Đại số tuyến tính

Cheatsheet Content

1. Số phức 1.1 Giới thiệu Định nghĩa số phức: $z = a + bi$, với $i^2 = -1$. Mô đun của số phức: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Đối số của số phức: $\arg(z)$. 1.2 Các phép toán Cộng/Trừ: $(a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$. Nhân: $(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$. Chia: $\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$. 1.3 Dạng lượng giác và Dạng mũ Dạng lượng giác: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, với $r=|z|, \theta=\arg(z)$. Dạng mũ (Euler): $z = re^{i\theta}$. Công thức Moivre: $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$ hoặc $(r(\cos\theta + i\sin\theta))^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$. 1.4 Căn bậc $n$ của số phức Các nghiệm $w_k = \sqrt[n]{r}e^{i(\frac{\theta+2k\pi}{n})}$, với $k=0, 1, \dots, n-1$. 1.5 Định lý cơ bản của đại số Mọi đa thức bậc $n$ với hệ số phức đều có đúng $n$ nghiệm (tính cả bội). 2. Ma trận và định thức 2.1 Định nghĩa ma trận Ma trận là một mảng số hình chữ nhật. Kích thước $m \times n$. Các loại ma trận đặc biệt: ma trận vuông, ma trận không, ma trận đơn vị ($I$), ma trận đường chéo, ma trận tam giác. 2.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng và ma trận bậc thang Phép biến đổi hàng: Nhân một hàng với một số khác 0. Hoán đổi hai hàng. Cộng một bội số của một hàng vào hàng khác. Dạng bậc thang (Echelon form): Các hàng toàn số 0 nằm dưới cùng. Phần tử khác 0 đầu tiên (pivot) của mỗi hàng nằm bên phải pivot của hàng trên. Dạng bậc thang rút gọn (Reduced echelon form): Thỏa mãn dạng bậc thang. Tất cả các pivot bằng 1. Tất cả các phần tử trên và dưới pivot đều bằng 0. 2.3 Các phép toán ma trận Cộng/Trừ: Cùng kích thước, cộng/trừ từng phần tử. Nhân với một số vô hướng: $k A = (ka_{ij})$. Nhân ma trận: $C = AB$, $c_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$. Số cột của $A$ phải bằng số hàng của $B$. Ma trận chuyển vị: $A^T$, $(A^T)_{ij} = a_{ji}$. Ma trận nghịch đảo: $A^{-1}$, $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. Chỉ tồn tại nếu $A$ là ma trận vuông và $\det(A) \neq 0$. $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. 2.4 Định thức Định nghĩa: $\det(A)$ là một số vô hướng gán cho ma trận vuông. Tính chất: $\det(A) = \det(A^T)$. $\det(AB) = \det(A)\det(B)$. $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$. Nếu $A$ có một hàng/cột toàn 0, $\det(A)=0$. Nếu $A$ có hai hàng/cột giống nhau, $\det(A)=0$. Nếu $A$ là ma trận tam giác, $\det(A)$ là tích các phần tử trên đường chéo chính. Định thức con (minor) $M_{ij}$ và phần bù đại số (cofactor) $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$. Khai triển Laplace: $\det(A) = \sum_j a_{ij}C_{ij}$ (khai triển theo hàng $i$) hoặc $\sum_i a_{ij}C_{ij}$ (khai triển theo cột $j$). 3. Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Biểu diễn ma trận Dạng tổng quát: $Ax = b$. Ma trận mở rộng: $[A|b]$. 3.2 Phương pháp giải Phương pháp khử Gauss: Đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang. Phương pháp Gauss-Jordan: Đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang rút gọn. Sử dụng ma trận nghịch đảo: Nếu $A$ khả nghịch, $x = A^{-1}b$. Quy tắc Cramer: Sử dụng định thức để tìm nghiệm. 3.3 Số nghiệm Vô nghiệm (inconsistent): Hàng dạng $[0 \ 0 \ \dots \ 0 \ | \ k]$ với $k \neq 0$. Nghiệm duy nhất. Vô số nghiệm. 4. Không gian vector 4.1 Định nghĩa không gian vector Tập hợp $V$ cùng với phép cộng vector và phép nhân với số vô hướng, thỏa mãn 10 tiên đề. Ví dụ: $\mathbb{R}^n$, không gian đa thức $P_n$, không gian ma trận $M_{m \times n}$. 4.2 Không gian con Một tập con $W$ của $V$ là không gian con nếu $W$ đóng với phép cộng vector và phép nhân với số vô hướng (chứa vector không). 4.3 Tổ hợp tuyến tính và bao tuyến tính Tổ hợp tuyến tính: $c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_kv_k$. Bao tuyến tính (Span): Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của một tập vector $\{v_1, \dots, v_k\}$. Ký hiệu $\text{span}\{v_1, \dots, v_k\}$. 4.4 Tập hợp phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Độc lập tuyến tính: Phương trình $c_1v_1 + \dots + c_kv_k = 0$ chỉ có nghiệm duy nhất $c_1=\dots=c_k=0$. Phụ thuộc tuyến tính: Có ít nhất một $c_i \neq 0$. 4.5 Cơ sở và số chiều Cơ sở: Một tập hợp các vector độc lập tuyến tính mà bao trùm toàn bộ không gian vector. Số chiều (Dimension): Số lượng vector trong một cơ sở của không gian vector. Ký hiệu $\dim(V)$. Cơ sở chính tắc: $\{\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n\}$ cho $\mathbb{R}^n$. 4.6 Không gian hàng, không gian cột, không gian rỗng Không gian hàng: Bao tuyến tính của các vector hàng của ma trận $A$. $\text{row}(A)$. Không gian cột: Bao tuyến tính của các vector cột của ma trận $A$. $\text{col}(A)$. Không gian rỗng (Null space): Tập hợp các vector $x$ sao cho $Ax=0$. $\text{null}(A)$. Hạng (Rank): Số chiều của không gian hàng (hoặc cột) của $A$. $\text{rank}(A)$. Số vô hiệu (Nullity): Số chiều của không gian rỗng của $A$. $\text{nullity}(A)$. Định lý hạng-số vô hiệu: $\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$ (số cột của $A$). 4.7 Thay đổi cơ sở Ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$: $P_{B' \leftarrow B}$. $[v]_{B'} = P_{B' \leftarrow B} [v]_B$. $P_{B' \leftarrow B} = [ [b_1]_{B'} \ [b_2]_{B'} \ \dots \ [b_n]_{B'} ]$. $P_{B \leftarrow B'} = (P_{B' \leftarrow B})^{-1}$. 5. Tích vô hướng và không gian Euclid 5.1 Tích vô hướng Định nghĩa: Ánh xạ $\langle u,v \rangle$ từ $V \times V \to \mathbb{R}$ (hoặc $\mathbb{C}$) thỏa mãn các tiên đề. Tích vô hướng chuẩn trên $\mathbb{R}^n$: $u \cdot v = u_1v_1 + \dots + u_nv_n$. 5.2 Chuẩn vector và khoảng cách Chuẩn (độ dài): $\|v\| = \sqrt{\langle v,v \rangle}$. Khoảng cách giữa hai vector: $d(u,v) = \|u-v\|$. 5.3 Trực giao và trực chuẩn Trực giao: $\langle u,v \rangle = 0$. Trực chuẩn: Tập hợp vector trực giao và có độ dài bằng 1. Quá trình Gram-Schmidt: Chuyển đổi một cơ sở thành cơ sở trực giao/trực chuẩn. 5.4 Phép chiếu trực giao Phép chiếu của $v$ lên $u$: $\text{proj}_u v = \frac{\langle v,u \rangle}{\langle u,u \rangle} u$. Phép chiếu của $v$ lên không gian con $W$: $\text{proj}_W v = \sum_{i=1}^k \text{proj}_{u_i} v$, với $\{u_1, \dots, u_k\}$ là cơ sở trực giao của $W$. 5.5 Phần bù trực giao $W^\perp = \{v \in V \mid \langle v,w \rangle = 0 \text{ với mọi } w \in W\}$. $\text{null}(A) = \text{row}(A)^\perp$. $\text{null}(A^T) = \text{col}(A)^\perp$. 6. Phép biến đổi tuyến tính 6.1 Định nghĩa Ánh xạ $T: V \to W$ là tuyến tính nếu: $T(u+v) = T(u) + T(v)$ $T(cu) = cT(u)$ 6.2 Ma trận của phép biến đổi tuyến tính Nếu $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, tồn tại duy nhất ma trận $A$ sao cho $T(x) = Ax$. $A = [ T(\mathbf{e}_1) \ T(\mathbf{e}_2) \ \dots \ T(\mathbf{e}_n) ]$. Ma trận biểu diễn $T$ theo cơ sở $B$ và $B'$: $[T]_{B',B} = P_{B' \leftarrow C'} [T]_{C',C} P_{C \leftarrow B}$. 6.3 Ảnh và Hạt nhân Hạt nhân (Kernel): $\text{ker}(T) = \{v \in V \mid T(v) = 0_W\}$. Đây là một không gian con của $V$. Ảnh (Image): $\text{im}(T) = \{T(v) \mid v \in V\}$. Đây là một không gian con của $W$. Định lý hạng-số vô hiệu cho phép biến đổi tuyến tính: $\dim(\text{ker}(T)) + \dim(\text{im}(T)) = \dim(V)$. 7. Giá trị riêng và Vector riêng 7.1 Định nghĩa Giá trị riêng (Eigenvalue): Số vô hướng $\lambda$ sao cho tồn tại vector $x \neq 0$ thỏa mãn $Ax = \lambda x$. Vector riêng (Eigenvector): Vector $x \neq 0$ tương ứng với giá trị riêng $\lambda$. 7.2 Tìm giá trị riêng và vector riêng Phương trình đặc trưng: $\det(A - \lambda I) = 0$. Nghiệm của phương trình này là các giá trị riêng. Để tìm vector riêng cho $\lambda$: Giải hệ phương trình $(A - \lambda I)x = 0$. Không gian riêng (Eigenspace): $\text{null}(A - \lambda I)$, tập hợp tất cả các vector riêng tương ứng với $\lambda$ cùng với vector không. 7.3 Chéo hóa ma trận Ma trận $A$ có thể chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả nghịch $P$ và ma trận đường chéo $D$ sao cho $A = PDP^{-1}$. $D$ chứa các giá trị riêng trên đường chéo chính. $P$ chứa các vector riêng tương ứng làm các cột. Điều kiện chéo hóa: $A$ có $n$ vector riêng độc lập tuyến tính (khi $A$ là ma trận $n \times n$). 7.4 Chéo hóa trực giao (cho ma trận đối xứng) Nếu $A$ là ma trận đối xứng ($A=A^T$), thì $A$ luôn có thể chéo hóa trực giao. $A = PDP^T$, với $P$ là ma trận trực giao ($P^{-1}=P^T$) và $D$ là ma trận đường chéo. Các vector riêng của ma trận đối xứng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau thì trực giao với nhau. 8. Dạng Quadratic 8.1 Định nghĩa Dạng Quadratic là một đa thức bậc hai có dạng $Q(x) = x^T A x$, với $A$ là ma trận đối xứng. 8.2 Thay đổi biến số Sử dụng phép chéo hóa trực giao $A = PDP^T$ ta có thể viết $Q(x)$ thành dạng không có tích chéo. Đặt $x = Py$, thì $Q(x) = (Py)^T A (Py) = y^T P^T A P y = y^T D y$. $D$ là ma trận đường chéo, nên $y^T D y = \lambda_1 y_1^2 + \dots + \lambda_n y_n^2$. 8.3 Phân loại Dạng Quadratic Xác định dương: Tất cả $\lambda_i > 0$. Xác định âm: Tất cả $\lambda_i Nửa xác định dương: Tất cả $\lambda_i \ge 0$ và có ít nhất một $\lambda_i = 0$. Nửa xác định âm: Tất cả $\lambda_i \le 0$ và có ít nhất một $\lambda_i = 0$. Không xác định: Có cả $\lambda_i > 0$ và $\lambda_j