Modèle Néo-Keynésien Standard

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### Introduction au Modèle Néo-Keynésien Standard Le modèle Néo-Keynésien Standard est une extension du modèle de Cycle Économique Réel (RBC) qui intègre des éléments d'imperfections de marché pour mieux expliquer les fluctuations économiques et l'efficacité des politiques monétaires et budgétaires. Les hypothèses clés qui assouplissent la concurrence pure et parfaite sont : - **Concurrence Imparfaite :** Contrairement au modèle RBC, où les marchés sont parfaitement concurrentiels, le modèle Néo-Keynésien introduit la concurrence monopolistique. C'est le "cœur" de ces modèles. - **Structure de Production Complexe :** Le problème de l'entreprise est plus élaboré, incluant deux secteurs : - **Entreprises de biens finals (détaillants) :** Agrègent les biens intermédiaires dans un environnement de concurrence parfaite. - **Entreprises de biens intermédiaires (grossistes) :** Produisent des biens différenciés et opèrent en concurrence imparfaite. - **Biens Différenciés :** La concurrence imparfaite se manifeste dans le secteur de gros, où les entreprises produisent des biens légèrement différents, qui sont ensuite vendus et agrégés par les détaillants. ### Brève Revue Théorique #### 1. Produits Différenciés et Agrégation de la Consommation Dans les modèles traditionnels, la consommation suppose l'existence d'un seul produit. Le modèle Néo-Keynésien introduit la notion de **produits différenciés**. - **Consommation agrégée :** Les consommateurs achètent un grand nombre de biens et services différents. La consommation totale est une fonction de ces $N$ biens de consommation différenciés : $$c = c(c_1, c_2, c_3, \dots, c_N)$$ Où $c_j$ est la consommation du bien de type $j$. - **Propriétés de la fonction de consommation agrégée :** 1. $\frac{\partial c(\cdot)}{\partial c_j} > 0$ : La consommation totale est croissante par rapport à la consommation de chaque bien $j$. 2. $\frac{\partial^2 c(\cdot)}{\partial c_j^2} 1$ est généralement supposé pour que les biens soient des substituts imparfaits. - $\psi$ mesure à quel point les produits sont différents du point de vue du consommateur représentatif. Une valeur élevée de $\psi$ indique que les biens sont de bons substituts. - **Définition de l'élasticité de substitution $\psi$ :** L'élasticité de substitution $\psi$ mesure la variation proportionnelle de $(c_1/c_2)$ par rapport à la variation proportionnelle du Taux Marginal de Substitution (TMS) le long d'une courbe d'indifférence. $$\psi = \frac{\%\Delta(c_1/c_2)}{\%\Delta TMS} = \frac{\partial(c_1/c_2)}{\partial TMS} \frac{TMS}{(c_1/c_2)} = \frac{d\ln(c_1/c_2)}{d\ln TMS}$$ Un graphique illustre l'élasticité de substitution entre deux biens. En se déplaçant le long d'une courbe d'indifférence, le rapport $(c_1/c_2)$ et le TMS changent. $\psi$ est le rapport entre ces changements proportionnels. Ce paramètre mesure la courbure de la courbe d'indifférence. #### 2. Firmes Opérant en Concurrence Imparfaite - Chaque bien différencié $j \in \{1, 2, \dots, N\}$ est produit par une entreprise distincte opérant sur un marché de **concurrence monopolistique**. - Les biens sont similaires mais non identiques, conférant à chaque entreprise un certain **pouvoir de marché**. - En maximisant leurs profits, ces entreprises fixent un prix supérieur au coût marginal ($P_j > MC_j$). - **Définition de la concurrence monopolistique :** Un marché en concurrence monopolistique est caractérisé par : - De nombreuses entreprises. - Des produits très similaires mais non identiques (différenciation par qualité, localisation, services, etc.). - Une entrée et sortie libres sur le marché. - **Courbes de demande et de coût :** - Une entreprise en concurrence monopolistique fait face à une courbe de demande à pente négative. - La courbe de recette marginale ($Rmg$) est inférieure à la courbe de demande. - La maximisation du profit se produit lorsque $Rmg = Cmg$. Dans ce cas, le prix $P_j$ est supérieur au coût marginal $MC_j$. - **Lien avec $\psi$ :** Si l'élasticité de substitution $\psi \to \infty$, les biens deviennent des substituts parfaits. Les entreprises n'ont plus de pouvoir de marché et font face à une courbe de demande parfaitement élastique. Utiliser $\psi \to \infty$ est une manière de "désactiver" la concurrence monopolistique dans les modèles. #### 3. La Rigidité des Prix La rigidité nominale des prix est une caractéristique fondamentale des modèles Néo-Keynésiens. - **Définition de la rigidité des prix :** Situation où le prix d'un bien ne s'ajuste pas immédiatement à un nouvel équilibre suite à des changements dans les courbes de demande ou d'offre. Les acheteurs et vendeurs sont incapables d'ajuster le prix d'équilibre. - **Faits stylisés concernant les prix et salaires :** - Temporairement rigides. - Réajustés en moyenne 2 à 3 fois par an. - La fréquence d'ajustement est une cause principale de l'inflation élevée. - Ne sont pas réajustés simultanément. - Les prix des biens échangeables sont ajustés plus fréquemment que ceux des biens non-échangeables. ### Le Modèle Le modèle Néo-Keynésien Standard intègre la rigidité des prix et la concurrence monopolistique, tout en conservant les hypothèses du modèle de cycles réels pour le comportement des ménages. #### 1. Comportement des Ménages Les ménages suivent le même comportement d'optimisation que dans le modèle des cycles réels. Les équations clés sont : - **Accumulation du capital (issue de l'équation 1.3 du modèle RBC) :** $$K_{j,t+1} = (1 - \delta)K_{j,t} + I_{j,t} \quad \text{(2.1)}$$ Où $K_{j,t}$ est le capital, $I_{j,t}$ l'investissement, et $\delta$ le taux de dépréciation. - **Offre de travail (issue de l'équation 1.8 du modèle RBC) :** $$C_{j,t}^\sigma L_{j,t}^\varphi = \frac{W_t}{P_t} \quad \text{(2.2)}$$ Où $C_{j,t}$ est la consommation, $L_{j,t}$ l'offre de travail, $W_t$ le salaire nominal, $P_t$ le niveau général des prix, $\sigma$ l'aversion relative au risque, et $\varphi$ la désutilité marginale du travail. - **Équation d'Euler (issue de l'équation 1.9 du modèle RBC) :** $$\left(\frac{E_t C_{j,t+1}}{C_{j,t}}\right)^\sigma = \beta \left[ (1 - \delta) + E_t \frac{R_{t+1}}{P_{t+1}} \right] \quad \text{(2.3)}$$ Où $\beta$ est le facteur d'actualisation, $R_t$ le taux d'intérêt nominal, et $E_t$ l'opérateur d'espérance conditionnelle. #### 2. Comportement des Entreprises Le secteur de production est divisé en deux sous-secteurs : ##### a. Les entreprises produisant les biens finals (entreprises de vente au détail) Ces entreprises agrègent les biens intermédiaires en un seul bien final. - **Hypothèse 1 :** Les entreprises opèrent sur un marché de concurrence monopolistique. (Cette hypothèse est cruciale ici et remplace l'hypothèse 8 du modèle RBC). - **Hypothèse 2 :** Le bien agrégé est vendu par une entreprise de vente au détail sur un marché de concurrence parfaite. Toutes les entreprises de vente au détail sont identiques. - **Continuum de biens intermédiaires :** Par commodité mathématique, on suppose un continuum de biens intermédiaires indicés dans l'intervalle $[0, 1]$. Chaque bien est produit par un grossiste et est imparfaitement substituable. - **Technologie d'agrégation (Dixit-Stiglitz) :** $$Y_t = \left( \int_0^1 (Y_{j,t})^{\frac{\psi-1}{\psi}} dj \right)^{\frac{\psi}{\psi-1}} \quad \text{(2.4)}$$ Où $Y_t$ est le produit des détaillants, $Y_{j,t}$ est le bien intermédiaire $j$, et $\psi > 1$ est l'élasticité de substitution entre les biens intermédiaires. - **Problème de maximisation du profit des détaillants :** Les détaillants maximisent leur profit en choisissant la quantité de chaque bien intermédiaire $Y_{j,t}$ : $$\max_{\{Y_{j,t}\}} P_t Y_t - \int_0^1 P_{j,t} Y_{j,t} dj \quad \text{(2.5)}$$ Où $P_t$ est le prix du bien final, et $P_{j,t}$ est le prix du bien intermédiaire $j$. - **Condition de premier ordre et demande de bien intermédiaire :** En substituant (2.4) dans (2.5) et en dérivant par rapport à $Y_{j,t}$, on obtient : $$Y_{j,t} = Y_t \left(\frac{P_{j,t}}{P_t}\right)^{-\psi} \quad \text{(2.7)}$$ C'est la fonction de demande pour le bien intermédiaire $j$, qui est proportionnelle à la demande agrégée $Y_t$ et inversement proportionnelle à son prix relatif. - **Règle de majoration (mark-up rule) :** En substituant (2.7) dans (2.4), on peut dériver le niveau général des prix $P_t$ : $$P_t = \left( \int_0^1 (P_{j,t})^{1-\psi} dj \right)^{\frac{1}{1-\psi}} \quad \text{(2.8)}$$ Cette équation définit le niveau général des prix comme une moyenne pondérée des prix des biens intermédiaires. ##### b. Les entreprises produisant des biens intermédiaires (entreprises de vente en gros) Ces entreprises vendent leurs produits différenciés aux entreprises de vente au détail. - **Hypothèse 3 :** En raison de la nature différenciée des produits de gros, les grossistes ont un pouvoir de marché et fixent leurs prix (concurrence monopolistique). - **Hypothèse 4 :** Les coûts de production fixes sont nuls. Le coût variable moyen est égal au coût total moyen. - **Hypothèse 5 :** Le coût de production unitaire d'un produit de gros est constant quelle que soit l'échelle de production (rendements d'échelle constants), ce qui implique un coût marginal constant. Ces hypothèses (4 et 5) impliquent que la fonction de coût marginal coïncide avec la fonction de coût total moyen. - **Problème de minimisation des coûts des grossistes :** Les grossistes minimisent leurs coûts totaux pour une production donnée $Y_{j,t}$ en choisissant le capital $K_{j,t}$ et le travail $L_{j,t}$ : $$\min_{L_{j,t}, K_{j,t}} W_t L_{j,t} + R_t K_{j,t} \quad \text{(2.9)}$$ **Sous contrainte de la technologie de production (Cobb-Douglas) :** $$Y_{j,t} = A_t K_{j,t}^\alpha L_{j,t}^{1-\alpha} \quad \text{(2.10)}$$ Où $A_t$ est la productivité totale des facteurs, et $\alpha$ est l'élasticité du niveau de production par rapport au capital. - **Loi du mouvement de la productivité :** $$\log A_t = (1 - \rho_A) \log A_{ss} + \rho_A \log A_{t-1} + \epsilon_t \quad \text{(2.11)}$$ Où $A_{ss}$ est la valeur de la productivité à l'état stationnaire, $\rho_A$ est le paramètre autorégressif ($|\rho_A| ### L'État-Stationnaire L'état-stationnaire représente l'équilibre de long terme du modèle, où toutes les variables sont constantes. Il sert de point de référence pour la log-linéarisation et les simulations. #### 1. Ménages à l'État-Stationnaire - **Offre de travail :** $$C_{ss}^\sigma L_{ss}^\varphi = \frac{W_{ss}}{P_{ss}} \quad \text{(2.23)}$$ - **Équation d'Euler :** $$1 = \beta \left[ (1 - \delta) + \frac{R_{ss}}{P_{ss}} \right] \quad \text{(2.24)}$$ - **Accumulation du capital :** $$\delta K_{ss} = I_{ss} \quad \text{(2.25)}$$ #### 2. Entreprises à l'État-Stationnaire - **Demande de travail :** $$L_{ss} = (1 - \alpha) MC_{ss} \frac{Y_{ss}}{W_{ss}} \quad \text{(2.26)}$$ - **Demande de capital :** $$K_{ss} = \alpha MC_{ss} \frac{Y_{ss}}{R_{ss}} \quad \text{(2.27)}$$ - **Fonction de production :** $$Y_{ss} = A_{ss} K_{ss}^\alpha L_{ss}^{1-\alpha} \quad \text{(2.28)}$$ - **Coût marginal nominal :** $$MC_{ss} = \frac{1}{A_{ss}} \left(\frac{W_{ss}}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha} \left(\frac{R_{ss}}{\alpha}\right)^\alpha \quad \text{(2.29)}$$ - **Prix optimal agrégé :** $$P_{ss} = \frac{\psi}{\psi-1} MC_{ss} \quad \text{(2.30)}$$ Cette équation montre que le prix à l'état-stationnaire est une majoration constante du coût marginal. #### 3. Condition d'Équilibre à l'État-Stationnaire - **Équilibre du marché des biens :** $$Y_{ss} = C_{ss} + I_{ss} \quad \text{(2.31)}$$ Pour déterminer les valeurs de l'état-stationnaire, on normalise généralement le niveau général des prix $P_{ss}=1$. - **Taux d'intérêt nominal à l'état-stationnaire :** $$R_{ss} = P_{ss} \left[ \frac{1}{\beta} - (1-\delta) \right] \quad \text{(2.32)}$$ - **Coût marginal à l'état-stationnaire :** $$MC_{ss} = \frac{\psi-1}{\psi} P_{ss} \quad \text{(2.33)}$$ - **Salaire nominal à l'état-stationnaire :** $$W_{ss} = (1-\alpha) MC_{ss} \left(\frac{\alpha}{R_{ss}}\right)^\alpha \left(\frac{1-\alpha}{W_{ss}}\right)^{-(1-\alpha)} \quad \text{(2.34)}$$ Cette équation est dérivée en substituant $Y_{ss}$ de (2.28) dans (2.26) ou (2.27), puis en utilisant (2.29). - **Investissement à l'état-stationnaire :** $$I_{ss} = \left( \frac{\delta \alpha MC_{ss}}{R_{ss}} \right) Y_{ss} \quad \text{(2.35)}$$ - **Consommation à l'état-stationnaire :** $$C_{ss} = \left( \frac{1}{Y_{ss}^\varphi} \left[ \frac{W_{ss}}{P_{ss} (1-\alpha)MC_{ss}} \right]^\varphi \right)^{\frac{1}{\sigma}} \quad \text{(2.36)}$$ Cette équation est obtenue en substituant (2.26) dans (2.23). - **Production à l'état-stationnaire :** En combinant (2.31), (2.35) et (2.36), on peut résoudre pour $Y_{ss}$. Les expressions sont complexes et impliquent des relations entre $Y_{ss}$, $W_{ss}$, $R_{ss}$, $MC_{ss}$, $P_{ss}$ et les paramètres du modèle. #### Tableau 1 : La Structure du Modèle (État-Stationnaire) | Équation | Définition | |----------|------------| | $C_{ss}^\sigma L_{ss}^\varphi = W_{ss}/P_{ss}$ | Offre de travail | | $1 = \beta [ (1 - \delta) + R_{ss}/P_{ss} ]$ | Équation d'Euler | | $\delta K_{ss} = I_{ss}$ | Loi du mouvement du capital | | $Y_{ss} = A_{ss}K_{ss}^\alpha L_{ss}^{1-\alpha}$ | Fonction de production | | $K_{ss} = \alpha MC_{ss} Y_{ss}/R_{ss}$ | Demande de capital | | $L_{ss} = (1 - \alpha) MC_{ss} Y_{ss}/W_{ss}$ | Demande de travail | | $MC_{ss} = \frac{1}{A_{ss}} (\frac{W_{ss}}{1-\alpha})^{1-\alpha} (\frac{R_{ss}}{\alpha})^\alpha$ | Coût marginal | | $P_{ss} = \frac{\psi}{\psi-1} MC_{ss}$ | Niveau optimal du prix | | $\pi_{ss} = P_{ss}/P_{ss-1}$ | Taux d'inflation brut | | $Y_{ss} = C_{ss} + I_{ss}$ | Condition d'équilibre | | $\log A_{ss} = (1-\rho_A)\log A_{ss} + \rho_A \log A_{ss} + \epsilon_{ss}$ | Choc de productivité | #### Tableau 2 : Valeurs des Paramètres du Modèle Structurel (Exemple) | Paramètre | Définition | Valeur calibrée | |-----------|-------------------------------------------------------|-----------------| | $\sigma$ | Coefficient d'aversion relative au risque | 2 | | $\varphi$ | Désutilité marginale par rapport à l'offre de travail | 1.5 | | $\alpha$ | Élasticité du niveau de production par rapport au capital | 0.35 | | $\beta$ | Facteur d'actualisation | 0.985 | | $\delta$ | Taux de dépréciation | 0.025 | | $\rho_A$ | Paramètre autorégressif de la productivité | 0.95 | | $\sigma_A$| Écart-type de la productivité | 0.1 | | $\theta$ | Paramètre de rigidité des prix | 0.75 | | $\psi$ | Élasticité de substitution entre les biens intermédiaires | 8 | #### Tableau 3 : Variables à l'État-Stationnaire (Exemple) | Variable | État-stationnaire | |----------|-------------------| | $A$ | 1 | | $R$ | 0.040 | | $MC$ | 0.2286 | | $W$ | 0.2152 | | $Y$ | 0.778 | | $I$ | 0.039 | | $C$ | 0.739 | | $L$ | 0.537 | | $K$ | 1.547 | ### La Log-Linéarisation La log-linéarisation consiste à approcher les équations non linéaires du modèle par des équations linéaires autour de l'état-stationnaire. Cela facilite l'analyse et la résolution du modèle. Les variables log-linéarisées sont généralement notées avec un tilde ($\tilde{X}_t = \log(X_t) - \log(X_{ss})$ ou $\hat{X}_t = X_t/X_{ss} - 1 \approx \log(X_t/X_{ss})$). #### 1. Équations Log-Linéarisées du Modèle - **Offre de travail (log-linéarisée de 2.2) :** $$\sigma \tilde{C}_t + \varphi \tilde{L}_t = \tilde{W}_t - \tilde{P}_t \quad \text{(2.38)}$$ - **Équation d'Euler (log-linéarisée de 2.3) :** $$\frac{\sigma}{\beta} (E_t \tilde{C}_{t+1} - \tilde{C}_t) = \frac{R_{ss}}{P_{ss}} E_t (\tilde{R}_{t+1} - \tilde{P}_{t+1}) \quad \text{(2.39)}$$ - **Relations entre taux d'intérêt, coût marginal, production et capital (log-linéarisées de 2.13 et 2.14) :** $$\tilde{R}_t = \tilde{MC}_t + \tilde{Y}_t - \tilde{K}_t \quad \text{(2.40)}$$ $$\tilde{W}_t = \tilde{MC}_t + \tilde{Y}_t - \tilde{L}_t \quad \text{(2.41)}$$ - **Fonction de production (log-linéarisée de 2.10) :** $$\tilde{Y}_t = \tilde{A}_t + \alpha \tilde{K}_t + (1 - \alpha) \tilde{L}_t \quad \text{(2.42)}$$ - **Loi du mouvement du capital (log-linéarisée de 2.1) :** $$\tilde{K}_{t+1} = (1 - \delta) \tilde{K}_t + \delta \tilde{I}_t \quad \text{(2.43)}$$ - **Équilibre du marché des biens (log-linéarisée de 2.22) :** $$Y_{ss} \tilde{Y}_t = C_{ss} \tilde{C}_t + I_{ss} \tilde{I}_t \quad \text{(2.44)}$$ - **Loi du mouvement de la productivité (log-linéarisée de 2.11) :** $$\tilde{A}_t = \rho_A \tilde{A}_{t-1} + \epsilon_t \quad \text{(2.45)}$$ #### 2. Le Coût Marginal Log-Linéarisé Le coût marginal log-linéarisé est un élément clé pour dériver la courbe de Phillips. - **D'après l'équation (2.17), le coût marginal log-linéarisé est :** $$\tilde{MC}_t = (1 - \alpha) \tilde{W}_t + \alpha \tilde{R}_t - \tilde{A}_t \quad \text{(2.46)}$$ #### 3. Détermination de la Courbe de Phillips Néo-Keynésienne La courbe de Phillips néo-keynésienne relie l'inflation au coût marginal et aux anticipations d'inflation future. - **Log-linéarisation de l'équation du prix optimal (2.20) :** $$\tilde{P}_t^* = \frac{1}{\frac{\psi-1}{\psi}} \left( \frac{\psi-1}{\psi} \tilde{MC}_t + \beta \theta E_t \tilde{P}_{t+1}^* \right) \Rightarrow \tilde{P}_t^* = \tilde{MC}_t + \beta \theta E_t \tilde{P}_{t+1}^*$$ En simplifiant, on obtient une relation entre le prix optimal et le coût marginal : $$\tilde{P}_t^* = (1 - \beta \theta) E_t \sum_{i=0}^\infty (\beta \theta)^i \tilde{MC}_{t+i} \quad \text{(2.47)}$$ Ceci représente le prix optimal comme une moyenne pondérée des coûts marginaux futurs attendus. - **Log-linéarisation de l'équation du niveau général des prix (2.21) :** $$\tilde{P}_t = \theta \tilde{P}_{t-1} + (1 - \theta) \tilde{P}_t^*$$ En définissant le taux d'inflation log-linéarisé comme $\tilde{\pi}_t = \tilde{P}_t - \tilde{P}_{t-1}$ et la relation $E_t \tilde{\pi}_{t+1} = E_t \tilde{P}_{t+1} - \tilde{P}_t$, on peut manipuler ces équations. - **La Courbe de Phillips Néo-Keynésienne (CPNK) :** En substituant (2.47) dans la log-linéarisation de (2.21) et en utilisant la technique de quasi-différenciation, on obtient la CPNK : $$\tilde{\pi}_t = \beta E_t \tilde{\pi}_{t+1} + \frac{(1-\theta)(1-\beta\theta)}{\theta} \tilde{MC}_t \quad \text{(2.50)}$$ Cette équation montre que l'inflation actuelle ($\tilde{\pi}_t$) dépend de l'inflation future anticipée ($E_t \tilde{\pi}_{t+1}$) et du coût marginal réel ($\tilde{MC}_t$). C'est un résultat central des modèles Néo-Keynésiens, montrant comment les rigidités nominales (ici, $\theta$) créent une inertie dans l'inflation. #### Tableau 4 : La Structure de la Version Log-Linéaire du Modèle | Équation | Définition | |----------|------------| | $\sigma \tilde{C}_t + \varphi \tilde{L}_t = \tilde{W}_t - \tilde{P}_t$ | L'offre de travail | | $\frac{\sigma}{\beta} (E_t \tilde{C}_{t+1} - \tilde{C}_t) = \frac{R_{ss}}{P_{ss}} E_t (\tilde{R}_{t+1} - \tilde{P}_{t+1})$ | Équation d'Euler | | $\tilde{K}_{t+1} = (1 - \delta) \tilde{K}_t + \delta \tilde{I}_t$ | Loi de mouvement du capital | | $\tilde{Y}_t = \tilde{A}_t + \alpha \tilde{K}_t + (1 - \alpha) \tilde{L}_t$ | La fonction de production | | $\tilde{K}_t = \tilde{MC}_t + \tilde{Y}_t - \tilde{R}_t$ | La demande de capital | | $\tilde{L}_t = \tilde{MC}_t + \tilde{Y}_t - \tilde{W}_t$ | La demande de travail | | $\tilde{MC}_t = (1-\alpha)\tilde{W}_t + \alpha\tilde{R}_t - \tilde{A}_t$ | Le coût marginal | | $\tilde{\pi}_t = \beta E_t \tilde{\pi}_{t+1} + \frac{(1-\theta)(1-\beta\theta)}{\theta} \tilde{MC}_t$ | L'équation de Phillips | | $\tilde{\pi}_t = \tilde{P}_t - \tilde{P}_{t-1}$ | Le taux d'inflation brut | | $Y_{ss} \tilde{Y}_t = C_{ss} \tilde{C}_t + I_{ss} \tilde{I}_t$ | La condition d'équilibre | | $\tilde{A}_t = \rho_A \tilde{A}_{t-1} + \epsilon_t$ | Le choc de productivité |