P2205 (F) Optique

Cheatsheet Content

### États de Polarisation - **Définition:** $\vec{E} = \hat{x} E_x \cos(\omega t - kz) + \hat{y} E_y \cos(\omega t - kz + \delta)$ - $\delta$: déphasage de $E_y$ par rapport à $E_x$ | Condition sur $\delta$ | Condition sur Amplitudes | État | |------------------------|--------------------------|------------| | $\delta = 0$ ou $\pi$ | Quelconques | Linéaire | | $\delta = \pm \pi/2$ | $|E_x| = |E_y|$ | Circulaire | | Quelconque | Quelconques | Elliptique | - $\delta = +\pi/2 \implies$ Circulaire Gauche (L) - $\delta = -\pi/2 \implies$ Circulaire Droit (R) ### Loi de Malus & Polariseurs Croisés - **Loi de Malus:** $I = I_0 \cos^2 \theta$ - $\theta$: angle entre polariseur et analyseur - Lumière naturelle $\to$ polariseur: $I = I_0 / 2$ - Polariseur rotatif $\omega$ entre 2 croisés statiques: $I = (I_0/8)(1 - \cos 4\omega t)$ ### Angle de Brewster & Réflexion Totale - **Angle de Brewster:** $\tan \theta_B = n_2 / n_1$ - **Loi de Snell-Descartes:** $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_t$ - **Angle critique de réflexion totale interne:** $\sin \theta_c = n_2 / n_1$ (avec $n_1 > n_2$) - **Hauteur angulaire du Soleil pour polarisation complète par réflexion:** $h = 90^\circ - \theta_B$ ### Vecteurs de Jones - **Forme générale:** $\vec{E} = [E_x, E_y]^T$ | État | Vecteur de Jones | |--------------------|----------------------| | Linéaire H | $[1, 0]$ | | Linéaire V | $[0, 1]$ | | Linéaire +45° | $[1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}]$ | | Circulaire D (R) | $[1/\sqrt{2}, -i/\sqrt{2}]$| | Circulaire G (L) | $[1/\sqrt{2}, +i/\sqrt{2}]$| - $\vec{E}_{sortie} = J \vec{E}_{entrée}$ - **Assemblage:** $J = J_n \dots J_2 J_1$ - **Orthogonaux à $\vec{E}_1 = [a, b]$:** $\vec{E}_2 = [-b^*, a^*]^T$ ### Matrices de Jones - **Polariseur H:** $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ - **Polariseur V:** $$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ - **Polariseur angle $\alpha$:** $$\begin{pmatrix} \cos^2\alpha & \cos\alpha \sin\alpha \\ \cos\alpha \sin\alpha & \sin^2\alpha \end{pmatrix}$$ - **Lame $\lambda/4$ (axe H):** $e^{i\pi/4} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$ - **Lame $\lambda/2$ (axe H):** $e^{i\pi/2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ - **Lame $3\lambda/4$ (cours):** $(1/\sqrt{2}) \begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{pmatrix}$ - **Rotateur $\theta$:** $$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$ ### Biréfringence & Retard de Lame - **Retard de phase (déphasage) $\Gamma$:** $\Gamma = (2\pi/\lambda_0)(n_e - n_o)d$ - Lame $\lambda/4$: $\Gamma = \pi/2$ - Lame $\lambda/2$: $\Gamma = \pi$ ### Paramètres de Stokes $S = (S_0, S_1, S_2, S_3)$ - **Signification:** - $S_0$: Intensité totale - $S_1$: Lin. H vs V - $S_2$: Lin. $\pm 45^\circ$ - $S_3$: Circ. D vs G - **Polarisé total:** $S_0^2 = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2$ - **Faisceaux incohérents superposés:** addition terme à terme des $S_i$. #### Degré de Polarisation $V$ - $V = I_p/(I_p + I_n) = \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2} / S_0$ - **Composante non-polarisée:** $I_n = S_0 - \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}$ - $V = 1 \implies$ totalement polarisé - $V = 0 \implies$ lumière naturelle #### Vecteurs de Stokes états courants | État | Stokes $(S_0, S_1, S_2, S_3)$ | |--------------------|--------------------------------| | Naturelle | $(1, 0, 0, 0)$ | | Linéaire H | $(1, 1, 0, 0)$ | | Linéaire V | $(1, -1, 0, 0)$ | | Linéaire +45° | $(1, 0, 1, 0)$ | | Circulaire D (R) | $(1, 0, 0, -1)$ | | Circulaire G (L) | $(1, 0, 0, +1)$ | ### Matrices de Mueller - $\vec{S}_{sortie} = M \vec{S}_{entrée}$ - **Assemblage:** $M = M_n \dots M_1$ - **Polariseur H:** $$(1/2) \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ - **Polariseur V:** $$(1/2) \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ - **Lame $\lambda/2$ (axe V):** $\text{diag}(1, 1, -1, -1)$ (convertit R $\leftrightarrow$ L) - **Lame $\lambda/4$ (axe H):** $$(1/2) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ### Compensateur de Babinet - **Retard introduit par un échantillon:** $\Gamma = 2\pi \times (\text{déplacement / espacement des franges})$ - **Épaisseur de l'échantillon:** $d = \lambda_0 \Gamma / [2\pi(n_1 - n_2)]$ ### Conditions Générales d'Interférence - **Déphasage $\Delta\phi$** - Constructive: $\Delta\phi = 2m\pi$ - Destructive: $\Delta\phi = (2m+1)\pi$ - **Condition sur le chemin optique $\delta$** - Constructive: $\delta = m\lambda$ - Destructive: $\delta = (m+1/2)\lambda$ - $m = 0, \pm1, \pm2, \dots$ - **Saut de phase (réflexion sur milieu plus dense $n\uparrow$):** - Nombre impair de sauts $\implies$ inverser constructive/destructive. - **Intensité résultante ($I_1 = I_2 = I_0$):** $I(\Delta\phi) = 4I_0 \cos^2(\Delta\phi/2)$ - $I_{max} = 4I_0$ (constructif) - $I_{min} = 0$ (destructif) ### Fentes d'Young (Double Fente) - **Différence de chemin optique:** $\delta = a \sin \theta \approx a \cdot y/D$ - $a$: écartement fentes - $D$: distance écran - Dans milieu $n$: $\lambda = \lambda_0/n$ - **Interfrange:** $i = \lambda D / a$ - **Position des franges:** - Brillantes: $y_m = m \lambda D/a$ - Sombres: $y_m = (m + 1/2) \lambda D/a$ ### Lames Minces (Réflexion en Incidence Normale) - **Système (Constructive / Destructive):** - Bulle de savon (air-film-air, 0/2 sauts): - Constructive: $2ne = m\lambda_0$ - Destructive: $2ne = (m+1/2)\lambda_0$ - Film/verre (air-film-verre, 1 saut): - Constructive: $2ne = (m+1/2)\lambda_0$ - Destructive: $2ne = m\lambda_0$ - **Épaisseur minimale $e_{min}$:** - Pour $2ne = m\lambda_0$: $\lambda_0/(2n)$ - Pour $2ne = (m+1/2)\lambda_0$: $\lambda_0/(4n)$ #### Antireflet Optimal (1 saut) - **Condition:** $2ne = \lambda_0/2$ - **Indice optimal de la couche antireflet:** $n_{couche} = \sqrt{n_{air} n_{verre}}$ - **Épaisseurs admises (renforcement):** $e_m = (2m-1)\lambda_0/(4n)$ pour $m=1,2,3,\dots$ - **Contact $e=0$:** - 1 saut $\implies$ sombre - 0 ou 2 sauts $\implies$ brillant ### Coin d'Air - **Épaisseur en $x$:** $e(x) = x \tan \alpha \approx x\alpha$ ($\alpha$ en rad) - **Interfrange (réflexion, 1 saut de phase):** $i = \lambda_0 / (2n\alpha)$ - **Position de la $m$-ième frange sombre:** $x_m = m \lambda_0/(2n\alpha)$ ### Anneaux de Newton - **Épaisseur:** $e = x^2/(2R)$ (1 surface sphérique + 1 plane) - **Rayon du $m$-ième anneau sombre (1 surface plane, 1 saut):** $x_m = \sqrt{m R \lambda_0 / n}$ - **Centre ($e=0$):** toujours sombre avec 1 saut de phase. ### Interféromètre de Michelson - **Déplacement miroir $\Delta d \to N$ franges défilées:** $\lambda = 2 \Delta d / N$ ### Déplacement de la Frange Centrale - **Lame d'épaisseur $e$ (indice $n$) devant une fente:** $X_0 = -(n-1)eD/a$ - **Différence de chemin en M à distance $x$ de l'axe:** $\delta(M) = ax/D$ ### Longueur d'Onde de de Broglie (Électrons) - $\lambda = h/p = h/mv = h/\sqrt{2mE}$ - $h = 6,626 \times 10^{-34}$ J·s - $m_e = 9,108 \times 10^{-31}$ kg - $1 \text{ eV} = 1,602 \times 10^{-19}$ J - **Même formule d'interfrange que Young avec $\lambda_{deBroglie}$.** ### Nombre Total de Franges Brillantes (Young) - $m_{max} = [a/\lambda]$ (condition: $\sin \theta \le 1$) - **Configuration:** Frange centrale + $m_{max}$ de chaque côté - $N_{total} = 2 m_{max} + 1$ - **Angle de la dernière frange:** $\theta_{max} = \arcsin(m_{max} \lambda / a)$ ### Fente Immergée dans un Milieu (Indice $n$) - $\lambda_n = \lambda_0/n$ - $b \sin \theta = m \cdot \lambda_0/n$ - **Demi-largeur linéaire du maximum central:** $y_1 = L \cdot \lambda_0/(nb)$ ### Précision sur X - Propagation d'Erreurs - $X = a \cdot i/D = ay/(m \cdot D)$ - **Incertitude relative:** $\Delta X/X = \Delta a/a + \Delta i/i + \Delta D/D$ ### Régimes Fraunhofer vs Fresnel | Régime | Condition | Cas | |-----------|-----------------------------|-------------------------------| | Fraunhofer| $R \gg a^2/\lambda$ | Champ lointain (ce cours) | | Fresnel | $R \le a^2/\lambda$ | Champ proche | - $R$: distance d'observation - $a$: taille de l'ouverture - **Distance minimale pour régime Fraunhofer:** $R_{min} = a^2/(2\lambda)$ - Ex: $a = 1 \text{ mm}, \lambda = 500 \text{ nm} \implies R_{min} = 1 \text{ m}$ ### Fente Unique - Largeur $b$ - **Paramètre de phase:** $\beta = \pi b \sin \theta / \lambda$ - **Distribution d'intensité:** $I(\theta) = I_0 (\sin \beta / \beta)^2$ - **Minima:** $b \sin \theta = m\lambda$ pour $m = \pm 1, \pm 2, \dots$ - **Maxima secondaires:** $b \sin \theta \approx (m + 1/2)\lambda$ - **Maximum central en $\theta = 0$:** aucun minimum pour $m = 0$. #### Demi-largeur angulaire & linéaire - **1er minimum = demi-largeur angulaire:** $\sin \theta_1 = \lambda/b \implies \theta_1 \approx \lambda/b$ (rad) - **Franges secondaires:** largeur $= \lambda D / b$ - **Demi-largeur $y_1$:** - Sans lentille (dist. L): $L\lambda/b$ - Lentille focale $f_2$: $f_2\lambda/b$ ### Réseau (N Fentes) - **Déphasage entre fentes adjacentes (demi):** $\alpha = \pi a \sin \theta / \lambda$ - **Réseau seul (N fentes de largeur nulle):** $I(\theta) = I_0 (\sin N\alpha / N \sin \alpha)^2$ - **Réseau réel (facteur de fente x facteur de réseau):** $I(\theta) = I_0 (\sin \beta / \beta)^2 (\sin N\alpha / N \sin \alpha)^2$ - $a$: pas du réseau (période) - $b$: largeur d'une fente - $N$: nombre de fentes #### Équation de Réseau - **Incidence normale maxima principaux:** $a \sin \theta_m = m\lambda$ pour $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ - **Incidence oblique (angle $i$):** $a (\sin \theta_m - \sin i) = m\lambda$ - $m_{max} = [a/\lambda]$ (car $|\sin \theta| \le 1$) - $N_{total} = 2 m_{max} + 1$ - $a = 1/p$ ($p$ = nombre de traits par unité de longueur) #### Pouvoir de Résolution - **Réseau: $N$ traits, ordre $m$:** $R = \lambda/\Delta\lambda = m N$ - **Nombre de traits nécessaire:** $N_{traits} = \lambda / (m \cdot \Delta\lambda)$ ### Critère de Rayleigh - Pouvoir Séparateur - **Ouverture circulaire de diamètre D:** $\theta_{min} = 1,22 \lambda / D$ (rad) - **Fente rectangulaire de largeur b:** $\theta_{min} = \lambda / b$ - **Plus petite taille résolue à distance L:** $s_{min} = L \theta_{min} = 1,22 \lambda L / D$ - **Œil humain:** $D = 2 \text{ mm}, L = 25 \text{ cm}, \lambda = 550 \text{ nm} \implies s_{min} = 84 \text{ µm}$ - **Télescope:** $D \uparrow \implies \theta_{min} \downarrow$ et flux collecté $\propto D^2$ - **1 arc-seconde:** $\pi/648000 \text{ rad} = 4,85 \times 10^{-6} \text{ rad}$ ### Maxima Secondaires (Comparaison Multi-Fentes) | Config. | $I_{max}$ princ. | 1er max. sec. | Minima (entre princ.) | |------------|------------------|---------------|------------------------------| | 1 fente | $I_0$ | $4,5\% I_0$ | $b \sin \theta = m\lambda$ | | 2 fentes | $4I_0$ | $0$ | $a \sin \theta = (m+1/2)\lambda$ | | 3 fentes | $9I_0$ | $I_0 (=11\%)$ | $a \sin \theta = (m+1/3)\lambda, (m+2/3)\lambda$ | | N fentes | $N^2 I_0$ | $\downarrow$ quand $N\uparrow$ | $a \sin \theta = (m+p/N)\lambda, p=1\dots N-1$ | ### CD / DVD (Réseau en Réflexion) - **Types de sauts:** - Contact $e=0$: 2 (pairs) $\implies$ Brillant - Contact $e=0$: 1 (impair) $\implies$ Sombre - **Profondeur minimale pour interférence destructive:** $d_{rainure} = \lambda_0/(4n)$ - CD: $n_{plastique} = 1,8, \lambda = 790 \text{ nm} \implies d = 110 \text{ nm}$ - **Équation de réseau (incidence normale):** $a \sin \theta_m = m\lambda$ - CD: $a = 1,60 \text{ µm}$ - DVD: $a = 0,740 \text{ µm}$ ### Relations Utiles | Grandeur | Formule / Valeur | |------------------------|--------------------------------| | OPL (chemin optique) | OPL = $n \cdot L$ | | $\delta$ (différence OPL) | $\delta = n_2 L_2 - n_1 L_1$ | | $\lambda$ dans milieu $n$ | $\lambda_n = \lambda_0/n$ | | Fréquence $\leftrightarrow \lambda$ | $f = c/\lambda_0$, $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ | | $\lambda_0$ dans l'air | $n \times \lambda_{mesuré}$ dans le milieu | ### Résumé Relations & Constantes | Grandeur | Expression / Valeur | |----------------------|------------------------------------| | Pas réseau | $a = 1/p$ ($p$ en traits/m) | | Ordre max | $m_{max} = [a/\lambda]$ | | Pouvoir résolution | $R = mN = \lambda/\Delta\lambda$ | | $\Delta\lambda_{GSL}$| $\lambda/m$ | | Disque d'Airy | $\sin \theta_1 = 1,22 \lambda/D$ | | $R_{min}$ Fraunhofer | $a^2/(2\lambda)$ | | 1 arc-sec | $4,85 \times 10^{-6}$ rad | ### Formule Générale Intensité N Oscillateurs - $I(\theta) = I_0 F_{fente}(\beta) F_{réseau}(\alpha)$ - $F_{fente} = (\sin \beta / \beta)^2$ - $F_{réseau} = (\sin N\alpha / N \sin \alpha)^2$ - $\beta = \pi b \sin\theta/\lambda$ - $\alpha = \pi a \sin\theta/\lambda$ ### Diffraction & Longueur d'Onde de de Broglie - **Particule d'énergie cinétique E:** $\lambda = h/\sqrt{2mE}$ - Les formules de diffraction s'appliquent avec $\lambda_{deBroglie}$. - Ex: électron $0,5 \text{ eV} \implies \lambda = 1,73 \text{ nm}$ (même ordre que rayons X).