Trigonometria

Cheatsheet Content

### Definizione nel Triangolo Rettangolo Sia un triangolo rettangolo con angoli acuti $\alpha$ e $\beta$, ipotenusa $c$ e cateti $a$ (opposto ad $\alpha$) e $b$ (adiacente ad $\alpha$). - **Seno (sin):** $\sin(\alpha) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} = \frac{a}{c}$ - **Coseno (cos):** $\cos(\alpha) = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} = \frac{b}{c}$ - **Tangente (tan):** $\tan(\alpha) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{a}{b} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ - **Cosecante (csc):** $\csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{a}$ - **Secante (sec):** $\sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} = \frac{c}{b}$ - **Cotangente (cot):** $\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{b}{a} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ ### Circonferenza Goniometrica Una circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine degli assi cartesiani. - Un angolo $\theta$ in posizione standard ha il vertice nell'origine e il lato iniziale lungo l'asse x positivo. - Il punto $P(x,y)$ dove il lato terminale interseca la circonferenza ha coordinate: - $x = \cos(\theta)$ - $y = \sin(\theta)$ - Gli angoli sono misurati in radianti o gradi. $2\pi \text{ rad} = 360^\circ$. ### Identità Fondamentali - **Identità Pitagorica:** $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ - **Altre identità:** - $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$ - $1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$ ### Valori per Angoli Particolari | Gradi | Radianti | $\sin(\theta)$ | $\cos(\theta)$ | $\tan(\theta)$ | |:------|:---------|:---------------|:---------------|:---------------| | $0^\circ$ | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | | $30^\circ$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | | $45^\circ$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | | $60^\circ$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | | $90^\circ$ | $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | Indefinito | | $180^\circ$ | $\pi$ | $0$ | $-1$ | $0$ | | $270^\circ$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $-1$ | $0$ | Indefinito | | $360^\circ$ | $2\pi$ | $0$ | $1$ | $0$ | ### Formule di Addizione e Sottrazione - $\sin(A \pm B) = \sin(A)\cos(B) \pm \cos(A)\sin(B)$ - $\cos(A \pm B) = \cos(A)\cos(B) \mp \sin(A)\sin(B)$ - $\tan(A \pm B) = \frac{\tan(A) \pm \tan(B)}{1 \mp \tan(A)\tan(B)}$ ### Formule di Duplicazione - $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ - $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta)$ - $\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}$ ### Formule di Bisezione - $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{2}}$ - $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}}$ - $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{\sin(\theta)} = \frac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)}$ ### Formule di Prostaferesi - $\sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ - $\sin(A) - \sin(B) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ - $\cos(A) + \cos(B) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ - $\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ ### Formule di Werner - $\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ - $\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$ - $\sin(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ ### Teoremi sui Triangoli Qualsiasi Sia un triangolo con lati $a, b, c$ e angoli opposti $\alpha, \beta, \gamma$. - **Teorema dei Seni:** $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R$ (dove $R$ è il raggio della circonferenza circoscritta) - **Teorema del Coseno (o di Carnot):** - $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$ - $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)$ - $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$ - **Area del Triangolo:** - $Area = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma) = \frac{1}{2}bc\sin(\alpha) = \frac{1}{2}ac\sin(\beta)$ - $Area = \frac{abc}{4R}$ ### Grafici delle Funzioni Base - **Funzione seno:** $y = \sin(x)$ - Dominio: $(-\infty, +\infty)$ - Codominio: $[-1, 1]$ - Periodo: $2\pi$ - **Funzione coseno:** $y = \cos(x)$ - Dominio: $(-\infty, +\infty)$ - Codominio: $[-1, 1]$ - Periodo: $2\pi$ - **Funzione tangente:** $y = \tan(x)$ - Dominio: $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ - Codominio: $(-\infty, +\infty)$ - Periodo: $\pi$