Optique de Polarisation

Cheatsheet Content

### États de Polarisation #### Composantes générales du champ électrique - **Composantes orthogonales** $E_x(z,t) = \hat{i}E_{ox} \cos(kz - \omega t)$ $E_y(z,t) = \hat{j}E_{oy} \cos(kz - \omega t + \epsilon)$ où $\epsilon$ est la différence de phase relative. Si $\epsilon > 0$, $E_y$ est en retard. Si $\epsilon ### Polariseurs & Dichroïsme #### Intensité à travers un polariseur idéal (lumière naturelle) - **Condition:** lumière incidente non polarisée - $I = I_0/2$ #### Loi de Malus - **Condition:** lumière incidente déjà polarisée linéairement, $\theta$ = angle entre E et l'axe du polariseur - $E_{transmis} = E\cos\theta$ - $I(\theta) = I(0)\cos^2\theta$ #### Deux polariseurs en série ($P_1$ + analyseur $P_2$) - Lumière naturelle $\to P_1 \to P_2$ (angle $\theta$ entre les axes) - $I(\theta) = (c\epsilon_0/2)E_{01}^2\cos^2\theta = I(0)\cos^2\theta$ #### Trois polariseurs $P_1, P_2, P_3$ (lumière naturelle $I_s$) - Après $P_1$: $I_s/2$ - Après $P_2$: $(I_s/2)\cos^2\alpha$ - Après $P_3$: $(I_s/2)\cos^2\alpha\cos^2(90^\circ-\alpha) = (I_s/2)\cos^2\alpha\sin^2\alpha$ - Maximum: $\sin(2\alpha)=1 \to \alpha=45^\circ \to I_{max} = I_s/8$ #### Performance Polaroid HN-x - $I = I_0(x/100)$ avec x = % de lumière transmise #### Facteur de réflexion total (lumière naturelle) - $R = (R_\perp + R_\parallel) / 2$ ### Biréfringence & Cristaux #### Indice de réfraction (modèle oscillateur) - $n^2(\omega) = 1 + (q^2N)/(\epsilon_0m_e) \cdot 1/(\omega_0^2-\omega^2)$ - $\omega_0$ dépend de la direction de polarisation; $\omega_{ox} = \sqrt{c_x/m_e}$, $\omega_{oy} = \sqrt{c_y/m_e}$ #### Fréquences de résonance directionnelles - Si $c_x > c_y \implies \omega_{ox} > \omega_{oy} \implies n_y(\omega_0) > n_x(\omega_0)$ #### Biréfringence linéaire $\Delta n$ - $\Delta n = n_e - n_o$ | Type | Condition | Exemple | |----------------|------------------|---------------------------------------| | Uniaxe négatif | $\Delta n = n_e - n_o 0$ | Quartz: $\Delta n > 0$ | #### Vitesses et indices principaux (calcite, $\lambda=589nm$) - $n_o = c/v_\perp = 1.658$ (rayon ordinaire) - $n_e = c/v_\parallel = 1.486$ (rayon extraordinaire) - $v_\parallel > v_\perp$ (cristal négatif) #### Prisme de Glan-Foucault — angles critiques - $\sin\theta_{cr-o} = 1/n_o = 1/1.658 \implies \theta_{cr-o} = 37.1^\circ$ - $\sin\theta_{cr-e} = 1/n_e = 1/1.486 \implies \theta_{cr-e} = 42.3^\circ$ - **Condition TIR ordinaire:** $\theta_{cr-o} ### Diffusion & Réflexion #### Loi de Brewster - **Condition:** $\theta_i + \theta_t = 90^\circ$ (angle de polarisation $\theta_p$) - $\tan\theta_p = n_t/n_i$ - À $\theta_p$, la composante $r_\parallel = 0$: le faisceau réfléchi est totalement polarisé $\perp$ au plan d'incidence. #### Coefficients de Fresnel (amplitudes) - **Réflexion** - $r_\perp = \sin(\theta_i-\theta_t) / \sin(\theta_i+\theta_t)$ - $r_\parallel = \tan(\theta_i-\theta_t) / \tan(\theta_i+\theta_t)$ - **Transmission** - $t_\perp = 2\sin\theta_t\cos\theta_i / \sin(\theta_i+\theta_t)$ - $t_\parallel = 2\sin\theta_t\cos\theta_i / [\sin(\theta_i+\theta_t)\cos(\theta_i-\theta_t)]$ #### Facteurs de réflexion en intensité - $R_\perp = r_\perp^2$, $R_\parallel = r_\parallel^2$ - $R_{total}$ (lumière naturelle) $= (R_\perp + R_\parallel) / 2$ [exemple: $n_i=1, n_t=1.5 \to R \approx 7.5\%$ à $\theta_p \approx 56^\circ$] ### Retardeurs & Compensateurs #### Degré de polarisation V - $V = (I_{max} - I_{min}) / (I_{max} + I_{min}) = I_p / (I_p + I_n)$ - $I_p = I_{max} - I_{min}$ (flux polarisé) - $I_n = 2 \cdot I_{min}$ (flux non polarisé) - $0 \le V \le 1$ #### Différence de chemin optique (lame coupée parallèlement à l'axe) - $\Delta = d \cdot |n_o - n_e|$ #### Déphasage général introduit par une lame - $\Delta\phi = (2\pi/\lambda_0) \cdot d \cdot |n_o - n_e|$ #### Lame demi-onde ($\lambda/2$) - **Condition:** $\Delta\phi = \pi$ (ou multiple impair de $\pi$) - **Épaisseur:** $d = (2m+1)\lambda_0 / [2|n_o-n_e|]$ ($m = 0,1,2,...$) - **Effet:** rotation de $2\theta$ du champ E ($\theta$ = angle avec l'axe rapide) - **Avant:** $E_0 = (E_{ox}\hat{x} + E_{oy}\hat{y})\cos\omega t$ - **Après:** $E_0 = (-E_{ox}\hat{x} + E_{oy}\hat{y})\cos\omega t$ #### Lame quart-onde ($\lambda/4$) - **Condition:** $\Delta\phi = \pi/2$ - **Épaisseur:** $d = (4m+1)\lambda_0 / [4|n_o-n_e|]$ ($m = 0,1,2,...$) - Si $\theta = 45^\circ$ ($E_{ox} = E_{oy}$): polarisation linéaire $\to$ circulaire - **Avant:** $x = a\cos\omega t$, $y = a\cos\omega t$ - **Après:** $x = a\cos\omega t$, $y = a\sin\omega t$ $\to$ cercle #### Retardeur d'ordre zéro vs multiple - **Ordre zéro (épaisseur minimale)** - $d_{zéro} = \lambda / (4|n_o-n_e|)$ [ex: quartz vert 500nm: $d \approx 13.7$ mm] - **Ordre multiple (lame quart-onde de Nième ordre)** - $(2\pi/\lambda)|n_o-n_e|d = 40\pi + \pi/2 \to d = (41\lambda)/(4|n_o-n_e|) = 41 \cdot d_{zéro}$ #### Retardeur d'ordre zéro composé (deux lames) - $\exp(i(2\pi/\lambda)[n_o-n_e]d_1 + i(2\pi/\lambda)[n_e-n_o]d_2) = \exp(i(2\pi/\lambda)[n_o-n_e](d_1-d_2))$ - $\Delta\phi_{effectif} = (2\pi/\lambda)|n_o-n_e||d_1-d_2|$ - **Condition:** Axes: axe rapide de l'une aligné avec axe lent de l'autre. #### Rhomboèdre de Fresnel - Verre $n=1.51$, angle d'incidence = $54.6^\circ$ - Chaque réflexion totale interne: déphasage de $45^\circ = \pi/4$ - Deux réflexions $\to$ déphasage total = $90^\circ = \pi/2$ #### Compensateur de Babinet (différence de phase totale) - $\Delta\phi = (2\pi/\lambda_0)|(d_1-d_2)n_o - n_e|$ - Au centre ($d_1=d_2$): $\Delta\phi = 0$ pour toutes $\lambda$ #### Action d'une lame cristalline quelconque sur les vibrations - **Lame quelconque L (vibration rectiligne incidente)** - Entrée: $x = a\cos\omega t$, $y = b\cos\omega t$ - Sortie: $x = a\cos\omega t$, $y = b\cos(\omega t - \phi)$ - $\phi = (2\pi/\lambda)(n_1-n_2)e$ - Équation ellipse: $x^2/a^2 + y^2/b^2 - 2xy/(ab)\cos\phi = \sin^2\phi$ - **Lame demi-onde sur vibration rectiligne** - Sortie: $x = a\cos\omega t$, $y = -b\cos\omega t$ (symétrique / $0x$) - **Lame quart-onde sur vibration elliptique axée sur les lignes neutres** - Entrée: $x = a\cos\omega t$, $y = b\sin\omega t$ - Sortie: $x = a\cos\omega t$, $y = -b\cos\omega t$ $\to$ vibration rectiligne #### Mesure de l'ellipticité e - $e = B/A$ (ellipse normalisée: $x^2/A^2 + y^2/B^2 = 1$) - $e^2 = \tan^2(\phi/2) \to \phi = 2\arctan(e)$ - $\phi = (2\pi/\lambda)(n_1-n_2) \cdot \text{épaisseur}$ ### Modulateurs Optiques & Effets Induits #### Effet Faraday — Rotation magnéto-optique - **Champ B dans la direction de propagation** - $\beta = V \cdot B \cdot d$ - $V$: constante de Verdet (min d'arc / Gauss.cm) - $B$: densité de flux magnétique (Gauss) - $d$: longueur du milieu (cm) - **Angle de rotation (formulation en indices)** - $\beta = (\pi d/\lambda_0)(n_R - n_L)$ - [avec $k = 2\pi n/\lambda_0 \to \beta = (k_R-k_L)d/2$] #### Photoélasticité - **Matériau isotrope sous contrainte mécanique** - Retard $\propto (\sigma_1 - \sigma_2)$ (différence des tensions principales) - La biréfringence induite est proportionnelle à $(\sigma_1 - \sigma_2)$ #### Effet Kerr — Biréfringence électro-optique quadratique - **Substance isotrope transparente dans un champ E** - $\Delta n = n_\parallel - n_\perp = \lambda_0 K E^2$ - $K$: constante de Kerr (en m/V²) - $E$: champ électrique appliqué - **Déphasage Kerr (cellule avec plaques de longueur l, séparées par d)** - $\Delta\phi = 2\pi K V^2 l / d^2$ - $V$: tension appliquée #### Effet Pockels — Biréfringence électro-optique linéaire - **Cristaux non-centrosymétriques uniquement** - $\Delta\phi = (2\pi n_0^3 r_{63} V) / \lambda_0$ - $r_{63}$: constante électro-optique (m/V) - $n_0$: indice de réfraction ordinaire - $V$: tension appliquée (volt) - $\lambda_0$: longueur d'onde dans le vide - **Tension demi-onde $V_{\lambda/2}$ (condition: $\Delta\phi = \pi$ )** - $V_{\lambda/2} = \lambda_0 / (2n_0^3 r_{63})$ - Exemple KDP: $V_{\lambda/2} \approx 7600$ V ($\lambda_0=546$nm) #### Cristaux Liquides — Déphasage modulable - $\Delta\phi = (2\pi/\lambda)\Delta n(V,T,\lambda)$ - $\Delta n = n_e - n_o$ (fonction du voltage, température, longueur d'onde) - Si $\Delta\phi = \pi \to$ cellule LC agit comme lame demi-onde #### Activité Optique — Rotation de la polarisation - **Biréfringence circulaire:** deux indices $n_R$ et $n_L$ - $\beta = (k_L-k_R)d/2 = (\pi d/\lambda_0)(n_L-n_R)$ - Si $n_R > n_L$: rotation antihoraire (lévogyre) - Si $n_R ### Paramètres de Stokes #### Définition opérationnelle (mesures expérimentales $I_0...I_3$) - $S_0 = 2I_0$ (éclairement total) - $S_1 = 2I_1 - 2I_0$ (H vs V) - $S_2 = 2I_2 - 2I_0$ (+45° vs -45°) - $S_3 = 2I_3 - 2I_0$ (circulaire D vs G) #### Formulation en amplitudes et phases - $S_0 = \langle E_{ox}^2 \rangle + \langle E_{oy}^2 \rangle$ - $S_1 = \langle E_{ox}^2 \rangle - \langle E_{oy}^2 \rangle$ - $S_2 = \langle 2E_{ox}E_{oy}\cos\epsilon \rangle$ - $S_3 = \langle 2E_{ox}E_{oy}\sin\epsilon \rangle$ - $\epsilon = \epsilon_y - \epsilon_x$ #### Lumière totalement polarisée - $S_0^2 = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2$ #### Degré de polarisation V (Stokes) - $V = \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2} / S_0$ - $0 \le V \le 1$ #### Superposition de faisceaux incohérents - $[S_0;S_1;S_2;S_3]_{total} = [S_0';S_1';S_2';S_3'] + [S_0'';S_1'';S_2'';S_3'']$ #### États remarquables (normalisés) | État | Vecteur de Stokes $[S_0;S_1;S_2;S_3]$ | |-----------------------------------|---------------------------------------| | Lumière naturelle non polarisée | $[1 ; 0 ; 0 ; 0]$ | | Polarisation linéaire horizontale | $[1 ; 1 ; 0 ; 0]$ | | Polarisation linéaire verticale | $[1 ; -1 ; 0 ; 0]$ | | Polarisation linéaire à +45° | $[1 ; 0 ; 1 ; 0]$ | | Polarisation linéaire à -45° | $[1 ; 0 ; -1 ; 0]$ | | Polarisation circulaire droite | $[1 ; 0 ; 0 ; 1]$ | | Polarisation circulaire gauche | $[1 ; 0 ; 0 ; -1]$ | ### Vecteurs de Jones - **Condition:** Ne s'applique qu'aux ondes cohérentes et totalement polarisées. #### Forme générale complexe - $E_0 = [E_{ox}e^{i\phi_x} ; E_{oy}e^{i\phi_y}]$ #### États fondamentaux (vecteurs normalisés) | État | Vecteur de Jones normalisé | |-----------------------------------|----------------------------| | Polarisation linéaire horizontale | $[1 ; 0]$ | | Polarisation linéaire verticale | $[0 ; 1]$ | | Polarisation linéaire à +45° | $(1/\sqrt{2})[1 ; 1]$ | | Polarisation linéaire à -45° | $(1/\sqrt{2})[1 ; -1]$ | | Circulaire droite (R) | $(1/\sqrt{2})[1 ; -i]$ | | Circulaire gauche (L) | $(1/\sqrt{2})[1 ; +i]$ | #### Superposition cohérente - $E_0 = E_{0h} + E_{0v}$ (somme composante par composante) - $E_{0R} + E_{0L} = (1/\sqrt{2})[1;-i] + (1/\sqrt{2})[1;+i] = \sqrt{2}[1;0]$ ($\to$ linéaire horizontale) #### Orthogonalité (vecteurs complexes) - **Condition d'orthogonalité:** $A \cdot B^* = 0$ - **Exemples:** - $E_{0R} \cdot E_{0L}^* = [(1)(1) + (-i)(i)]/2 = (1-1)/2 = 0$ - $E_{0h} \cdot E_{0v}^* = 0$ #### Normalisation - $|E_{0,normalisé}|^2 = E_{ox}^2 + E_{oy}^2 = 1$ ### Matrices de Jones & Mueller #### Matrice de Jones — Transformation par un composant optique - $E_{0t} = A \cdot E_{0i}$ - $[\tilde{E}_{tx} ; \tilde{E}_{ty}] = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} [\tilde{E}_{ix} ; \tilde{E}_{iy}]$ - $\implies \tilde{E}_{tx} = a_{11}\tilde{E}_{ix} + a_{12}\tilde{E}_{iy}$ - $\tilde{E}_{ty} = a_{21}\tilde{E}_{ix} + a_{22}\tilde{E}_{iy}$ #### Séquence de composants - **Important:** l'ordre des matrices compte (non-commutatif) - $E_{0t} = A_n \cdot ... \cdot A_3 \cdot A_2 \cdot A_1 \cdot E_{0i}$ - $A_{système} = A_n \cdot ... \cdot A_2 \cdot A_1$ #### Matrices de Jones des composants principaux | Composant | Matrice de Jones A | |--------------------------------------------|-------------------------------------| | Polariseur linéaire horizontal | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ | | Polariseur linéaire vertical | $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | | Polariseur linéaire à +45° | $(1/2)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ | | Lame quart-onde (axe rapide horizontal) | $e^{i\pi/4}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$ | | Lame quart-onde (axe rapide vertical) | $e^{i\pi/4}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$ | | Lame demi-onde (axe rapide horizontal) | $e^{i\pi/2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ | | Retardeur général (retard $\Gamma$, axe rapide vertical) | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Gamma} \end{pmatrix}$ | #### Exemple: lame quart-onde sur état à +45° - $E_{0i} = (1/\sqrt{2})[1;1]$ - $A = e^{i\pi/4}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$ - $E_{0t} = e^{i\pi/4}[1;i]/\sqrt{2}$ $\to$ polarisation circulaire droite #### Matrice de Mueller — Transformation des vecteurs de Stokes - Applicable aussi aux ondes partiellement polarisées et incohérentes - $S_{0t} = M \cdot S_{0i}$ (matrices $4 \times 4$ appliquées à vecteurs $4 \times 1$ de Stokes) - $A_{système} = M_n \cdot ... \cdot M_2 \cdot M_1$ #### Matrices de Mueller des composants principaux | Composant | Matrice de Mueller M ($4 \times 4$) | |------------------------------------------|-------------------------------------| | Polariseur linéaire horizontal | $(1/2)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ | | Lame quart-onde (axe rapide vertical) | $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ | | Lame demi-onde (axe rapide vertical) | $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ | #### Exemples d'application Mueller - Faisceau non polarisé $\to$ polariseur linéaire horizontal - $S_{0i} = [1;0;0;0]$ - $S_{0t} = M_H \cdot S_{0i} = (1/2)[1;1;0;0]$ - $\to I = 1/2$, polarisé linéaire horizontal - Onde $S=[4;2;0;3]$ $\to$ lame quart-onde axe rapide vertical - $S_{0t} = [4;2;-3;0]$ - $\to$ même éclairement, même V, mais tendance -45° ($S_2 ### Propagation en Milieux Anisotropes #### Lois de Descartes dans un milieu anisotrope - La direction de propagation normale (N au front d'onde) obéit aux lois de Descartes; le rayon lumineux (direction de S) n'y obéit pas en général. - $n_1\sin i = N\sin r$ - $N = $ indice dans la direction de propagation normale $N_z$ #### Réflexion totale interne dans un cristal biréfringent - Si $i i_e$: aucun rayon n'émerge #### Lignes neutres d'une lame cristalline - Différence de marche à la sortie: $\Delta = (n_1-n_2)e$ - Déphasage: $\phi_1 = (2\pi/\lambda)n_1e$, $\phi_2 = (2\pi/\lambda)n_2e$ #### Lame cristalline entre polariseur P et analyseur A - **Lame demi-onde (L=D)** - $I = a^2\cos^2(\alpha+\beta)$ (minimum = 0 pour orientation adaptée de A) - **Lame quart-onde (L=Q) avec P sur la bissectrice des lignes neutres** - Amplitude constante quelle que soit l'orientation de A #### Détermination des lignes neutres - Extinction (lumière minimale) quand les lignes neutres de la lame sont alignées avec les axes P et A croisés.