Goniometria & Trigonometria

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### Definizione di Angoli Un angolo può essere misurato in gradi o in radianti. - **Gradi:** Un giro completo è $360^\circ$. - **Radianti:** Un giro completo è $2\pi$ radianti. - **Conversione:** - Gradi a Radianti: $rad = gradi \times \frac{\pi}{180}$ - Radianti a Gradi: $gradi = rad \times \frac{180}{\pi}$ ### Cerchio Goniometrico È un cerchio con raggio $r=1$ centrato nell'origine degli assi cartesiani. - **Seno ($\sin\alpha$):** L'ordinata del punto $P$ sulla circonferenza. - **Coseno ($\cos\alpha$):** L'ascissa del punto $P$ sulla circonferenza. - **Tangente ($\tan\alpha$ o $\operatorname{tg}\alpha$):** Il rapporto tra seno e coseno, $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. - **Cotangente ($\cot\alpha$ o $\operatorname{ctg}\alpha$):** Il rapporto tra coseno e seno, $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. - **Secante ($\sec\alpha$):** Il reciproco del coseno, $\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}$. - **Cosecante ($\csc\alpha$ o $\operatorname{cosec}\alpha$):** Il reciproco del seno, $\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}$. ### Valori Notevoli | Angolo (Gradi) | Angolo (Radianti) | $\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ | |----------------|-------------------|--------------|--------------|--------------| | $0^\circ$ | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | | $30^\circ$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$| $\frac{\sqrt{3}}{2}$| $\frac{\sqrt{3}}{3}$| | $45^\circ$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$| $\frac{\sqrt{2}}{2}$| $1$ | | $60^\circ$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$| $\frac{1}{2}$| $\sqrt{3}$ | | $90^\circ$ | $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | Indefinita | | $180^\circ$ | $\pi$ | $0$ | $-1$ | $0$ | | $270^\circ$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $-1$ | $0$ | Indefinita | | $360^\circ$ | $2\pi$ | $0$ | $1$ | $0$ | ### Relazioni Fondamentali - $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ (Identità fondamentale) - $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ - $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{\tan\alpha}$ - $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} = \sec^2\alpha$ - $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} = \csc^2\alpha$ ### Formule di Addizione e Sottrazione - $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ - $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ - $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$ ### Formule di Duplicazione - $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ - $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$ - $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$ ### Formule di Bisezione - $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$ - $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$ - $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$ ### Formule di Prostaferesi - $\sin p + \sin q = 2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$ - $\sin p - \sin q = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$ - $\cos p + \cos q = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$ - $\cos p - \cos q = -2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$ ### Formule di Werner - $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]$ - $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)]$ - $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$ ### Equazioni Goniometriche Elementari - $\sin x = k \implies x = \arcsin k + 2k\pi \quad \lor \quad x = \pi - \arcsin k + 2k\pi$ - $\cos x = k \implies x = \pm \arccos k + 2k\pi$ - $\tan x = k \implies x = \arctan k + k\pi$ ### Teoremi sui Triangoli Rettangoli In un triangolo rettangolo, con angoli acuti $\alpha$ e $\beta$ e ipotenusa $c$: - **Teorema del seno:** $a = c \sin\alpha$, $b = c \sin\beta$ - **Teorema del coseno:** $a = c \cos\beta$, $b = c \cos\alpha$ - $\tan\alpha = \frac{a}{b}$, $\cot\alpha = \frac{b}{a}$ ### Teoremi sui Triangoli Qualsiasi Sia un triangolo con lati $a, b, c$ e angoli opposti $\alpha, \beta, \gamma$: - **Teorema dei seni:** $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$ - **Teorema del coseno (o di Carnot):** - $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$ - $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta$ - $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$ - **Area del triangolo:** $A = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = \frac{1}{2}bc\sin\alpha = \frac{1}{2}ac\sin\beta$