উচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্র (Higher Mathema

Cheatsheet Content

তৃতীয় অধ্যায়: জটিল সংখ্যা (Complex Numbers) Theoretical MCQ Notes: জটিল সংখ্যা (Complex Number): $a + ib$ আকারের সংখ্যাকে জটিল সংখ্যা বলা হয়। এখানে $a, b \in \mathbb{R}$ এবং $i$ হলো জটিল সংখ্যার একক যেখানে $i = \sqrt{-1}$ অথবা $i^2 = -1$। বাস্তব অংশ (Real Part): $a + ib$ জটিল সংখ্যার $a$ হলো বাস্তব অংশ। কাল্পনিক অংশ (Imaginary Part): $a + ib$ জটিল সংখ্যার $b$ হলো কাল্পনিক অংশ। অনুরাশি জটিল সংখ্যা (Conjugate Complex Number): একটি জটিল সংখ্যা $z = a + ib$ হলে এর অনুরাশি জটিল সংখ্যা $z = a - ib$। দুটি অনুরাশি জটিল সংখ্যার মডিউলাস সমান। Conceptual & Reasoning Analysis: মডিউলাস ও আর্গুমেন্ট (Modulus and Argument): $P$ বিন্দু জটিল সংখ্যা $z = x + iy$ এর প্রতিরূপ। $P$ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$ হলে, $OP = r$ এবং $\angle XOP = \theta$। $r = OP = \sqrt{x^2 + y^2}$। $r$ কে জটিল সংখ্যার মডিউলাস বলা হয়। $\theta$ কে জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট বা অ্যাম্প্লিচিউড বলা হয়। $\theta$ এর যে মান $-\pi \le \theta \le \pi$ কে সিদ্ধ করে, তাকে মুখ্য আর্গুমেন্ট বলে। $\tan\theta = \frac{y}{x} \implies \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$। আর্গুমেন্টের মান (Value of Argument): $z = x + iy$ এর ক্ষেত্রে, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$। $z = -x + iy$ এর ক্ষেত্রে, $\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$। $z = -x - iy$ এর ক্ষেত্রে, $\theta = \pm\pi + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$। $z = x - iy$ এর ক্ষেত্রে, $\theta = - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$। পোলার আকার (Polar Form): $z = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ (অয়লারের সংজ্ঞা)। বর্গমূল নির্ণয় (Finding Square Root): $i$ যুক্ত রাশিকে ২ দ্বারা ভাগ করে উৎপাদক আকারে লিখতে হয়। বাস্তব অংশ ঋণাত্মক হলে $i$ হবে বড়টির সাথে। বাস্তব অংশ ধনাত্মক হলে $i$ হবে ছোটটির সাথে। কাল্পনিক অংশ ঋণাত্মক হলে মাঝখানে $(-)$ হবে। কাল্পনিক অংশ ধনাত্মক হলে মাঝখানে $(+)$ হবে। এককের ঘনমূল (Cube Roots of Unity): কাল্পনিক ঘনমূলদ্বয় একটি অপরটির অনুরাশি। কাল্পনিক ঘনমূলদ্বয় একটি অপরটির বর্গের সমান। এককের কাল্পনিক ঘনমূলদ্বয়ের যোগফল $0$ অর্থাৎ $1 + \omega + \omega^2 = 0$। এককের কাল্পনিক ঘনমূলদ্বয়ের গুণফল $1$ অর্থাৎ $1 \times \omega \times \omega^2 = \omega^3 = 1$। $i^3 = -i$। জটিল সংখ্যাভিত্তিক সঞ্চারপথ (Locus of Complex Numbers): $|z| = a$: বৃত্ত। $|z - a| = b$: বৃত্ত। $|z|^2 = a^2$: বৃত্ত। $|z + a| = |z + b|$: সরলরেখা। $|az + b| = |cz + d|$: বৃত্ত। $|z + a| + |z + b| = c$: উপবৃত্ত। $|z + a| - |z + b| = c$: অধিবৃত্ত। Mathematical MCQ Patterns: মডিউলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয়: $z = -3 - i\sqrt{3}$ হলে মডিউলাস $|z| = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$। আর্গুমেন্ট $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{-3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ$। যেহেতু $z$ তৃতীয় চতুর্ভাগে, $\theta = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ$। এককের ঘনমূলের মান নির্ণয়: $(1 + \omega - \omega^2)^2 + (1 - \omega + \omega^2)^2 = (-2\omega^2)^2 + (-2\omega)^2 = 4\omega^4 + 4\omega^2 = 4\omega + 4\omega^2 = 4(\omega + \omega^2) = -4$। জটিল সংখ্যার সমীকরণ: $|z-3| = 4$ হলে, $|x+iy-3| = 4 \implies |(x-3)+iy| = 4 \implies \sqrt{(x-3)^2+y^2} = 4 \implies (x-3)^2+y^2 = 4^2$ (বৃত্তের সমীকরণ)। Formula & Shortcut Bank (STRICT COPY): জটিল সংখ্যার একক: $i = \sqrt{-1}$ ★ $i$ এর ঘাত: $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$ ★ মডিউলাস: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ ★ আর্গুমেন্ট: $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ ★ পোলার আকার: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ★ অয়লারের সূত্র: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ★ এককের ঘনমূল: $1, \omega, \omega^2$ ★ এককের ঘনমূলের ধর্ম: $1 + \omega + \omega^2 = 0$, $\omega^3 = 1$ ★ $i$ এর ঘাতের যোগফল: $i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} = 0$ ★ বর্গমূলের সূত্র: $\sqrt{a+ib} = \pm\left[\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right]$ ★ (যদি $b>0$) বর্গমূলের শর্টকাট: $i$ যুক্ত রাশিকে $2$ দ্বারা ভাগ করে উৎপাদক আকারে লিখতে হবে। বাস্তব অংশ ঋণাত্মক হলে $i$ হবে বড়টির সাথে, বাস্তব অংশ ধনাত্মক হলে $i$ হবে ছোটটির সাথে। কাল্পনিক অংশ ঋণাত্মক হলে মাঝখানে $(-)$ হবে, ধনাত্মক হলে মাঝখানে $(+)$ হবে। $\sqrt{2i} = \pm(1+i)$ ★ $\sqrt{-2i} = \pm(1-i)$ ★ $\sqrt{i} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$ ★ $\sqrt{-i} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)$ ★ MCQ Speed Section: $i$ এর ঘাত: $i^{4n} = 1$, $i^{4n+1} = i$, $i^{4n+2} = -1$, $i^{4n+3} = -i$। এককের ঘনমূল: $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$, $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$। অনুরাশি জটিল সংখ্যার মডিউলাস: $z=a+ib$ এবং $\bar{z}=a-ib$ হলে, $|z| = |\bar{z}| = \sqrt{a^2+b^2}$। এককের ঘনমূলের ঘাত: $\omega^n$ এর মান নির্ণয়ে $n$ কে $3$ দ্বারা ভাগ করে ভাগশেষ ব্যবহার করা হয়। $|z+a|=|z+b|$: এটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। $|z-a|+|z-b|=c$: যদি $c > |a-b|$ হয়, তবে এটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। $|z-a|-|z-b|=c$: যদি $c চতুর্থ অধ্যায়: বহুপদী সমীকরণ (Polynomial Equations) Theoretical MCQ Notes: দ্বিঘাত সমীকরণ: $ax^2 + bx + c = 0$। মূলদ্বয়: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$। নিশ্চায়ক (Discriminant): $D = b^2 - 4ac$। মূলের প্রকৃতি: $D = 0$: মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান। $D > 0$: মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান। $D $D$ পূর্ণবর্গ হলে: মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ। বহুপদী সমীকরণ: $ax^2 + bx + c = 0$ এর মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে: মূলদ্বয়ের যোগফল: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{\text{x-এর সহগ}}{\text{x}^2\text{-এর সহগ}}$। মূলদ্বয়ের গুণফল: $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{\text{x-বর্জিত পদ}}{\text{x}^2\text{-এর সহগ}}$। $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ এর মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$। $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$। $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$। কিছু সাধারণ শর্ত: কিছুসংখ্যক বর্গের যোগফল $0$ হলে, প্রত্যেক বর্গ রাশি আলাদা আলাদাভাবে $0$ হবে। যেমন: $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=0$ হলে, $(a+b)^2=0, (b+c)^2=0, (c+a)^2=0$। মূলগুলি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) গঠন করলে: ত্রিঘাতের ক্ষেত্রে: $a-d, a, a+d$। চতুর্ঘাতের ক্ষেত্রে: $a-3d, a-d, a+d, a+3d$। মূলগুলি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression) গঠন করলে: ত্রিঘাতের ক্ষেত্রে: $\frac{a}{r}, a, ar$। চতুর্ঘাতের ক্ষেত্রে: $\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3$। একটি মূল $p+iq$ হলে, অন্য মূল $p-iq$ (অনুরাশি)। একটি মূল $p+\sqrt{q}$ হলে, অন্য মূল $p-\sqrt{q}$ (অনুরাশি)। Conceptual & Reasoning Analysis: মূল ও ঘাত: কোনো সমীকরণের সর্বোচ্চ ঘাত যত, সেই সমীকরণের মূল ততটি। অভেদ (Identity): কোনো দ্বিঘাত সমীকরণ অজ্ঞাত রাশির দুইয়ের অধিক মান দ্বারা সিদ্ধ হলে, তা অবশ্যই একটি অভেদ হবে। দ্বিঘাত সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্র: $a=0$ হলে সমীকরণটি একঘাত হবে এবং মূল হবে ১টি। $b=0$ হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত হবে এবং মূল হবে দুটি (সমান ও বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট) এবং যোগফল হবে শূন্য। $c=0$ হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত হবে এবং একটি মূল শূন্য হবে। মূল ও সহগের সম্পর্ক: মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$। একটি মূল $p+iq$ হলে সমীকরণ: $x^2 - 2px + p^2+q^2 = 0$। একটি মূল $p+\sqrt{q}$ হলে সমীকরণ: $x^2 - 2px + p^2-q = 0$। Mathematical MCQ Patterns: মূলের প্রকৃতি নির্ণয়: $D$ এর মান বের করে মূলের প্রকৃতি বলা। নির্দিষ্ট শর্তে সহগের মান নির্ণয়: মূলের যোগফল বা গুণফল ব্যবহার করে অজানা সহগ বের করা। নতুন মূলবিশিষ্ট সমীকরণ গঠন: পুরনো সমীকরণের মূল থেকে নতুন মূল তৈরি করে সমীকরণ গঠন। Formula & Shortcut Bank (STRICT COPY): দ্বিঘাত সমীকরণের মূল: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ★ নিশ্চায়ক: $D = b^2 - 4ac$ ★ মূল ও সহগের সম্পর্ক: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ ★ $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ ★ $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ ★ $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ ★ $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$ ★ নতুন সমীকরণ গঠন: $x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$ ★ মূল $p+iq$ হলে সমীকরণ: $x^2 - 2px + p^2+q^2 = 0$ ★ মূল $p+\sqrt{q}$ হলে সমীকরণ: $x^2 - 2px + p^2-q = 0$ ★ মূল $\frac{r}{p+\sqrt{q}}$ হলে সমীকরণ: $(p^2-q)x^2 - 2rpx + r^2 = 0$ ★ মূল $p+iq$ হলে $x = \frac{1}{2}(-1-i\sqrt{3})$ এর ক্ষেত্রে $x^{18}$ এর মান $1$ হবে। ★ মূল $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ হলে $\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^6 = -i$ হবে। ★ $ax^2 + bx + c = 0$ এর মূল $\alpha, \beta$ হলে: $-\alpha, -\beta$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ: $ax^2 - bx + c = 0$ ★ $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ: $cx^2 + bx + a = 0$ ★ $-\frac{1}{\alpha}, -\frac{1}{\beta}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ: $cx^2 - bx + a = 0$ ★ $k\alpha, k\beta$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ: $ax^2 + bkx + ck^2 = 0$ ★ $\alpha+k, \beta+k$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ: $a(x-k)^2 + b(x-k) + c = 0$ ★ $\alpha-k, \beta-k$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ: $a(x+k)^2 + b(x+k) + c = 0$ ★ MCQ Speed Section: সর্বোচ্চ/সর্বনিম্ন মান: $ax^2 + bx + c$ রাশির সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান $= \frac{4ac-b^2}{4a}$। মূলদ্বয় একটি অপরটির $k$ গুণ: $\frac{b^2}{ac} = \frac{(k+1)^2}{k}$। মূলদ্বয় একটি অপরটির বিপরীত: $c=a$। মূলদ্বয় একটি অপরটির বিপরীত ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত: $c=-a$ এবং $b=0$। মূলদ্বয় একটি অপরটির $k$ বেশি: $\frac{b^2-4ac}{a^2} = (2k)^2$। মূলদ্বয় একটি অপরটির বর্গ: $\frac{b^2}{ac} = \frac{(k+1)^2}{k}$। $x^2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0$ ষষ্ঠ অধ্যায়: কনিক (Conic) Theoretical MCQ Notes: কনিকের সংজ্ঞা: কার্তেসীয় সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু ও একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা থেকে যেসব বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত একটি ধ্রুবক, তাদের সঞ্চারপথকে কনিক বলে। উপকেন্দ্র (Focus): নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে কনিকের উপকেন্দ্র বা ফোকাস বলে। নিয়ামক (Directrix): নির্দিষ্ট সরলরেখাটিকে কনিকের দিকাক্ষ বা নিয়ামক বলে। উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity): ধ্রুব অনুপাতটিকে উৎকেন্দ্রিকতা বলে। একে $e$ দ্বারা সূচিত করা হয়। উৎকেন্দ্রিকতার মান ও কনিকের প্রকারভেদ: $e = 0$: বৃত্ত। $e = 1$: পরাবৃত্ত। $0 $e > 1$: অধিবৃত্ত। Conceptual & Reasoning Analysis: পরাবৃত্ত (Parabola): উৎকেন্দ্রিকতা $e=1$। $y^2 = 4ax$ পরাবৃত্ত: শীর্ষবিন্দু: $(0,0)$ উপকেন্দ্র: $(a,0)$ দিকাক্ষের সমীকরণ: $x+a=0$ অক্ষরেখার সমীকরণ: $y=0$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $|4a|$ উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $x-a=0$ উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: $(a, 2a)$ এবং $(a, -2a)$ $y^2 = -4ax$ পরাবৃত্ত: শীর্ষবিন্দু: $(0,0)$ উপকেন্দ্র: $(-a,0)$ দিকাক্ষের সমীকরণ: $x-a=0$ অক্ষরেখার সমীকরণ: $y=0$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $|4a|$ উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $x+a=0$ উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: $(-a, 2a)$ এবং $(-a, -2a)$ $x^2 = 4ay$ পরাবৃত্ত: শীর্ষবিন্দু: $(0,0)$ উপকেন্দ্র: $(0,a)$ দিকাক্ষের সমীকরণ: $y+a=0$ অক্ষরেখার সমীকরণ: $x=0$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $|4a|$ উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $y-a=0$ উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: $(2a, a)$ এবং $(-2a, a)$ $x^2 = -4ay$ পরাবৃত্ত: শীর্ষবিন্দু: $(0,0)$ উপকেন্দ্র: $(0,-a)$ দিকাক্ষের সমীকরণ: $y-a=0$ অক্ষরেখার সমীকরণ: $x=0$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $|4a|$ উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $y+a=0$ উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: $(2a, -a)$ এবং $(-2a, -a)$ উপবৃত্ত (Ellipse): উৎকেন্দ্রিকতা $0 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ উপবৃত্ত ($a>b$ হলে): কেন্দ্র: $(0,0)$ বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2a$ ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2b$ উৎকেন্দ্রিকতা: $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ নিয়ামকের সমীকরণ: $x = \pm\frac{a}{e}$ উপকেন্দ্রদ্বয়: $(\pm ae, 0)$ শীর্ষবিন্দুদ্বয়: $(\pm a, 0)$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\frac{2b^2}{a}$ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ উপবৃত্ত ($a কেন্দ্র: $(0,0)$ বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2b$ ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2a$ উৎকেন্দ্রিকতা: $e = \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}$ নিয়ামকের সমীকরণ: $y = \pm\frac{b}{e}$ উপকেন্দ্রদ্বয়: $(0, \pm be)$ শীর্ষবিন্দুদ্বয়: $(0, \pm b)$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\frac{2a^2}{b}$ অধিবৃত্ত (Hyperbola): উৎকেন্দ্রিকতা $e > 1$। $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ অধিবৃত্ত: কেন্দ্র: $(0,0)$ উপকেন্দ্রদ্বয়: $(\pm ae, 0)$ শীর্ষবিন্দুদ্বয়: $(\pm a, 0)$ নিয়ামকের সমীকরণ: $x = \pm\frac{a}{e}$ উৎকেন্দ্রিকতা: $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ অনুপ্রস্থ অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2a$ অনুপ্রস্থ অক্ষের সমীকরণ: $y=0$ অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2b$ অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ: $x=0$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\frac{2b^2}{a}$ অসীমতট রেখার সমীকরণ: $y = \pm\frac{b}{a}x$ $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ অধিবৃত্ত: কেন্দ্র: $(0,0)$ উপকেন্দ্রদ্বয়: $(0, \pm be)$ শীর্ষবিন্দুদ্বয়: $(0, \pm b)$ নিয়ামকের সমীকরণ: $y = \pm\frac{b}{e}$ উৎকেন্দ্রিকতা: $e = \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}$ অনুপ্রস্থ অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2b$ অনুপ্রস্থ অক্ষের সমীকরণ: $x=0$ অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য: $2a$ অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ: $y=0$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\frac{2a^2}{b}$ অসীমতট রেখার সমীকরণ: $y = \pm\frac{b}{a}x$ Mathematical MCQ Patterns: কনিকের পরামিতি নির্ণয়: সমীকরণ থেকে শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, দিকাক্ষ, অক্ষের সমীকরণ, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ইত্যাদি নির্ণয়। কনিকের সমীকরণ নির্ণয়: উপকেন্দ্র, দিকাক্ষ, উৎকেন্দ্রিকতা বা অন্যান্য শর্ত ব্যবহার করে কনিকের সমীকরণ গঠন। স্পর্শক সংক্রান্ত: স্পর্শকের সমীকরণ বা স্পর্শবিন্দু নির্ণয়। Formula & Shortcut Bank (STRICT COPY): কনিকের সাধারণ সমীকরণ: $PS = e \cdot PM$ ★ পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y^2 = 4ax$ ★ $y^2 = -4ax$ ★ $x^2 = 4ay$ ★ $x^2 = -4ay$ ★ উপবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>b$) ★ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($b>a$) ★ অধিবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ★ $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ ★ পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ: $y^2 = 4ax$ পরাবৃত্তের $(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: $yy_1 = 2a(x+x_1)$ ★ $y^2 = 4ax$ পরাবৃত্তের $y=mx+c$ রেখা স্পর্শক হলে $c = \frac{a}{m}$ ★ উপবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ উপবৃত্তের $(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ ★ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ উপবৃত্তের $y=mx+c$ রেখা স্পর্শক হলে $c^2 = a^2m^2+b^2$ ★ অধিবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ অধিবৃত্তের $(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ ★ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ অধিবৃত্তের $y=mx+c$ রেখা স্পর্শক হলে $c^2 = a^2m^2-b^2$ ★ MCQ Speed Section: কনিকের সাধারণ সমীকরণ: $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$। $B^2-4AC = 0$ হলে পরাবৃত্ত। $B^2-4AC $B^2-4AC > 0$ হলে অধিবৃত্ত। পরাবৃত্তের লেখচিত্র: $y^2=4ax$ (ডান দিকে খোলা), $y^2=-4ax$ (বাম দিকে খোলা), $x^2=4ay$ (উপর দিকে খোলা), $x^2=-4ay$ (নিচ দিকে খোলা)। উৎকেন্দ্রিকতা: $e = 0$ (বৃত্ত), $e = 1$ (পরাবৃত্ত), $0 1$ (অধিবৃত্ত)। উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল: $\pi ab$। পরাবৃত্ত ও উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল: $\frac{8a^2}{3}$। সপ্তম অধ্যায়: বিপরীত ত্রিকোণমিতি (Inverse Trigonometry) Theoretical MCQ Notes: বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা: যদি $\sin\theta = x$ হয়, তবে $\theta = \sin^{-1}x$ কে $x$ এর বিপরীত সাইন ফাংশন বা আর্কসাইন $x$ বলা হয়। মৌলিক সম্পর্ক: $\sin^{-1}x = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2} = \tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \csc^{-1}\frac{1}{x} = \sec^{-1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \cot^{-1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ যোগ ও বিয়োগের সূত্র: $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy}$ $\tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\frac{x-y}{1+xy}$ $\sin^{-1}x \pm \sin^{-1}y = \sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2})$ $\cos^{-1}x \pm \cos^{-1}y = \cos^{-1}(xy \mp \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2})$ $2\tan^{-1}x$ এর সূত্র: $2\tan^{-1}x = \sin^{-1}\frac{2x}{1+x^2}$ $2\tan^{-1}x = \cos^{-1}\frac{1-x^2}{1+x^2}$ $2\tan^{-1}x = \tan^{-1}\frac{2x}{1-x^2}$ $3\tan^{-1}x$ এর সূত্র: $3\tan^{-1}x = \tan^{-1}\frac{3x-x^3}{1-3x^2}$ Conceptual & Reasoning Analysis: বিপরীত ফাংশনের ডোমেইন ও রেঞ্জ: $\sin^{-1}x$: ডোমেইন $[-1, 1]$, রেঞ্জ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$। $\cos^{-1}x$: ডোমেইন $[-1, 1]$, রেঞ্জ $[0, \pi]$। $\tan^{-1}x$: ডোমেইন $(-\infty, \infty)$ বা $\mathbb{R}$, রেঞ্জ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$। $\cot^{-1}x$: ডোমেইন $(-\infty, \infty)$ বা $\mathbb{R}$, রেঞ্জ $(0, \pi)$। $\sec^{-1}x$: ডোমেইন $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ বা $\mathbb{R}-(-1, 1)$, রেঞ্জ $[0, \frac{\pi}{2}) \cup [\pi, \frac{3\pi}{2})$। $\csc^{-1}x$: ডোমেইন $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ বা $\mathbb{R}-(-1, 1)$, রেঞ্জ $(0, \frac{\pi}{2}] \cup (\pi, \frac{3\pi}{2}]$। সমীকরণের সমাধান: ক্যালকুলেটরে রাশি লিখে CALC চাপলে সমাধান পাওয়া যায় অথবা অপশন টেস্ট করতে হয়। Mathematical MCQ Patterns: মান নির্ণয়: $\tan^{-1}\frac{1}{2} + \tan^{-1}\frac{1}{3}$ এর মতো রাশির মান নির্ণয়। সমীকরণ সমাধান: $\tan^{-1}x + \tan^{-1}2 + \tan^{-1}3 = \pi$ এর মতো সমীকরণ থেকে $x$ এর মান নির্ণয়। ত্রিকোণমিতিক অভেদ: $A+B+C = \frac{\pi}{2}$ বা $\pi$ হলে ত্রিকোণমিতিক রাশির মান নির্ণয়। Formula & Shortcut Bank (STRICT COPY): মৌলিক অভেদ: $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ ★ $\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ ★ $\sec^{-1}x + \csc^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ ★ $2\tan^{-1}x$ এর রূপান্তর: $2\tan^{-1}x = \sin^{-1}\frac{2x}{1+x^2}$ ★ $2\tan^{-1}x = \cos^{-1}\frac{1-x^2}{1+x^2}$ ★ $2\tan^{-1}x = \tan^{-1}\frac{2x}{1-x^2}$ ★ যোগ ও বিয়োগের সূত্র: $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy}$ ★ $\tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\frac{x-y}{1+xy}$ ★ $\sin^{-1}x \pm \sin^{-1}y = \sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2})$ ★ $\cos^{-1}x \pm \cos^{-1}y = \cos^{-1}(xy \mp \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2})$ ★ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ: $\sin\theta = 0 \implies \theta = n\pi$ ★ $\cos\theta = 0 \implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ ★ $\tan\theta = 0 \implies \theta = n\pi$ ★ $\sin\theta = \sin\alpha \implies \theta = n\pi+(-1)^n\alpha$ ★ $\cos\theta = \cos\alpha \implies \theta = 2n\pi\pm\alpha$ ★ $\tan\theta = \tan\alpha \implies \theta = n\pi+\alpha$ ★ MCQ Speed Section: $A+B+C=\frac{\pi}{2}$ বা $\pi$ হলে ত্রিকোণমিতিক অভেদ: $A, B, C$ এর মান $0^\circ, 30^\circ, 60^\circ$ বা $90^\circ$ ধরে অপশন টেস্ট করা যায়। বাইরে $\sin, \cos$ এবং ভিতরে $\tan, \cot$: ফলাফল হবে বাইরের $\sin/\cos/\tan/\cot$ এর সাথে যে সংখ্যা বা রাশি থাকবে সেটি। যেমন: $\sin(\cot^{-1}(\tan(\sin^{-1}x))) = \sqrt{1-x^2}$। $a\cos x + b\sin x = c$ আকারের সমীকরণ: সমীকরণকে $\sqrt{a^2+b^2}$ দ্বারা ভাগ করে $\sin(x\pm\alpha)$ বা $\cos(x\pm\alpha)$ আকারে প্রকাশ করে সমাধান করা। সাধারণ সমাধান: অপশন থেকে $n=0$ বসিয়ে মান বের করে সমীকরণ সিদ্ধ করা। যদি $n=0$ এর জন্য দুটি অপশনে একই মান পাওয়া যায়, তবে $n=1$ বসিয়ে পরীক্ষা করা। অষ্টম অধ্যায়: স্থিতিবিদ্যা (Statics) Theoretical MCQ Notes: লম্বাংশের সূত্র (Resolved Parts Theorem): একটি বিন্দুতে কোনো নির্দিষ্ট দিকে দুই বা ততোধিক বলের লম্বাংশের বীজগাণিতিক যোগফল একই দিক বরাবর তাদের লব্ধির লম্বাংশের সমান। বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকার শর্ত: যেকোনো দুটি বলের যোগফল তৃতীয় বল অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে। যেকোনো দুটি বলের বিয়োগফল তৃতীয় বল অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হতে হবে। বলগুলির লব্ধি শূন্য হতে হবে। লব্ধির দিক: $\tan\theta = \frac{Q\sin\alpha}{P+Q\cos\alpha}$ ★ বলের ত্রিভুজ সূত্র (Triangle of Forces): একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বলকে একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা একই ক্রমে মানে ও দিকে সূচিত করা গেলে বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকে। লামীর উপপাদ্য (Lami's Theorem): একবিন্দুতে ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত তিনটি একতলীয় বল সাম্যাবস্থায় থাকলে, প্রত্যেকটি বলের মান অপর দুটি বলের অন্তর্ভুক্ত কোণের সাইনের সমানুপাতিক। $\frac{P}{\sin\angle YOZ} = \frac{Q}{\sin\angle ZOX} = \frac{R}{\sin\angle XOY}$ ★ সদৃশ সমান্তরাল বল: লব্ধি $R = P+Q$ এবং $P \cdot AC = Q \cdot BC$। লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু বলদ্বয়ের সংযোগকারী রেখার মধ্যে অবস্থিত। বিসদৃশ সমান্তরাল বল: লব্ধি $R = P-Q$ (যদি $P>Q$) এবং $P \cdot AC = Q \cdot BC$। লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু বলদ্বয়ের সংযোগকারী রেখার বাইরে বড় বলটির পাশে অবস্থিত। যুগলের ভ্রামক (Moment of Couple): কোনো যুগলের একটি অংশক বলের মান এবং এর বাহুর গুণফলকে উক্ত যুগলের ভ্রামক বলে। $G = P \cdot p$ ★ Conceptual & Reasoning Analysis: দুটি বলের লব্ধি (Resultant of Two Forces): $R = \sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos\alpha}$ ★ **বিশেষ ক্ষেত্র:** $\alpha=0^\circ$: $R_{max} = P+Q$ ★ $\alpha=180^\circ$: $R_{min} = P-Q$ ★ $\alpha=90^\circ$: $R = \sqrt{P^2+Q^2}$ ★ $P=Q$: $R = 2P\cos\frac{\alpha}{2}$ এবং $\theta = \frac{\alpha}{2}$ ★ লব্ধি $R$ ক্ষুদ্রতম বল $Q$ এর সাথে $90^\circ$ কোণ উৎপন্ন করলে: $\alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{Q}{P}\right)$ এবং $R = \sqrt{P^2-Q^2}$ ★ প্রথম বলকে দ্বিগুণ করলে লব্ধিও দ্বিগুণ হয় এবং লব্ধি বৃহৎ বলের সাথে কোণ অর্ধেক হয়, তবে $P, Q$ এর অন্তর্ভুক্ত কোণ $\alpha = 120^\circ$। তিনটি বল সাম্যাবস্থায় থাকার শর্ত: বলগুলি ত্রিভুজের বাহু দ্বারা একই ক্রমে নির্দেশিত হতে হবে। লব্ধি শূন্য হতে হবে। লামীর উপপাদ্য প্রযোজ্য হবে। সমান্তরাল বল: সদৃশ সমান্তরাল বলের ক্ষেত্রে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু বলদ্বয়ের সংযোগকারী রেখার মধ্যে থাকে। বিসদৃশ সমান্তরাল বলের ক্ষেত্রে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু বলদ্বয়ের সংযোগকারী রেখার বাইরে বড় বলটির পাশে থাকে। Mathematical MCQ Patterns: লব্ধির মান ও দিক নির্ণয়: বলের মান ও অন্তর্ভুক্ত কোণ থেকে লব্ধির মান ও দিক বের করা। সাম্যাবস্থার শর্তে বলের মান বা কোণ নির্ণয়: লামীর উপপাদ্য বা লম্বাংশের সূত্র ব্যবহার করে অজানা বল বা কোণ বের করা। সমান্তরাল বলের লব্ধি ও প্রয়োগবিন্দু: বলের মান ও প্রয়োগবিন্দু থেকে লব্ধির মান ও প্রয়োগবিন্দু বের করা। Formula & Shortcut Bank (STRICT COPY): লব্ধির মান: $R = \sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos\alpha}$ ★ লব্ধির দিক: $\tan\theta = \frac{Q\sin\alpha}{P+Q\cos\alpha}$ ★ লামীর উপপাদ্য: $\frac{P}{\sin\angle YOZ} = \frac{Q}{\sin\angle ZOX} = \frac{R}{\sin\angle XOY}$ ★ লম্বাংশে বিভাজন: $R_x = \sum F_i \cos\theta_i$, $R_y = \sum F_i \sin\theta_i$ ★ সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি: $R = P+Q$ ★ বিসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি (P>Q): $R = P-Q$ ★ যুগলের ভ্রামক: $G = P \cdot d$ (যেখানে $d$ হলো বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব) ★ দুটি বলের লব্ধির সর্বোচ্চ মান: $R_{max} = P+Q$ ★ দুটি বলের লব্ধির সর্বনিম্ন মান: $R_{min} = |P-Q|$ ★ দুটি সমান বল $P$ এর লব্ধি: $R = 2P\cos\frac{\alpha}{2}$ ★ MCQ Speed Section: লব্ধি ক্ষুদ্রতম বলের উপর লম্ব হলে: $R = \sqrt{P^2-Q^2}$ এবং $\cos\alpha = -\frac{Q}{P}$। লব্ধি বৃহৎ বলের উপর লম্ব হলে: $R = \sqrt{Q^2-P^2}$ এবং $\cos\alpha = -\frac{P}{Q}$। সমান বলের লব্ধি: যদি $P=Q$ এবং $R=P$ হয়, তবে $\alpha=120^\circ$। বলত্রয় সাম্যাবস্থায়: $P, Q, R$ সাম্যাবস্থায় থাকলে, যেকোনো দুটি বলের যোগফল তৃতীয় বল অপেক্ষা বৃহত্তর হবে। লম্বাংশ উপপাদ্য: $x$-অক্ষ বরাবর লম্বাংশ $R\cos\theta = \sum F_i\cos\theta_i$ এবং $y$-অক্ষ বরাবর $R\sin\theta = \sum F_i\sin\theta_i$। নবম অধ্যায়: সমতলে বস্তুকণার গতি (Motion of a Particle in a Plane) Theoretical MCQ Notes: গতির সমীকরণ (Equations of Motion): $v = u \pm ft$ ★ $S = ut \pm \frac{1}{2}ft^2$ ★ $v^2 = u^2 \pm 2fS$ ★ $t$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব: $S_t = u \pm \frac{1}{2}f(2t-1)$ ★ সমবেগের ক্ষেত্রে: $S = vt$ ★ ত্বরণ: $f = \frac{v-u}{t}$ ★ বস্তুকণাকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ (Vertical Projection Upwards): $v = u - gt$ ★ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ ★ $v^2 = u^2 - 2gh$ ★ সর্বাধিক উচ্চতা: $H = \frac{u^2}{2g}$ ★ সর্বাধিক উচ্চতায় পৌঁছানোর সময়কাল: $t = \frac{u}{g}$ ★ বিচরণকাল বা উড্ডয়নকাল: $T = \frac{2u}{g}$ ★ নির্দিষ্ট উচ্চতায় গমনের সময়কাল: $t = \frac{u \pm \sqrt{u^2-2gh}}{g}$ ★ প্রক্ষেপকের গতি (Projectile Motion): **ভূমি থেকে শূন্যে নিক্ষিপ্ত প্রক্ষেপক:** অনুভূমিক দূরত্ব: $x = u\cos\alpha \cdot t$ ★ উল্লম্ব দূরত্ব: $y = u\sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$ ★ সর্বাধিক উচ্চতা: $H = \frac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$ ★ সর্বাধিক উচ্চতায় পৌঁছানোর সময়কাল: $t = \frac{u\sin\alpha}{g}$ ★ উড্ডয়নকাল: $T = \frac{2u\sin\alpha}{g}$ ★ অনুভূমিক পাল্লা: $R = \frac{u^2\sin2\alpha}{g}$ ★ সর্বাধিক অনুভূমিক পাল্লা ($R_{max}$ যখন $\alpha=45^\circ$): $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ ★ **অনুভূমিকভাবে নিক্ষিপ্ত প্রক্ষেপক:** ($\alpha=0^\circ$) অনুভূমিক দূরত্ব: $x = ut$ ★ উল্লম্ব দূরত্ব: $y = \frac{1}{2}gt^2$ ★ ভূমিকে $\theta$ কোণে আঘাত করলে: $v\cos\theta = u$, $v\sin\theta = gt$ ★ গতিশীল তলের ক্ষেত্রে চাপ (Pressure on a Moving Plane): বস্তুসহ তলটি স্থির থাকলে বা ভূমির সমান্তরালে চললে: $R = mg$ ★ বস্তুসহ তলটি $f$ সুষম ত্বরণে ঊর্ধ্বে আরোহণ করলে: $R = m(g+f)$ ★ বস্তুসহ তলটি $f$ সুষম ত্বরণে নিম্নে আরোহণ করলে: $R = m(g-f)$ ★ Conceptual & Reasoning Analysis: ত্বরণ: বেগের পরিবর্তনের হার। মন্দন: বেগের হ্রাস। দূরত্ব: মোট অতিক্রান্ত পথ। সরণ: আদি ও শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী সর্বনিম্ন দূরত্ব। ভূমি থেকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতি: অভিকর্ষজ ত্বরণের বিরুদ্ধে গতি। ঊর্ধ্বে আরোহণকারী বেলুন থেকে পাথর নিক্ষেপ: পাথরের আদি বেগ হবে বেলুনের ঊর্ধ্বে গতিশীল বেগ। Mathematical MCQ Patterns: গতির সমীকরণ প্রয়োগ: $u, v, f, S, t$ এর মধ্যে যেকোনো তিনটি দেওয়া থাকলে বাকিগুলো নির্ণয়। খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতি: সর্বাধিক উচ্চতা, বিচরণকাল, নির্দিষ্ট সময় পর বেগ বা উচ্চতা নির্ণয়। প্রক্ষেপকের গতি: অনুভূমিক পাল্লা, সর্বাধিক উচ্চতা, উড্ডয়নকাল, নির্দিষ্ট সময় পর অবস্থান নির্ণয়। গতিশীল তলের চাপ: লিফটের গতি, বেলুনের গতি ইত্যাদি ক্ষেত্রে চাপ বা ত্বরণ নির্ণয়। সাপেক্ষ বেগ (Relative Velocity): দুটি বস্তুর গতিশীল অবস্থায় একটির সাপেক্ষে অন্যটির বেগ নির্ণয়। Formula & Shortcut Bank (STRICT COPY): গতির মৌলিক সূত্র: $v = u + ft$ (ত্বরণ) / $v = u - ft$ (মন্দন) ★ $S = ut + \frac{1}{2}ft^2$ (ত্বরণ) / $S = ut - \frac{1}{2}ft^2$ (মন্দন) ★ $v^2 = u^2 + 2fS$ (ত্বরণ) / $v^2 = u^2 - 2fS$ (মন্দন) ★ অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$) এর অধীনে গতি: $v = u - gt$ (ঊর্ধ্বগতি) / $v = u + gt$ (নিম্নগতি) ★ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ (ঊর্ধ্বগতি) / $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ (নিম্নগতি) ★ $v^2 = u^2 - 2gh$ (ঊর্ধ্বগতি) / $v^2 = u^2 + 2gh$ (নিম্নগতি) ★ প্রক্ষেপকের গতি: $H = \frac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$ (সর্বাধিক উচ্চতা) ★ $T = \frac{2u\sin\alpha}{g}$ (উড্ডয়নকাল) ★ $R = \frac{u^2\sin2\alpha}{g}$ (অনুভূমিক পাল্লা) ★ গতিশীল তলের চাপ: $R = m(g+f)$ (ঊর্ধ্বমুখী ত্বরণ) ★ $R = m(g-f)$ (নিম্নমুখী ত্বরণ) ★ $R = mg$ (স্থির বা সমবেগে গতিশীল) ★ MCQ Speed Section: ত্বরণের একক: $m/s^2$ বা $ft/s^2$। গতির সমীকরণ: $u$ (আদিবেগ), $v$ (শেষবেগ), $f$ (ত্বরণ/মন্দন), $S$ (দূরত্ব), $t$ (সময়)। সর্বাধিক উচ্চতা: $H = \frac{u^2}{2g}$ (খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত)। অনুভূমিক পাল্লা: $\alpha=45^\circ$ হলে অনুভূমিক পাল্লা সর্বাধিক হয়: $R_{max} = \frac{u^2}{g}$। বস্তু নিক্ষেপ: যদি কোনো বস্তুকে উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হয়, তাহলে $g$ এর মান ঋণাত্মক এবং নিচের দিকে নিক্ষেপ করা হলে $g$ এর মান ধনাত্মক ধরতে হবে। গুরুত্বপূর্ণ ২০টি বুলেট পয়েন্ট (Top 20 Important Bullet Points) জটিল সংখ্যা $z = a+ib$ এর অনুরাশি $z = a-ib$। জটিল সংখ্যার মডিউলাস $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ এবং আর্গুমেন্ট $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$। এককের ঘনমূলের যোগফল $1+\omega+\omega^2 = 0$ এবং গুণফল $\omega^3 = 1$। দ্বিঘাত সমীকরণের মূল $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$। দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণায়ক $D = b^2-4ac$। ($D=0$ হলে বাস্তব ও সমান; $D>0$ হলে বাস্তব ও অসমান; $D মূলদ্বয়ের যোগফল $\alpha+\beta = -b/a$ এবং গুণফল $\alpha\beta = c/a$। নতুন সমীকরণ গঠন: $x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$। কনিকের সংজ্ঞা: $PS = e \cdot PM$। কনিকের প্রকারভেদ: $e=0$ (বৃত্ত), $e=1$ (পরাবৃত্ত), $0 1$ (অধিবৃত্ত)। পরাবৃত্তের সমীকরণ $y^2 = 4ax$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $|4a|$। উপবৃত্তের সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ ($a>b$ এর জন্য)। অধিবৃত্তের সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মৌলিক অভেদ: $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$। $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy}$। $2\tan^{-1}x = \tan^{-1}\frac{2x}{1-x^2} = \sin^{-1}\frac{2x}{1+x^2} = \cos^{-1}\frac{1-x^2}{1+x^2}$। দুটি বল $P, Q$ এর লব্ধি $R = \sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos\alpha}$। লামীর উপপাদ্য: $\frac{P}{\sin\angle YOZ} = \frac{Q}{\sin\angle ZOX} = \frac{R}{\sin\angle XOY}$। খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বাধিক উচ্চতা $H = \frac{u^2}{2g}$ এবং উড্ডয়নকাল $T = \frac{2u}{g}$। প্রক্ষেপকের অনুভূমিক পাল্লা $R = \frac{u^2\sin2\alpha}{g}$ এবং সর্বাধিক পাল্লা $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ (যখন $\alpha=45^\circ$)। গতিশীল তলের চাপ: ঊর্ধ্বে আরোহণ করলে $R = m(g+f)$, নিম্নে আরোহণ করলে $R = m(g-f)$।