda] + [1 - \lambda] = 0$ $\lambda(2-\lambda)(\lambda-1) - (\lambda-1) = 0$ $(\lambda-1)[\lambda(2-\lambda) - 1] = 0$ $(\lambda-1)[2\lambda - \lambda^2 - 1] = 0$ $(\lambda-1)[-(\lambda^2 - 2\lambda + 1)] = 0$ $(\lambda-1)[-(\lambda-1)^2] = 0$ $-(\lambda-1)^3 = 0$ On trouve une valeur propre triple : $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 1$. 3. Calcul des Vecteurs Propres (Généralisés) Pour $\lambda = 1$, on cherche les vecteurs propres $\mathbf{v}$ tels que $(A - I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ : $$ (A - I) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$ On résout $(A - I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ : $x + z = 0 \implies z = -x$ $x - 2y - z = 0 \implies x - 2y - (-x) = 0 \implies 2x - 2y = 0 \implies y = x$ $-x + 2y + z = 0 \implies -x + 2x - x = 0 \implies 0 = 0$ Le sous-espace propre est engendré par un seul vecteur propre, par exemple $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Puisqu'il n'y a qu'un seul vecteur propre pour une valeur propre de multiplicité 3, la matrice $A$ n'est pas diagonalisable. Nous devons chercher des vecteurs propres généralisés. 3.1 Deuxième Vecteur Propre Généralisé $\mathbf{v}_2$: $(A-I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1$ $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$ $x + z = 1 \implies z = 1 - x$ $x - 2y - z = 1 \implies x - 2y - (1-x) = 1 \implies 2x - 2y - 1 = 1 \implies 2x - 2y = 2 \implies x - y = 1 \implies y = x - 1$ $-x + 2y + z = -1 \implies -x + 2(x-1) + (1-x) = -1 \implies -x + 2x - 2 + 1 - x = -1 \implies -1 = -1$ (cohérent) On peut choisir $x=1$. Alors $y=0$ et $z=0$. Donc $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. 3.2 Troisième Vecteur Propre Généralisé $\mathbf{v}_3$: $(A-I)\mathbf{v}_3 = \mathbf{v}_2$ $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ $x + z = 1 \implies z = 1 - x$ $x - 2y - z = 0 \implies x - 2y - (1-x) = 0 \implies 2x - 2y - 1 = 0 \implies 2x - 2y = 1 \implies y = x - \frac{1}{2}$ $-x + 2y + z = 0 \implies -x + 2(x - \frac{1}{2}) + (1-x) = 0 \implies -x + 2x - 1 + 1 - x = 0 \implies 0 = 0$ (cohérent) On peut choisir $x=0$. Alors $y = -\frac{1}{2}$ et $z=1$. Donc $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1/2 \\ 1 \end{pmatrix}$. 4. Solution Générale du Système La solution générale d'un système $\mathbf{X}' = A\mathbf{X}$ avec une valeur propre $\lambda$ et des vecteurs propres généralisés $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$ est de la forme : $$ \mathbf{X}(t) = c_1 e^{\lambda t} \mathbf{v}_1 + c_2 e^{\lambda t} (\mathbf{v}_2 + t\mathbf{v}_1) + c_3 e^{\lambda t} (\mathbf{v}_3 + t\mathbf{v}_2 + \frac{t^2}{2}\mathbf{v}_1) $$ En substituant $\lambda = 1$, $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1/2 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $$ \mathbf{X}(t) = e^t \left[ c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right) + c_3 \left( \begin{pmatrix} 0 \\ -1/2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{t^2}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \right] $$ Regroupant les termes pour chaque composante : $$ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} = e^t \begin{pmatrix} c_1 + c_2(1+t) + c_3(t + \frac{t^2}{2}) \\ c_1 + c_2 t + c_3(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{2}) \\ -c_1 - c_2 t + c_3(1 - \frac{t^2}{2}) \end{pmatrix} $$ Soit : $x(t) = e^t \left( c_1 + c_2(1+t) + c_3(t + \frac{t^2}{2}) \right)$ $y(t) = e^t \left( c_1 + c_2 t + c_3(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{2}) \right)$ $z(t) = e^t \left( -c_1 - c_2 t + c_3(1 - \frac{t^2}{2}) \right)$ 5. Application des Conditions Initiales On a $x(0) = \alpha$, $y(0) = \beta$, $z(0) = \gamma$. En substituant $t=0$ dans la solution générale : $x(0) = e^0 (c_1 + c_2(1+0) + c_3(0 + 0)) = c_1 + c_2 = \alpha$ $y(0) = e^0 (c_1 + c_2(0) + c_3(-\frac{1}{2} + 0)) = c_1 - \frac{1}{2}c_3 = \beta$ $z(0) = e^0 (-c_1 - c_2(0) + c_3(1 - 0)) = -c_1 + c_3 = \gamma$ On a le système linéaire pour $c_1, c_2, c_3$ : (1) $c_1 + c_2 = \alpha$ (2) $c_1 - \frac{1}{2}c_3 = \beta$ (3) $-c_1 + c_3 = \gamma$ De (3), $c_3 = \gamma + c_1$. Substituer $c_3$ dans (2) : $c_1 - \frac{1}{2}(\gamma + c_1) = \beta \implies c_1 - \frac{1}{2}\gamma - \frac{1}{2}c_1 = \beta \implies \frac{1}{2}c_1 = \beta + \frac{1}{2}\gamma \implies c_1 = 2\beta + \gamma$. Substituer $c_1$ dans (3) : $c_3 = \gamma + (2\beta + \gamma) = 2\beta + 2\gamma$. Substituer $c_1$ dans (1) : $c_2 = \alpha - c_1 = \alpha - (2\beta + \gamma) = \alpha - 2\beta - \gamma$. Donc les constantes sont : $c_1 = 2\beta + \gamma$ $c_2 = \alpha - 2\beta - \gamma$ $c_3 = 2\beta + 2\gamma$ 6. Solution Particulière En substituant les valeurs de $c_1, c_2, c_3$ dans la solution générale, on obtient la solution unique pour les conditions initiales données : $$ x(t) = e^t \left( (2\beta + \gamma) + (\alpha - 2\beta - \gamma)(1+t) + (2\beta + 2\gamma)(t + \frac{t^2}{2}) \right) $$ $$ y(t) = e^t \left( (2\beta + \gamma) + (\alpha - 2\beta - \gamma)t + (2\beta + 2\gamma)(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{2}) \right) $$ $$ z(t) = e^t \left( -(2\beta + \gamma) - (\alpha - 2\beta - \gamma)t + (2\beta + 2\gamma)(1 - \frac{t^2}{2}) \right) $$