Physics Formulas

Cheatsheet Content

### ভেক্টর (Vectors) - **ভেক্টরের যোগ (Vector Addition):** $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ - **ভেক্টরের বিয়োগ (Vector Subtraction):** $\vec{R} = \vec{Q} - \vec{P}$ - **ভেক্টর গুণন (Vector Multiplication):** $\vec{R} = \vec{P} \times \vec{Q}$ (Cross Product) - **লব্ধি ভেক্টরের মান (Magnitude of Resultant Vector):** $R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha}$ - **লব্ধি ভেক্টরের দিক (Direction of Resultant Vector):** - $\tan \theta = \frac{Q \sin \alpha}{P + Q \cos \alpha} \implies \theta = \tan^{-1} \left(\frac{Q \sin \alpha}{P + Q \cos \alpha}\right)$ (P এর সাথে কোণ) - $\tan \theta' = \frac{P \sin \alpha}{Q + P \cos \alpha} \implies \theta' = \tan^{-1} \left(\frac{P \sin \alpha}{Q + P \cos \alpha}\right)$ (Q এর সাথে কোণ) - **ল্যামির উপপাদ্য (Lami's Theorem):** - $\frac{P}{\sin \beta} = \frac{Q}{\sin \gamma} = \frac{R}{\sin \alpha}$ (এখানে $\alpha, \beta, \gamma$ হলো যথাক্রমে $Q, R$; $P, R$; $P, Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ) - **উপাংশ (Components):** - **অনুবন্ধী উপাংশ (Component along another vector):** $R \cos \alpha$ - **লম্ব উপাংশ (Perpendicular Component):** $R \sin \alpha$ - **ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্কে ভেক্টর (Vector in 3D Coordinates):** - $\vec{P} = P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}$ - **মানের সূত্র (Magnitude Formula):** $|\vec{P}| = \sqrt{P_x^2 + P_y^2 + P_z^2}$ - **একক ভেক্টর (Unit Vector):** $\hat{P} = \frac{\vec{P}}{|\vec{P}|} = \frac{P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}}{\sqrt{P_x^2 + P_y^2 + P_z^2}}$ - **একাধিক ভেক্টরের লব্ধি (Resultant of Multiple Vectors):** - $\vec{S} = \vec{P} + \vec{Q} + \vec{R}$ - $S = \sqrt{P^2 + Q^2 + R^2 + 2PQ \cos(\vec{P},\vec{Q}) + 2QR \cos(\vec{Q},\vec{R}) + 2RP \cos(\vec{R},\vec{P})}$ - **ডট গুণন (Dot Product / Scalar Product):** - $\vec{P} \cdot \vec{Q} = P_x Q_x + P_y Q_y + P_z Q_z = PQ \cos \alpha$ - $\implies \cos \alpha = \frac{P_x Q_x + P_y Q_y + P_z Q_z}{PQ}$ - **ক্রস গুণন (Cross Product / Vector Product):** - $\vec{P} \times \vec{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ P_x & P_y & P_z \\ Q_x & Q_y & Q_z \end{vmatrix} = (P_y Q_z - P_z Q_y)\hat{i} - (P_x Q_z - P_z Q_x)\hat{j} + (P_x Q_y - P_y Q_x)\hat{k}$ - $|\vec{P} \times \vec{Q}| = PQ \sin \alpha \cdot \hat{n}$ (যেখানে $\hat{n}$ হলো $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর) - **সমান্তরাল ভেক্টর (Parallel Vectors):** - $P || Q$ যখন $\vec{P} \times \vec{Q} = 0$ অথবা $\frac{P_x}{Q_x} = \frac{P_y}{Q_y} = \frac{P_z}{Q_z}$ - **দিক কোসাইন (Direction Cosines):** - $\vec{P}$ ভেক্টর এর $X, Y, Z$ অক্ষের সাথে কোণ নির্ণয়: - $\cos \theta_x = \frac{P_x}{|\vec{P}|} \implies \theta_x = \cos^{-1} \left(\frac{P_x}{|\vec{P}|}\right)$ - $\cos \theta_y = \frac{P_y}{|\vec{P}|} \implies \theta_y = \cos^{-1} \left(\frac{P_y}{|\vec{P}|}\right)$ - $\cos \theta_z = \frac{P_z}{|\vec{P}|} \implies \theta_z = \cos^{-1} \left(\frac{P_z}{|\vec{P}|}\right)$ - $\cos^2 \theta_x + \cos^2 \theta_y + \cos^2 \theta_z = 1$ - **একক ভেক্টরের ডট গুণন (Dot Products of Unit Vectors):** - $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ - $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$ - $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$ - **একক ভেক্টরের ক্রস গুণন (Cross Products of Unit Vectors):** - $\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0$ - $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}; \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}; \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$ - $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}; \hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}; \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $R$ = লব্ধি ভেক্টর (Resultant Vector) - $\alpha$ = $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ (Angle between $\vec{P}$ and $\vec{Q}$) - $\theta$ = $\vec{P}$ ও লব্ধি $R$ এর মধ্যবর্তী কোণ (Angle between $\vec{P}$ and resultant $R$) - $\theta'$ = $\vec{Q}$ ও লব্ধি $R$ এর মধ্যবর্তী কোণ (Angle between $\vec{Q}$ and resultant $R$) ### গতিবিদ্যা (Kinematics) - $v = v_0 + at$ - $s = (\frac{v+v_0}{2})t$ - $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ - $v^2 = v_0^2 + 2as$ - $v = st$ [ভুল] - $s_{nth} = v_0 + \frac{1}{2}a(2t-1)$ - $v = \frac{s}{t}$ - $v = \frac{(v+v_0)}{2}$ - $v_{instant} = \frac{ds}{dt}$ - $a = \frac{dv}{dt}$ - $a = \frac{d^2s}{dt^2}$ - $a = v \frac{dv}{ds}$ - $a = \frac{v-v_0}{t}$ - **গ্যালিলিওর সূত্র (Galileo's Law):** $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t_1}{t_2}$ $\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{h_1}{h_2}$ - $x = v_0 \cos \alpha \cdot t$ - $y = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$ - $y = x \cdot \tan \alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}$ - $y = x \cdot \tan \theta (1 - \frac{x}{R})$ - $T = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$ - $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ - $R = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$ - $R = \frac{v_0^2}{g} \times (\sin \alpha \cos \alpha)$ [ভুল] - $H_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$ - $t_{up} = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $v$ = শেষ বেগ - $v_0$ = আদিবেগ - $s$ = সরণ - $s_{nth}$ = $t$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব - $a$ = ত্বরণ - $t$ = সময় - $v$ = গড়বেগ - $v_{instant}$ = তাৎক্ষণিক বেগ - $a$ = গড়ত্বরণ - $x$ = অনুভূমিক সরণ - $y$ = উল্লম্ব সরণ - $\alpha_0$ = নিক্ষিপ্ত কোণ - $v_0$ = নিক্ষিপ্ত বেগ - $T$ = বিচরণকাল - $H$ = সর্বোচ্চ উচ্চতা - $R$ = অনুভূমিক পাল্লা - $t_h$ = উচ্চতায় উঠতে প্রয়োজনীয় ### বৃত্তাকার গতি (Circular Motion) - $\omega = \omega_0 + \alpha t$ - $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ - $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$ - $\omega = \frac{1}{2}(\omega + \omega_0)$ - $v = r\omega$ - $v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r n = 2\pi f r$ - $a_t = r\alpha$ - $a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2 = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = 4\pi^2 r f^2$ - $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$ - $F_c = m a_c = \frac{mv^2}{r} = m r \omega^2$ - $N = \frac{\theta}{2\pi}$ - $N = \frac{t}{T}$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $\omega$ = কৌণিক বেগ - $\omega_0$ = আদি কৌণিক বেগ - $\alpha$ = কৌণিক ত্বরণ - $\theta$ = কৌণিক সরণ - $\theta_0$ = আদি কৌণিক সরণ - $v$ = রৈখিক বেগ - $r$ = ব্যাসার্ধ - $F_c$ = কেন্দ্রমুখী বল - $a_c$ = কেন্দ্রমুখী ত্বরণ - $N$ = ঘূর্ণন সংখ্যা #### SHORTCUT - $t$ ও $n$ তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব $S_t$ ও $S_n$ হলে, $a = \frac{S_t - S_n}{t-n}$ - $\tan \alpha = \frac{4H}{R}$ - $v = \sqrt{rg}$ (যদি একটি বৃত্তাকার পথে একটি বস্তু ঘুরতে থাকে, তবে) - $T = \sqrt{\frac{2(h-y)}{g}} + \sqrt{\frac{2y}{g}}$ (হিসাব করার জন্য) - **নিক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে:** $h$ উচ্চতা থেকে আনুভূমিক ভাবে নিক্ষিপ্ত বস্তুর দূরত্ব অতিক্রম করার জন্য $x = v_x t$ $y = \frac{1}{2}gt^2$ $t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$ - **স্থির অবস্থান থেকে যাত্রা শুরু করে প্রথম $S_1$ সেকেন্ডে $S_2$ দূরত্ব অতিক্রম করলে, পরবর্তী $S_3$ দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় লাগবে:** $t = \sqrt{\frac{S_1 + S_2 + S_3}{g}} - \sqrt{\frac{S_1 + S_2}{g}}$ - $v_0$ আদিবেগে কোন বস্তুটি $S_1$ সেকেন্ডে $S_2$ দূরত্ব অতিক্রম করে $P$ সেকেন্ডে, তবে $v_0 = \frac{S}{t}$ $\frac{v_0}{S_1} = \frac{S_2}{P}$ - **প্রতিরোধের প্রভাব:** $F = \frac{1}{2}C \rho A v^2$ (বায়ুতে) - **$h$ উচ্চতা থেকে কোনো বস্তুকে ফেলে দিলে এবং একই সাথে $v$ বেগে ভূমি থেকে অন্য বস্তুকে নিক্ষেপ করলে তারা $t$ সময়ে পর $h$ উচ্চতায় মিলিত হবে:** $t = \frac{h}{v_0 + \sqrt{v_0^2 - 2gh}}$ ### নিউটনিয়ান বলবিদ্যা (Newtonian Mechanics) - $\sum F = ma = \frac{d}{dt}(mv)$ - $J = F \Delta t = \Delta p = mv - mu$ - $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$ - $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$ (একমাত্রিক সংঘর্ষ) - $u_1 - u_2 = -(v_1 - v_2)$ (প্রত্যয়াবর্তন সহগ $e=1$ এর জন্য) - **স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের ক্ষেত্রে:** $v_1 = \frac{(m_1-m_2)u_1 + 2m_2 u_2}{m_1+m_2}$, $v_2 = \frac{(m_2-m_1)u_2 + 2m_1 u_1}{m_1+m_2}$ - $\vec{MV} = -m\vec{v}$ (কামান বা বন্দুকের ক্ষেত্রে) - $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ - $\sin \theta = \frac{R}{2r}$ - **নিরাপদ বাঁক নেওয়ার শর্ত:** $v = \sqrt{r g \tan \theta}$ - **উত্তোলন বল (Lift Force):** $F = mg + ma$ - **রকেটের উর্ধ্বমুখী ধাক্কা:** $F = v_e \frac{dm}{dt} - mg$ - **নিচের সমতলের উপর রকেটের উর্ধ্বমুখী ধাক্কা:** $F = v_e \frac{dm}{dt}$ - **জ্বালানী শেষ হওয়ার মুহূর্ত পর্যন্ত বল:** $F = v_e \frac{dm}{dt}$ - **রকেটের বেগ:** $v = v_0 + v_e \ln \frac{m_0}{m} - gt$ - **টর্ক (Torque):** $\tau = rF \sin \theta$ - **রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র:** $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ - $\tau = \vec{r} \times \vec{F} = I \alpha$ - $I = \sum m r^2 = MK^2$ - $I_{CM} = I_{CM} + Mh^2$ - $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ - $L = I\omega = mvr \sin \phi$ - **রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র:** $\tau = \frac{d\vec{L}}{dt}$ - $E_k = \frac{L^2}{2I}$ - $\sum E_k = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}I \omega^2$ - $P = \tau \omega$ - **কৌণিক ভরবেগ:** $L = I \omega$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $F$ = বল - $m$ = ভর - $a$ = ত্বরণ - $v$ = বেগ - $u$ = আদিবেগ - $\Delta t$ = সময়ের পরিবর্তন - $p$ = ভরবেগ - $r$ = ব্যাসার্ধ - $v_e$ = রকেটের উর্ধ্বমুখী ধাক্কা - $v_e$ = রকেটের সাপেক্ষ নির্গত গ্যাসের নিম্নমুখী বেগ - $m$ = জ্বালানী শেষ হওয়ার পর রকেটের ভর - $m_0$ = জ্বালানীসহ রকেটের ভর - $g$ = অভিকর্ষজ ত্বরণ - $\frac{dm}{dt}$ = রকেটের জ্বালানী নির্গমনের হার - $v_0$ = রকেটের আদিবেগ - $\tau$ = টর্ক - $I$ = জড়তার ভ্রামক - $K$ = ঘূর্ণন ব্যাসার্ধ - $L$ = কৌণিক ভরবেগ - $\omega$ = কৌণিক বেগ - $E_k$ = গতিশক্তি - $\alpha$ = কৌণিক ত্বরণ - **স্থির ঘর্ষণ বল:** $F_s = \mu_s R$ $\implies F_s \le \mu_s R$ - **চল ঘর্ষণ বল:** $F_k = \mu_k R$ $\implies \mu_k = \tan \lambda$ - $a = \frac{(P - F_k) - mg \sin \alpha}{m}$ - $\sum F = -mg \sin \alpha + F \cos \theta$ - **বস্তুটি উপরের দিকে চলার উপক্রম হলে,** $F_s = \sum F = -mg \sin \alpha + P \cos \theta$ তাহলে, $F_s = \mu_s R$ থেকে পাই, $P = \frac{mg (\sin \alpha + \mu_s \cos \alpha)}{\cos \theta + \mu_s \sin \theta}$ $a = \frac{P \cos \theta - mg \sin \alpha - \mu_k mg \cos \alpha}{m}$ - **বস্তুটি নিচের দিকে চলার উপক্রম হলে,** $F_s = -\sum F = mg \sin \alpha - P \cos \theta$ তাহলে, $F_s = \mu_s R$ থেকে পাই, $P = \frac{mg (\sin \alpha - \mu_s \cos \alpha)}{\cos \theta - \mu_s \sin \theta}$ - **$\theta = 0$ অর্থাৎ আনুভূমিক সমতলে,** $F = mg (\mu_s \cos \alpha - \sin \alpha)$ $\tan \alpha = \mu_s \implies \alpha = \tan^{-1}(\mu_s)$ - **$a = 0$ হলে,** $F = \frac{\mu_s mg}{1 + \mu_s \cot \theta}$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $F_s$ = স্থির ঘর্ষণ বল - $F_k$ = চল ঘর্ষণ বল - $\mu_s$ = স্থির ঘর্ষণ গুণাঙ্ক - $\mu_k$ = চল ঘর্ষণ গুণাঙ্ক - $\lambda$ = ঘর্ষণ কোণ #### SHORTCUT - **বর্তমান গতি ও গতি বৃদ্ধি করার জন্য বেগ:** $v = v_0 \sqrt{N}$ - **অন্যান্য বল বরাবর সরণের/বেগের সাথে গতিশক্তি:** $E = \frac{7}{10} mv^2$ - **$L$ দৈর্ঘ্যের দন্ডের জন্য:** $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ ### কাজ, শক্তি, ক্ষমতা (Work, Power, Energy) - $W = Fs \cos \theta$ - $W = G \frac{M_1 M_2}{r^2}$ (মহাকর্ষ বল দ্বারা কৃতকাজ) - $W = P \Delta V$ (গ্যাসের আয়তন পরিবর্তনের জন্য কৃতকাজ) - $E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}$ - $E_p = mgh$ - $\eta = \frac{\text{উৎপন্ন কাজ}}{\text{প্রদত্ত শক্তি}} \times 100\%$ - $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\%$ - $P = \frac{W}{t} = Fv \cos \theta$ - **গতিশক্তির পরিবর্তন:** $\Delta E_k = W$ - $W = \Delta E_k = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2)$ - $W = \int_{t_1}^{t_2} P dt$ - $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ - $E_p = mgh$ - $\Delta K_E = \frac{1}{2}mg^2(2t-1)$ - $W = mgh$ - $h = l(1-\cos\theta)$ - $v_{max} = \sqrt{2gh}$ - $v_{max} = \sqrt{2gl(1-\cos\theta)}$ - **স্থিতিস্থাপক শক্তি:** $E_p = \frac{1}{2}kx^2$ - **মোট শক্তি:** $E = E_p + E_k = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2$ - **স্থিতিস্থাপক কাজ:** $W = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$ - $U = \frac{1}{2}mgl$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $W$ = কৃতকাজ - $F$ = প্রযুক্ত বল - $s$ = সরণ - $m$ = বস্তুর ভর - $g$ = অভিকর্ষজ ত্বরণ - $v$ = বেগ - $P$ = ক্ষমতা - $E_k$ = গতিশক্তি - $E_p$ = বিভব শক্তি - $E$ = মোট শক্তি - $t$ = সময় - $\Delta E_k$ = গতিশক্তি পরিবর্তন - $h$ = অভিকর্ষজ ত্বরণ - $l$ = সুতার কার্যকর দৈর্ঘ্য - $k$ = স্প্রিং ধ্রুবক - $x$ = সরণ/প্রসারণ - $U$ = বিভব শক্তি #### SHORTCUT - **$m$ ও $N$ সংখ্যক $h$ উচ্চতা বিশিষ্ট কুণ্ডলী ইট সাজিয়ে উচ্চতা:** $W = mgh \frac{N(N-1)}{2}$ - **পানি মেঘে পরিণত হতে কৃতকাজ:** $W = mgh - V\rho gh = \rho g H (V_{total} - V_{submerged})$ - **অভিকর্ষণের প্রভাবে $h$ উচ্চতা থেকে মুক্তভাবে কণা পড়ার জন্য, উপর থেকে প্রযুক্ত বল:** $F = \frac{mg(h+s)}{s}$ - **$m$ ভরের কোন বস্তুটি $v$ বেগে দেওয়ালে/ভুমিতে প্রবেশ করলে,** $\frac{1}{2}mv^2 = Fx$ ### মহাকর্ষ (Gravitation) - $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ - $V = -\frac{GM}{r}$ - $E = -\frac{GMm}{r}$ - $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ (মুক্তিবেগ) - মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি: $W = -\frac{GMm}{r}$ - মহাকর্ষীয় বল দ্বারা কৃতকাজ: $W = G M m (\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$ - $g = G \frac{M}{R^2}$ - $g_h = g (1 - \frac{2h}{R})$ (পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে $h$ উচ্চতায়) - $g_d = g (1 - \frac{d}{R})$ (পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে $d$ গভীরতায়) - $g_\lambda = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ (অক্ষাংশ $\lambda$ এর জন্য) - $g_{eff} = g - a$ (উপরের দিকে ত্বরণ) - **উচ্চতায় আবর্তনকাল:** $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ - **উপগ্রহের গতিবেগ:** $v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ - **উপগ্রহটি ভূপৃষ্ঠের নিকটবর্তী হলে:** $R+h \approx R$ $v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$ - $T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}$ - **ভূস্থির উপগ্রহের ক্ষেত্রে:** $h = (\frac{GMT^2}{4\pi^2})^{1/3} - R$ - **উপগ্রহের শক্তি:** $E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$ - **কেপলারের সূত্র:** $T^2 \propto r^3$ - **কার্যের উপগ্রহের গতিশক্তি $E_k$ ও স্থিতিশক্তি $E_p$ হলে:** $E_p = -2E_k$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $F$ = মহাকর্ষ বল - $V$ = মহাকর্ষীয় বিভব - $m$ = বস্তুর ভর - $M$ = পৃথিবীর ভর - $R$ = পৃথিবীর ব্যাসার্ধ - $r$ = ব্যাসার্ধ - $G$ = মহাকর্ষীয় ধ্রুবক - $g$ = অভিকর্ষজ ত্বরণ - $h$ = উচ্চতা - $d$ = গভীরতা - $\omega$ = কৌণিক বেগ - $\lambda$ = অক্ষাংশ - $T$ = আবর্তনকাল - $v$ = গতিবেগ #### বিশেষ ক্ষেত্র (Special Cases) - **ফাঁপা গোলকের ক্ষেত্রে:** $F = 0$ (ভিতরে) $V = -\frac{GM}{R}$ (ভিতরে) $E = -\frac{GMm}{R}$ (ভিতরে) $F = -\frac{GMm}{r^2}$ (বাইরে) - **নিরেট গোলকের ক্ষেত্রে:** $F = G \frac{Mmr}{R^3}$ (ভিতরে) $V = -\frac{GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ (ভিতরে) $E = -\frac{GMm}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ (ভিতরে) $F = -\frac{GMm}{r^2}$ (বাইরে) $V = -\frac{GM}{r}$ (বাইরে) $E = -\frac{GMm}{r}$ (বাইরে) #### SHORTCUT - **অভিকর্ষজ ত্বরণ $h$ উচ্চতায়:** $h = (\sqrt{N}-1)R$ - **অভিকর্ষজ ত্বরণ $h$ উচ্চতায়:** $h = (\frac{R}{\sqrt{N}}-1)R$ - **পৃথিবীর ব্যাসার্ধের $r$ গুণ এবং পৃথিবীর ভরের $N$ গুণ হলে, পৃথিবীর মুক্তিবেগ হবে চাঁদের মুক্তিবেগের $\sqrt{N/r}$ গুণ:** $v_e = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ $\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times (\frac{R_e}{R_m})^2$ $\frac{v_{em}}{v_{ee}} = \sqrt{\frac{g_m R_m}{g_e R_e}}$ - **পৃথিবী এবং সূর্যের চারদিকে ঘূর্ণনশীল অন্য গ্রহের ফ্রিকোয়েন্সি $T_p$ ও $T_e$ হলে:** $\frac{T_p^2}{T_e^2} = \frac{R_p^3}{R_e^3}$ ### পদার্থের গাঠনিক ধর্ম (Properties of Matter) - **দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক:** $\alpha = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta T}$ - **আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক:** $\gamma = \frac{\Delta V}{V_0 \Delta T}$ - **ইয়ং গুণাঙ্ক:** $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L_0} = \frac{FL_0}{A\Delta L}$ - **পয়সনের অনুপাত:** $\sigma = \frac{\text{পার্শ্বীয় বিকৃতি}}{\text{দৈর্ঘ্য বিকৃতি}} = \frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$ - **স্থিতিস্থাপক সীমা:** $\frac{\text{পীড়ন}}{\text{বিকৃতি}} = \text{ধ্রুবক}$ - **ইয়ং গুণাঙ্ক, আয়তন গুণাঙ্ক, দৃঢ়তা গুণাঙ্ক ও পয়সনের অনুপাতের মধ্যে সম্পর্ক:** $Y = 3B(1-2\sigma) = 2\eta(1+\sigma)$ - **স্থিতিস্থাপক সীমার অপর পার্শ্বে:** $W = \int F dl \implies W = \frac{1}{2}F \Delta L$ $W = \frac{1}{2}Y A \frac{(\Delta L)^2}{L_0} \implies W = \frac{1}{2} \text{পীড়ন} \times \text{বিকৃতি} \times \text{আয়তন}$ - **একক আয়তনে স্থিতিস্থাপক শক্তি:** $E = \frac{1}{2} \text{পীড়ন} \times \text{বিকৃতি}$ - **বিকৃতি শক্তির ক্ষেত্রে মোট স্থিতিশক্তি:** $W = \frac{1}{2} \frac{Y A (\Delta L)^2}{L_0}$ - **তাপমাত্রা পরিবর্তনের ফলে প্রযুক্ত বল:** $F = Y A \alpha \Delta \theta$ - **রুদ্ধতাপীয় পরিবর্তনের ক্ষেত্রে:** $P V^\gamma = \text{ধ্রুবক}$ - **পৃষ্ঠটান:** $T = \frac{F}{L}$ - **পৃষ্ঠশক্তি:** $E_s = T A$ - **কৈশিকতার সূত্র:** $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ - **N সংখ্যক ছোট ছোট ফোঁটা থেকে একটি বড় ফোঁটা তৈরি হলে:** $W = 4\pi R^2 T (N^{1/3} - 1)$ - **ফেনা বুদবুদের জন্য কৃতকাজ:** $W = 8\pi (R_2^2 - R_1^2) T$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $L$ = আদি দৈর্ঘ্য - $\Delta L$ = দৈর্ঘ্য পরিবর্তন - $V$ = আদি আয়তন - $\Delta V$ = আয়তন পরিবর্তন - $A$ = ক্ষেত্রফল - $Y$ = ইয়ং গুণাঙ্ক - $F$ = বল - $\Delta T$ = তাপমাত্রা পরিবর্তন - $D$ = ব্যাস - $\sigma$ = পয়সনের অনুপাত - $B$ = আয়তন গুণাঙ্ক - $\eta$ = দৃঢ়তা গুণাঙ্ক - $\theta$ = কোণ - $P$ = চাপ - $T$ = পৃষ্ঠটান - $E_s$ = পৃষ্ঠশক্তি - $h$ = কৈশিক উচ্চতা - $r$ = ব্যাসার্ধ - $\rho$ = ঘনত্ব - $g$ = অভিকর্ষজ ত্বরণ - $\eta \propto T$ (তাপমাত্রা) - **স্টোকসের সূত্র:** $F = 6\pi \eta r v$ - **পয়সনের সূত্র:** $Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta L}$ - **ধারারেখ প্রবাহের গতিবেগ:** $v = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}}$ - **বার্নুলির উপপাদ্য:** $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{ধ্রুবক}$ - **কৈশিক নলে আরোহণ বা অবনমনের ক্ষেত্রে:** $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ - **ট্রেঞ্চের ক্ষেত্রে:** $T = \frac{\rho g h^2}{2}$ (ভুল) - **পানির স্থিতিস্থাপকতা:** $B = \frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ - **সান্দ্র বল:** $F = \eta A \frac{dv}{dy}$ - **তাপমাত্রা পরিবর্তনের ফলে সান্দ্রতা:** $\eta = \eta_0 (1 + \alpha T + \beta T^2)$ - **সান্দ্রতা:** $\eta = \text{ধ্রুবক}$ (তাপমাত্রা) - **প্রতিপ্রবাহের ক্ষেত্রে:** $\rho v^2 = \frac{1}{2} C_D \rho A v^2$ (ভুল) **সংজ্ঞা (Definitions):** - $\eta$ = সান্দ্রতা সহগ - $v$ = বেগ - $r$ = ব্যাসার্ধ - $P$ = চাপ - $L$ = দৈর্ঘ্য - $Q$ = প্রবাহের হার - $\rho$ = ঘনত্ব - $h$ = উচ্চতা - $\theta$ = কোণ - $A$ = ক্ষেত্রফল - $T$ = পৃষ্ঠটান - $C_D$ = ড্র্যাগ সহগ ### পর্যাবৃত্ত গতি (Periodic Motion) - $F = -kx$ - $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ - $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ - $x = A \sin(\omega t + \delta)$ - $v = A \omega \cos(\omega t + \delta)$ - $a = -A \omega^2 \sin(\omega t + \delta)$ - $v_{max} = A \omega$ - $a_{max} = A \omega^2$ - $E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)$ - $E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$ - $E = E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $F$ = প্রত্যয়নী বল - $k$ = স্প্রিং ধ্রুবক - $m$ = স্প্রিং এর ভর - $\omega$ = কৌণিক বেগ - $T$ = পর্যায়কাল - $x$ = সরণ - $A$ = বিস্তার - $\delta$ = দশা - $v$ = বেগ - $a$ = ত্বরণ - $E_k$ = গতিশক্তি - $E_p$ = বিভব শক্তি - $E$ = মোট শক্তি #### সরল দোলক (Simple Pendulum) - $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ - $L = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$ - $g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$ - $T \approx T_0 (1 + \frac{1}{16}\theta_0^2)$ (বৃহৎ বিস্তারের জন্য) - **সেকেন্ড দোলক (Seconds Pendulum):** $T = 2s$, $L=0.993m$ - $T_{sum} = T_1 + T_2$ - $T_{diff} = |T_1 - T_2|$ #### SHM Shortcuts - **একটি কণার মোট শক্তি:** - গড় গতিশক্তি = $\frac{1}{2}KA^2$ - গড় স্থিতিশক্তি = $\frac{1}{2}KA^2$ - **একটি চক্রে:** - গড় গতিশক্তি = $\frac{1}{2}KA^2$ - গড় স্থিতিশক্তি = $\frac{1}{2}KA^2$ - **সিরিজ সমন্বয় (Series combination):** $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + \dots + \frac{1}{k_n}$ - **সমান্তরাল সমন্বয় (Parallel combination):** $k_{eq} = k_1 + k_2 + \dots + k_n$ - **কোন স্প্রিংটিকে $n$ সংখ্যক সমান ভাগে বিভক্ত করলে,** $k' = nk$ - **কোন স্প্রিংটিকে $m:n$ অনুপাতে বিভক্ত করলে,** $k_m = (\frac{m+n}{m})k$, $k_n = (\frac{m+n}{n})k$ #### SHORTCUT - **সরল দোলকের ক্ষেত্রে:** - $T_m = T_s \sqrt{\frac{L_m}{L_s}}$ - $T = 2\pi \sqrt{\frac{D_{max}}{a_{max}}}$ - **সরল দোলকের দোলনকাল $X\%$ বৃদ্ধি করতে হলে কার্যকর দৈর্ঘ্য $L = L_0 (1 + \frac{X}{100})^2$ করতে হবে** - **ঠিক সময় দেওয়া সেকেন্ড দোলকটি চাঁদে নিয়ে গেলে যদি তা $X$ সেকেন্ড বিলম্বিত হয় তবে চাঁদের উচ্চতা:** $h = \frac{R_e^2}{86400^2}$ - **চাঁদে সেকেন্ড দোলকের দোলন $X\%$ কম হলে,** $T_m = \frac{100}{\sqrt{100-X}} T_e$ ### তরঙ্গ (Waves) - **অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ:** $y = A \sin(\omega t \pm kx)$ $y = A \sin(2\pi ft \pm 2\pi \frac{x}{\lambda})$ $y = A \sin(\frac{2\pi}{T} t \pm \frac{2\pi}{\lambda} x)$ - $t=0$ সময়ে যদি দশা $\delta$ হয়, $y = A \sin(\omega t - kx + \delta)$ - **অগ্রগামী তরঙ্গের শক্তি এবং এককের আয়তনের জন্য:** $E = 2\pi^2 f^2 A^2 \rho v$ - $v = f\lambda$ - $f = \frac{1}{T}$ - $\omega = 2\pi f$ - $\omega = \frac{2\pi}{T}$ - $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ - **তরঙ্গের তীব্রতা:** $I = v \rho \omega^2 A^2$ (ভুল) - **দশা পার্থক্য:** $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ - **বিস্পন্দ বিন্দু:** $x = (2n+1)\frac{\lambda}{4}$ - **নিস্পন্দ বিন্দু:** $x = n\frac{\lambda}{2}$ - **বিপরীত দশা সম্পন্ন দুটি কণার মধ্যবর্তী দূরত্ব:** $\frac{\lambda}{2}$ - **একই দশা সম্পন্ন দুটি কণার মধ্যবর্তী দূরত্ব:** $\lambda$ - **একটি সুস্পন্দ ও একটি নিস্পন্দ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব:** $\frac{\lambda}{4}$ - **পরপর দুটি সুস্পন্দ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব:** $\frac{\lambda}{2}$ - **পরপর দুটি নিস্পন্দ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব:** $\frac{\lambda}{2}$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $y$ = আদি সরণ - $A$ = বিস্তার - $\omega$ = কৌণিক কম্পাঙ্ক - $\delta$ = আদি দশা - $k$ = তরঙ্গ সংখ্যা - $f$ = কম্পাঙ্ক - $\lambda$ = তরঙ্গদৈর্ঘ্য - $T$ = পর্যায়কাল - $N$ = কম্পন সংখ্যা - $s$ = $N$ কম্পনে অতিক্রান্ত দূরত্ব - $v$ = তরঙ্গের বেগ - $x$ = অক্ষ বরাবর সরণ #### স্থির তরঙ্গ (Standing Waves) | অবস্থা | বন্ধ তরঙ্গ (Closed Pipe) | খোলা তরঙ্গ (Open Pipe) | |---|---|---| | প্রথম সুর | $y_1 = A \sin(\frac{2\pi}{\lambda} x) \cos(\omega t)$ | $y_1 = A \cos(\frac{2\pi}{\lambda} x) \cos(\omega t)$ | | দ্বিতীয় সুর | $y_2 = A \sin(\frac{2\pi}{\lambda} x) \cos(\omega t)$ | $y_2 = A \cos(\frac{2\pi}{\lambda} x) \cos(\omega t)$ | | তৃতীয় সুর | $y_3 = A \sin(\frac{2\pi}{\lambda} x) \cos(\omega t)$ | $y_3 = A \cos(\frac{2\pi}{\lambda} x) \cos(\omega t)$ | | নিস্পন্দ বিন্দু | $x = (2n+1)\frac{\lambda}{4}$ | $x = n\frac{\lambda}{2}$ | | সুস্পন্দ বিন্দু | $x = n\frac{\lambda}{2}$ | $x = (2n+1)\frac{\lambda}{4}$ | - **ব্যতিচার:** $Y_R = 2A \cos(\frac{\phi}{2}) \sin(\omega t + \frac{\phi}{2})$ - **লব্ধি বিস্তারের সূত্র:** $A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \delta}$ - **তীব্রতার সূত্র:** $I \propto A^2$ - **শব্দের তীব্রতা:** $I = 2\pi^2 \rho v f^2 A^2$ - **প্রাবাল্যের ক্ষেত্রে (Decibels):** $L_{dB} = 10 \log_{10}(\frac{I}{I_0})$ - **আপেক্ষিক তীব্রতা:** $L_{dB} = 10 \log_{10}(\frac{I_p}{I_r})$ - **তীব্রতা ও তীব্রতার পরিবর্তন:** $\Delta L = L_1 - L_2 = 10 \log_{10}(\frac{I_1}{I_2})$ - **$I_1$ ও $I_2$ তীব্রতার দুটি উৎস থেকে:** $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$, $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ - **টান তারের কম্পাঙ্ক:** $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ - **ডপলার প্রভাব:** $f' = f \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}$ - **$N$ হলে মূল সুরের কম্পাঙ্ক:** $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ - **এক মুখ খোলা ও এক মুখ বন্ধ বাঁশির ক্ষেত্রে:** $f_n = \frac{(2n+1)v}{4L}$ - **মেডোর পরীক্ষা:** $N = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ - **লব্ধি সুরের কম্পাঙ্ক:** $N = |f_1 - f_2|$ - **বিট সংখ্যা:** $N = f_1 - f_2$ - **শ্রোতার কাছে কম্পাঙ্ক:** $f' = f \frac{v}{v-v_s}$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $Y_R$ = লব্ধি তরঙ্গের সরণ - $A$ = বিস্তার - $\lambda$ = তরঙ্গদৈর্ঘ্য - $I$ = তরঙ্গের তীব্রতা - $L$ = দৈর্ঘ্য - $T$ = টান - $\mu$ = একক দৈর্ঘ্যের ভর - $\rho$ = ঘনত্ব - $v$ = বেগ - $f$ = কম্পাঙ্ক - $L_{dB}$ = প্রাবাল্য (ডেসিবেল) - $f_0$ = মূলসুরীয় কম্পাঙ্ক - $f_n$ = $n$-তম উপসুর - $N$ = বিট সংখ্যা - **দুটি দশা সম্পন্ন তরঙ্গ বিন্দুতে মিলিত হলে:** $A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \delta}$ - **লব্ধি তরঙ্গের নিস্পন্দ বিন্দুতে:** $A_R = 2A \cos(\frac{2\pi (f_1-f_2)t}{2})$ (ভুল) - $A = 2A \cos(\frac{2\pi (f_1-f_2)t}{2})$ - $Y_R = A \sin(2\pi f_1 t) + A \sin(2\pi f_2 t)$ - $N = f_1 - f_2$ - **দুটি সময়ের ব্যবধান:** $\Delta t = \frac{1}{f_1 - f_2}$ - **বিট শুনতে পাওয়ার শর্ত:** $0.1 ### আদর্শ গ্যাস (Ideal Gas) - **বয়েলের সূত্র:** $P_1 V_1 = P_2 V_2$ - **চার্লসের সূত্র:** $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ - **চাপীয় সূত্র:** $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ - $V_\theta = V_0 (1 + \gamma_p \theta)$ - $P_\theta = P_0 (1 + \gamma_v \theta)$ - **গ্যাসের সূত্র:** $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ - $PV = nRT$ - $PV = NkT$ - $PV = \frac{1}{3} m n \bar{c}^2$ - $E_k = \frac{3}{2} nRT$ (আদর্শ গ্যাস) - $E_k = \frac{3}{2} kT$ (একক অণুর গতিশক্তি) - $E_k = \frac{1}{2} m \bar{c}^2$ - $\bar{c}_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ - **গড় মুক্ত পথ (Mean Free Path):** $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ (ভুল) $\lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ - **প্রতিরোধক বাক্সের সম্ভাব্য গড় মুক্তি পথ:** $\lambda = \frac{S_1 + S_2 + \dots + S_n}{n}$ - $\alpha = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_P$ - $\beta = \frac{1}{P} (\frac{\partial P}{\partial T})_V$ - $K = -\frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial P})_T$ **সংজ্ঞা (Definitions):** - $P$ = চাপ - $V$ = আয়তন - $T$ = তাপমাত্রা (কেলভিন) - $R$ = মোলার গ্যাস ধ্রুবক - $n$ = মোল সংখ্যা - $N$ = গ্যাসের অণুর সংখ্যা - $k$ = বোল্টসম্যান ধ্রুবক - $E_k$ = গ্যাসের মোট গতিশক্তি - $\theta_0$ = পরম শূন্য তাপমাত্রা (সেলসিয়াস) - $\bar{c}_{rms}$ = বর্গমূল গড় বর্গবেগ (RMS) - $\lambda$ = গড় মুক্ত পথ - $d$ = অণুর ব্যাস - $Q$ = প্রবাহের হার ### আর্দ্রতা (Humidity) - **আপেক্ষিক আর্দ্রতা:** $H = \frac{P_{actual}}{P_{saturated}} \times 100\%$ - **শিশিরাঙ্ক (Dew Point):** $f = P_{saturated}$ - $R = \frac{f}{F} \times 100\%$ - $(F_1 - \theta_1) = (F_2 - \theta_2)$ - **উলিয়ামস ও ওয়েলসের সম্পর্ক:** $P_f = P_s - A(t_1 - t_2)$ $P_f$ = শুষ্ক বাল্বের চাপ - **শীতলীকরণ পদ্ধতিতে আপেক্ষিক তাপ নির্ণয়ের সূত্র:** $S_1 (m_w S_w + m_c S_c) = m_i L_f$ (ভুল) **সংজ্ঞা (Definitions):** - $R$ = আপেক্ষিক আর্দ্রতা - $f$ = শিশিরাঙ্ক তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ - $F$ = বায়ুর তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ - $P_f$ = শীতলীকরণের চাপ - $P_s$ = বায়ুর তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ - $m_F$ = শুষ্ক বাল্বের ভর - $P_F$ = শুষ্ক বাল্বের চাপ #### SHORTCUT - **কোন জলপ্রপাতের উচ্চতা $h$ হলে:** $h = \frac{(n-1)F}{\rho}$ (ভুল)