Álgebra Lineal: Vectores, Rectas y Plano

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4.1. Vectores en $R^2$ Definición Geométrica: Segmento de recta dirigido con un punto inicial y un punto final. Magnitud (Longitud): Para $\vec{v} = (v_1, v_2)$, $||\vec{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$. Dirección: Ángulo $\theta$ que forma con el eje x positivo. $\tan \theta = \frac{v_2}{v_1}$. Componentes de un vector determinado por dos puntos: Si $P_1=(x_1, y_1)$ y $P_2=(x_2, y_2)$, entonces $\vec{P_1P_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1)$. Vector Unitario: $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}$. Tiene magnitud 1. Significado geométrico de operaciones: Suma: Regla del paralelogramo o cabeza-cola. Resta: $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$. Multiplicación por un escalar: Cambia la magnitud (y puede cambiar el sentido si es negativo). 4.2. El Producto Escalar y Proyecciones Definición: Para $\vec{u}=(u_1, u_2)$ y $\vec{v}=(v_1, v_2)$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2$. Teorema 4.2.1: Propiedades del Producto Escalar $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (Conmutativa) $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ (Distributiva) $(c\vec{u}) \cdot \vec{v} = c(\vec{u} \cdot \vec{v})$ $\vec{v} \cdot \vec{v} = ||\vec{v}||^2$ $\vec{v} \cdot \vec{v} \ge 0$, y $\vec{v} \cdot \vec{v} = 0$ si y solo si $\vec{v} = \vec{0}$ Teorema 4.2.2: Ángulo entre vectores $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cos(\theta)$, donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Vectores Paralelos: $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son paralelos si $\vec{u} = k\vec{v}$ para algún escalar $k \ne 0$. Vectores Ortogonales: $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son ortogonales si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Teorema 4.2.3: Desigualdad de Cauchy-Schwarz $|\vec{u} \cdot \vec{v}| \le ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||$. Teorema 4.2.4: Desigualdad del Triángulo $||\vec{u} + \vec{v}|| \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}||$. Teorema 4.2.5: Teorema de Pitágoras Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son ortogonales, entonces $||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2$. Definición 4.2.4: Proyección de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ $$proj_{\vec{v}}\vec{u} = \left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||^2}\right)\vec{v}$$ La componente escalar de $\vec{u}$ en la dirección de $\vec{v}$ es $comp_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||}$. Aplicaciones en $R^2$: Interpretación geométrica de la ecuación de una recta $ax+by=c$ El vector $(a, b)$ es un vector normal a la recta. Distancia de un punto $(x_0, y_0)$ a la recta $ax+by+c=0$: $$D = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ 4.3. Vectores en $R^3$ Coordenadas: $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$. Magnitud: $||\vec{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$. Teorema 4.3.1: Propiedades de las operaciones vectoriales (Extensión de las de $R^2$) $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$ $c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}$ $(c+d)\vec{u} = c\vec{u} + d\vec{u}$ $(cd)\vec{u} = c(d\vec{u})$ $1\vec{u} = \vec{u}$ Cosenos Directores: Si $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$, los ángulos $\alpha, \beta, \gamma$ que forma $\vec{v}$ con los ejes $x, y, z$ positivos. $$\cos \alpha = \frac{v_1}{||\vec{v}||}, \quad \cos \beta = \frac{v_2}{||\vec{v}||}, \quad \cos \gamma = \frac{v_3}{||\vec{v}||}$$ Propiedad Fundamental de los Cosenos Directores: $$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$$ Definiciones y Teoremas (Extensiones de $R^2$ a $R^3$): Producto Escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$. Ángulo entre vectores: $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$. Vectores ortogonales: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Vectores paralelos: $\vec{u} = k\vec{v}$. Proyección: $proj_{\vec{v}}\vec{u} = \left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||^2}\right)\vec{v}$. 4.4. Producto Cruz y Triple Producto Escalar Producto Cruz (Vectorial) en $R^3$: Para $\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v}=(v_1, v_2, v_3)$ $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (u_2v_3-u_3v_2)\mathbf{i} - (u_1v_3-u_3v_1)\mathbf{j} + (u_1v_2-u_2v_1)\mathbf{k}$$ Teorema 4.4.1: Propiedades del Producto Cruz $\vec{u} \times \vec{v}$ es ortogonal a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$. $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$ (Anticonmutativa) $\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$ (Distributiva) $(c\vec{u}) \times \vec{v} = c(\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{u} \times (c\vec{v})$ $\vec{u} \times \vec{0} = \vec{0} \times \vec{u} = \vec{0}$ $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ Identidad de Lagrange: $||\vec{u} \times \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 ||\vec{v}||^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2$ Teorema 4.4.3: Interpretación geométrica del Producto Cruz $$||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \sin(\theta)$$ Representa el área del paralelogramo con lados adyacentes $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Triple Producto Escalar (Mixto): Para $\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)$, $\vec{v}=(v_1, v_2, v_3)$, $\vec{w}=(w_1, w_2, w_3)$ $$\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$$ Interpretación geométrica del Triple Producto Escalar: El valor absoluto $|\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ representa el volumen del paralelepípedo formado por los vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$. Vectores Coplanares: Tres vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ son coplanares si su triple producto escalar es cero: $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0$. 4.5. Rectas y Planos en el Espacio ($R^3$) Rectas en $R^3$ Ecuación Vectorial: $\vec{r}(t) = \vec{p_0} + t\vec{d}$ $\vec{p_0}=(x_0, y_0, z_0)$: Vector de posición de un punto conocido en la recta. $\vec{d}=(d_1, d_2, d_3)$: Vector director (paralelo a la recta). $t \in R$: Parámetro. Ecuaciones Paramétricas: $$x = x_0 + td_1$$ $$y = y_0 + td_2$$ $$z = z_0 + td_3$$ Ecuaciones Simétricas: (Si $d_1, d_2, d_3 \ne 0$) $$\frac{x-x_0}{d_1} = \frac{y-y_0}{d_2} = \frac{z-z_0}{d_3}$$ Si algún $d_i=0$, la ecuación simétrica se ajusta (ej: si $d_1=0$, entonces $x=x_0$). Recta en $R^2$ (Caso particular): Vectorial: $(x,y) = (x_0,y_0) + t(d_1,d_2)$ Paramétricas: $x=x_0+td_1$, $y=y_0+td_2$ Planos en $R^3$ Definición: Un conjunto de puntos $(x, y, z)$ que satisfacen una ecuación lineal. Vector Normal: Un vector $\vec{n}$ ortogonal a todos los vectores en el plano. Ecuación Vectorial: $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{p_0}) = 0$ $\vec{n}=(A, B, C)$: Vector normal. $\vec{p_0}=(x_0, y_0, z_0)$: Vector de posición de un punto conocido en el plano. $\vec{r}=(x, y, z)$: Vector de posición de un punto genérico en el plano. Ecuación Cartesiana (General): $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$ Expandiendo, se obtiene la forma $Ax + By + Cz = D$, donde $D = Ax_0 + By_0 + Cz_0$. Planos Paralelos: Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos ($\vec{n_1} = k\vec{n_2}$). Gráficas de Planos: $x=k$: Plano paralelo al plano $yz$. $y=k$: Plano paralelo al plano $xz$. $z=k$: Plano paralelo al plano $xy$. $Ax+By=D$: Plano perpendicular al plano $xy$. Posiciones Relativas y Distancias Entre dos Planos: Paralelos y Distintos: $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$ y $D_1 \ne kD_2$. No hay intersección. Paralelos y Coincidentes: $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$ y $D_1 = kD_2$. Infinitos puntos en común (el mismo plano). Secantes: Sus normales no son paralelas. Se intersecan en una recta. Entre dos Rectas: Paralelas y Distintas: $\vec{d_1} = k\vec{d_2}$ y no tienen puntos en común. Paralelas y Coincidentes: $\vec{d_1} = k\vec{d_2}$ y tienen puntos en común (la misma recta). Secantes: No paralelas y se intersecan en un único punto. Alabeadas: No paralelas y no se intersecan (no coplanares). Entre un Plano y una Recta: Recta paralela al plano: $\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$. Si además el punto de la recta está en el plano, la recta está contenida en el plano (infinitos puntos). Si no, no hay intersección. Recta secante al plano: $\vec{d} \cdot \vec{n} \ne 0$. Se intersecan en un único punto. Deducciones de Distancias: Punto $Q(x_0, y_0, z_0)$ a Plano $Ax+By+Cz+D'=0$: $$D = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D'|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Punto $Q$ a Recta $L: \vec{p_0} + t\vec{d}$: $$D = \frac{||\vec{p_0Q} \times \vec{d}||}{||\vec{d}||}$$ Entre Planos Paralelos $P_1: Ax+By+Cz+D_1=0$ y $P_2: Ax+By+Cz+D_2=0$: $$D = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Entre Rectas Paralelas $L_1: \vec{p_1} + t\vec{d}$ y $L_2: \vec{p_2} + s\vec{d}$: Elige un punto $P_1$ en $L_1$ y calcula la distancia de $P_1$ a $L_2$. Entre Rectas Alabeadas $L_1: \vec{p_1} + t\vec{d_1}$ y $L_2: \vec{p_2} + s\vec{d_2}$: $$D = \frac{|(\vec{p_2} - \vec{p_1}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{||\vec{d_1} \times \vec{d_2}||}$$ Entre Recta y Plano Paralelos: Elige un punto $P$ en la recta y calcula la distancia de $P$ al plano.