Teorema de las Raíces Racionales: Si $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ tiene coeficientes enteros, y $p/q$ es una raíz racional (en forma reducida), entonces $p$ divide a $a_0$ y $q$ divide a $a_n$.

Fórmulas de Vieta: Para un polinomio $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ con raíces $r_1, r_2, \dots, r_n$:

Suma de raíces: $\sum r_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$
Suma de productos de raíces tomadas de dos en dos: $\sum_{i
Producto de raíces: $r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$

Desigualdades

AM-GM (Media Aritmética - Media Geométrica): Para números reales no negativos $x_1, x_2, \dots, x_n$: $\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$ La igualdad se cumple si y solo si $x_1 = x_2 = \dots = x_n$.
Cauchy-Schwarz: Para números reales $a_1, \dots, a_n$ y $b_1, \dots, b_n$: $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2)$ La igualdad se cumple si y solo si existe una constante $k$ tal que $a_i = k b_i$ para todo $i$, o si todos los $a_i$ o todos los $b_i$ son cero.
Rearreglo: Para dos secuencias de números reales $a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$ y $b_1 \leq b_2 \leq \dots \leq b_n$: $a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \dots + a_n b_1 \leq a_1 b_{\sigma(1)} + \dots + a_n b_{\sigma(n)} \leq a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$ para cualquier permutación $\sigma$ de $\{1, \dots, n\}$.

Funciones y Ecuaciones Funcionales

Inyectividad: Una función $f$ es inyectiva si $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.
Sobreyectividad: Una función $f$ es sobreyectiva si para todo $y$ en el codominio, existe un $x$ en el dominio tal que $f(x) = y$.
Biyectividad: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Problemas de Álgebra

Si $a, b, c$ son las raíces del polinomio $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$, calcula el valor de $a^2+b^2+c^2$.
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2x+1}$.
Demuestra que para números reales positivos $a, b, c$: $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$.
Encuentra los valores de $x$ para los cuales $\frac{x^2-3x+2}{x^2-4} \geq 0$.
Determina todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $f(x^2 - y^2) = (x-y)(f(x)+f(y))$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$.

Combinatoria

Principios Básicos de Conteo

Principio de la Suma: Si una tarea puede realizarse de $m$ maneras y otra tarea independiente puede realizarse de $n$ maneras, entonces hay $m+n$ maneras de realizar una de las dos tareas.
Principio del Producto: Si una tarea se puede descomponer en $k$ etapas, y la primera etapa tiene $n_1$ resultados, la segunda $n_2$, ..., la $k$-ésima $n_k$, entonces el número total de resultados es $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$.
Permutaciones: Arreglos ordenados de objetos.
- De $n$ objetos distintos: $n!$
- De $n$ objetos con repeticiones ($n_1$ idénticos de tipo 1, ..., $n_k$ idénticos de tipo k): $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}$
- De $k$ objetos tomados de $n$ distintos: $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$
Combinaciones: Selecciones no ordenadas de objetos.
- De $k$ objetos tomados de $n$ distintos: $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
- Identidades: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ (Identidad de Pascal).<