Optique Géométrique - Exercices

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1. Lentille Plan Convexe & Système de Lentilles 1.1 Lentille Plan Convexe Lentille plan convexe L, $n=1.5$, $f=20$ cm. Un rayon $R'$ tend vers l'infini. Déterminer la valeur de l'autre rayon $R$. 1.2 Association Lentille Convexe et Divergente Lentille divergente L', $f' = -15$ cm (focale négative pour divergente). Accolée à L. Formule de la vergence d'un système accolé: $V_{sys} = V_L + V_{L'}$ Vergence: $V = \frac{1}{f}$ (en dioptries si $f$ en mètres). Calculer $V_L = \frac{1}{0.20 \text{ m}} = 5 \text{ D}$. Calculer $V_{L'} = \frac{1}{-0.15 \text{ m}} = -6.67 \text{ D}$. $V_{sys} = 5 \text{ D} - 6.67 \text{ D} = -1.67 \text{ D}$. Focale du système: $f_{sys} = \frac{1}{V_{sys}} = \frac{1}{-1.67} \approx -0.60 \text{ m} = -60 \text{ cm}$. Nature du système: La focale est négative, donc le système est divergent . 1.3 Formation d'Image par le Système Objet AB, $h=2$ cm, placé à $40$ cm du système ($p = -40$ cm). Formule de conjugaison: $\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = V_{sys}$ ou $\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f_{sys}}$. $\frac{1}{p'} = V_{sys} + \frac{1}{p} = -1.67 + \frac{1}{-0.40} = -1.67 - 2.5 = -4.17 \text{ D}$. $p' = \frac{1}{-4.17} \approx -0.24 \text{ m} = -24 \text{ cm}$. Position de l'image: $24$ cm du système, du même côté que l'objet. Nature de l'image: $p'$ est négatif, donc l'image est virtuelle . Grandissement: $\gamma = \frac{A'B'}{AB} = \frac{p'}{p}$. $\gamma = \frac{-24}{-40} = 0.6$. Grandeur de l'image: $A'B' = \gamma \cdot AB = 0.6 \cdot 2 \text{ cm} = 1.2 \text{ cm}$. Sens de l'image: $\gamma$ est positif, donc l'image est droite (non renversée). 2. Point Lumineux & Lame à Faces Parallèles 2.1 Image d'un Point Lumineux P Lentille convergente L, $f=20$ cm. Point lumineux P (objet réel) à $60$ cm de L ($p = -60$ cm). Formule de conjugaison: $\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f}$. $\frac{1}{p'} = \frac{1}{f} + \frac{1}{p} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-60} = \frac{3-1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$. $p' = 30$ cm. Position de l'image: $30$ cm de L, de l'autre côté de la lentille. Nature de l'image: $p'$ est positif, l'image est réelle . 2.2 Effet d'une Lame à Faces Parallèles Lame d'épaisseur $e=6$ cm, indice $n=1.5$, placée entre P et L. La lame déplace l'image virtuelle de P. Le déplacement est $\Delta x = e(1 - \frac{1}{n})$. $\Delta x = 6 \text{ cm} (1 - \frac{1}{1.5}) = 6 \text{ cm} (1 - \frac{2}{3}) = 6 \text{ cm} \cdot \frac{1}{3} = 2 \text{ cm}$. Le point P semble être plus proche de la lentille. La nouvelle position de l'objet apparent est $p_{app} = p + \Delta x = -60 \text{ cm} + 2 \text{ cm} = -58 \text{ cm}$. Nouvelle formule de conjugaison: $\frac{1}{p'_{nouv}} - \frac{1}{p_{app}} = \frac{1}{f}$. $\frac{1}{p'_{nouv}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-58} = \frac{29-10}{580} = \frac{19}{580}$. $p'_{nouv} = \frac{580}{19} \approx 30.53$ cm. Nouvelle position de l'image: $30.53$ cm de L, de l'autre côté. Nature de l'image: $p'_{nouv}$ est positif, l'image est réelle . 3. Droite Lumineuse & Lentilles Accolées 3.1 Image par une Lentille Convergente Lentille convergente L, $f=15$ cm. Objet AB, $L=2$ cm, placé à $30$ cm du centre optique ($p = -30$ cm). Position de l'image: $\frac{1}{p'} = \frac{1}{f} + \frac{1}{p} = \frac{1}{15} + \frac{1}{-30} = \frac{2-1}{30} = \frac{1}{30}$. $p' = 30$ cm. Nature de l'image: $p'$ est positif, image réelle . Grandissement: $\gamma = \frac{p'}{p} = \frac{30}{-30} = -1$. Grandeur de l'image: $A'B' = |\gamma| \cdot AB = 1 \cdot 2 \text{ cm} = 2 \text{ cm}$. Sens de l'image: $\gamma$ est négatif, image renversée . 3.2 Système de deux Lentilles et Écran Lentille L ($f=15$ cm) et écran E. Image intermédiaire $A_1B_1$ se forme sur E. Distance $L \to E$ est $p'_1 = 30$ cm. Une seconde lentille L' est placée entre L et E. Distance $O_L O_{L'} = 21$ cm. L'écran est placé à $57$ cm de la première lentille L. ($p'_{final} = 57$ cm). L'image $A_1B_1$ de L devient l'objet virtuel pour L'. Position de $A_1B_1$ par rapport à L': $p_2 = p'_1 - O_L O_{L'} = 30 \text{ cm} - 21 \text{ cm} = 9 \text{ cm}$. (objet virtuel, donc positif). L'image finale $A_2B_2$ se forme sur l'écran à $57$ cm de L. Position de $A_2B_2$ par rapport à L': $p'_2 = p'_{final} - O_L O_{L'} = 57 \text{ cm} - 21 \text{ cm} = 36 \text{ cm}$. Formule de conjugaison pour L': $\frac{1}{p'_2} - \frac{1}{p_2} = \frac{1}{f'}$. $\frac{1}{f'} = \frac{1}{36} - \frac{1}{9} = \frac{1-4}{36} = \frac{-3}{36} = -\frac{1}{12}$. $f' = -12$ cm. Nature de L': Focale négative, donc lentille divergente . Grandissement total: $\gamma_{tot} = \gamma_1 \cdot \gamma_2 = (\frac{p'_1}{p_1}) \cdot (\frac{p'_2}{p_2})$. $\gamma_1 = \frac{30}{-30} = -1$. $\gamma_2 = \frac{36}{9} = 4$. $\gamma_{tot} = (-1) \cdot 4 = -4$. Dimension de la nouvelle image: $A_2B_2 = |\gamma_{tot}| \cdot AB = 4 \cdot 2 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$. 4. Lentille Convergente et Miroir Plan 4.1 Grandissement de 5 Lentille convergente L, $f=40$ cm. Image réelle et renversée. $|\gamma| = 5$. Pour une image réelle et renversée, $\gamma = -5$. On sait $\gamma = \frac{p'}{p}$, donc $p' = -5p$. Formule de conjugaison: $\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f}$. $\frac{1}{-5p} - \frac{1}{p} = \frac{1}{40}$. $\frac{1-5}{-5p} = \frac{1}{40} \implies \frac{-4}{-5p} = \frac{1}{40} \implies \frac{4}{5p} = \frac{1}{40}$. $5p = 4 \cdot 40 = 160 \implies p = 32$ cm. L'objet réel est à $p_{obj} = -32$ cm (par convention). Distance de l'objet: $|p| = 32$ cm. Position de l'écran: $p' = -5p = -5(-32) = 160$ cm. L'écran doit être placé à $160$ cm de la lentille, de l'autre côté. 4.2 Système Lentille-Miroir Miroir plan M placé à $1.4$ m ($140$ cm) de L, du côté opposé à l'objet. L'image $A'B'$ de la lentille se forme à $160$ cm. Cette image est l'objet pour le miroir. Distance miroir-objet: $d_{M-A'B'} = p' - d_{L-M} = 160 \text{ cm} - 140 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$. Pour un miroir plan, l'image est symétrique par rapport au miroir. L'image finale $A''B''$ sera à $20$ cm derrière le miroir (du côté de la lentille). Position de l'image définitive: $140 \text{ cm} - 20 \text{ cm} = 120 \text{ cm}$ de la lentille, du même côté que l'objet initial. Nature de l'image définitive: L'image du miroir plan est virtuelle si l'objet est réel, et inversement. Ici, $A'B'$ est réelle, donc $A''B''$ est virtuelle. Le grandissement du miroir plan est $|\gamma_{miroir}| = 1$. Le grandissement total reste $\gamma_{tot} = \gamma_L \cdot \gamma_M = (-5) \cdot 1 = -5$. L'image est toujours renversée par rapport à l'objet initial. 5. Lentille Convergente et Lentille Divergente Lentille convergente L, centre optique C. Objet réel AB. Image réelle A'B'. $CA = 120$ cm ($p = -120$ cm). $CA' = 60$ cm ($p' = 60$ cm). Grandissement: $\gamma = \frac{A'B'}{AB} = \frac{p'}{p} = \frac{60}{-120} = -0.5$. Sens de l'image: $\gamma$ est négatif, donc l'image A'B' est renversée par rapport à AB. Grandeur de l'image: $A'B' = |\gamma| \cdot AB = 0.5 \cdot 2 \text{ cm} = 1 \text{ cm}$. 5.2 Distance Focale et Convergence de L Formule de conjugaison: $\frac{1}{f} = \frac{1}{p'} - \frac{1}{p}$. $\frac{1}{f} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-120} = \frac{1}{60} + \frac{1}{120} = \frac{2+1}{120} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$. $f = 40$ cm. Convergence (Vergence): $V = \frac{1}{f} = \frac{1}{0.40 \text{ m}} = 2.5 \text{ D}$. 5.3 Association avec une Lentille Divergente Lentille divergente L1, $f_1 = -3$ cm. On veut que L1 donne une image de A'B' (qui est l'image de L). La position de L1 dépend de l'image que l'on souhaite obtenir. L'énoncé est incomplet sur l'image finale désirée. Si A'B' est l'objet pour L1, et on veut une image finale à une certaine position, on utiliserait la formule de conjugaison pour L1.