Regla Cadena Multivariable

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### Introducción a la Regla de la Cadena Multivariable La regla de la cadena es fundamental en cálculo para derivar funciones compuestas. En cálculo multivariable, se extiende para manejar funciones de varias variables. #### Escenarios Comunes La imagen de tus apuntes se centra en un caso específico: una función escalar $f$ que depende de un vector $\vec{r}(t)$, donde cada componente de $\vec{r}$ depende de un solo parámetro $t$. ### Caso Específico: Función de Trayectoria Consideremos una función escalar $f(\vec{x})$ donde $\vec{x}$ es un vector en $\mathbb{R}^n$, es decir, $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Si este vector $\vec{x}$ es en realidad una función de un solo parámetro $t$, podemos escribirlo como una función vectorial: $$\vec{r}(t) = (x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t))$$ Donde cada $x_i(t)$ es una función de $t$. #### Función Compuesta La función compuesta es entonces $f(\vec{r}(t))$. Esto significa que estamos evaluando la función $f$ a lo largo de una trayectoria definida por $\vec{r}(t)$ en el espacio $n$-dimensional. #### La Regla de la Cadena Para encontrar la derivada de esta función compuesta con respecto a $t$, la regla de la cadena establece: $$\frac{d}{dt} f(\vec{r}(t)) = \nabla f(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t)$$ Donde: - $\nabla f(\vec{r}(t))$ es el **gradiente** de $f$ evaluado en $\vec{r}(t)$. El gradiente es un vector de derivadas parciales: $$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)$$ - $\vec{r}'(t)$ es la **derivada** de la función vectorial $\vec{r}(t)$ con respecto a $t$. Es un vector cuyas componentes son las derivadas de cada función componente: $$\vec{r}'(t) = \left( \frac{dx_1}{dt}, \frac{dx_2}{dt}, \dots, \frac{dx_n}{dt} \right)$$ - El $\cdot$ representa el **producto escalar** entre el gradiente de $f$ y la derivada de $\vec{r}(t)$. #### Explicación Intuitiva Imagina que $f$ mide la temperatura en diferentes puntos del espacio, y $\vec{r}(t)$ describe la posición de una partícula en el tiempo $t$. La regla de la cadena te dice cómo cambia la temperatura que siente la partícula a medida que se mueve. Es el producto de cuánto cambia la temperatura con el espacio (gradiente) y cuán rápido se mueve la partícula en ese espacio (derivada de $\vec{r}$). ### Ejemplo Sea $f(x, y) = x^2 y$ y $\vec{r}(t) = (t^2, \sin(t))$. Queremos encontrar $\frac{d}{dt} f(\vec{r}(t))$. 1. **Encontrar el gradiente de $f$:** $$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (2xy, x^2)$$ 2. **Evaluar el gradiente en $\vec{r}(t)$:** Sustituimos $x = t^2$ y $y = \sin(t)$: $$\nabla f(\vec{r}(t)) = (2(t^2)(\sin(t)), (t^2)^2) = (2t^2 \sin(t), t^4)$$ 3. **Encontrar la derivada de $\vec{r}(t)$:** $$\vec{r}'(t) = \left( \frac{d}{dt}(t^2), \frac{d}{dt}(\sin(t)) \right) = (2t, \cos(t))$$ 4. **Calcular el producto escalar:** $$\frac{d}{dt} f(\vec{r}(t)) = \nabla f(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t)$$ $$= (2t^2 \sin(t), t^4) \cdot (2t, \cos(t))$$ $$= (2t^2 \sin(t))(2t) + (t^4)(\cos(t))$$ $$= 4t^3 \sin(t) + t^4 \cos(t)$$