Định thức con (minor) $M_{ij}$ và phần bù đại số (cofactor) $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$.

Khai triển Laplace: $\det(A) = \sum_j a_{ij}C_{ij}$ (khai triển theo hàng $i$) hoặc $\sum_i a_{ij}C_{ij}$ (khai triển theo cột $j$).

Vô nghiệm (inconsistent): Hàng dạng $[0 \ 0 \ \dots \ 0 \ | \ k]$ với $k \neq 0$.
Nghiệm duy nhất.
Vô số nghiệm.

Tập hợp $V$ cùng với phép cộng vector và phép nhân với số vô hướng, thỏa mãn 10 tiên đề.
Ví dụ: $\mathbb{R}^n$, không gian đa thức $P_n$, không gian ma trận $M_{m \times n}$.

Một tập con $W$ của $V$ là không gian con nếu $W$ đóng với phép cộng vector và phép nhân với số vô hướng (chứa vector không).

Tổ hợp tuyến tính: $c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_kv_k$.
Bao tuyến tính (Span): Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của một tập vector $\{v_1, \dots, v_k\}$. Ký hiệu $\text{span}\{v_1, \dots, v_k\}$.

Độc lập tuyến tính: Phương trình $c_1v_1 + \dots + c_kv_k = 0$ chỉ có nghiệm duy nhất $c_1=\dots=c_k=0$.
Phụ thuộc tuyến tính: Có ít nhất một $c_i \neq 0$.

Cơ sở: Một tập hợp các vector độc lập tuyến tính mà bao trùm toàn bộ không gian vector.
Số chiều (Dimension): Số lượng vector trong một cơ sở của không gian vector. Ký hiệu $\dim(V)$.
Cơ sở chính tắc: $\{\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n\}$ cho $\mathbb{R}^n$.

Không gian hàng: Bao tuyến tính của các vector hàng của ma trận $A$. $\text{row}(A)$.
Không gian cột: Bao tuyến tính của các vector cột của ma trận $A$. $\text{col}(A)$.
Không gian rỗng (Null space): Tập hợp các vector $x$ sao cho $Ax=0$. $\text{null}(A)$.
Hạng (Rank): Số chiều của không gian hàng (hoặc cột) của $A$. $\text{rank}(A)$.
Số vô hiệu (Nullity): Số chiều của không gian rỗng của $A$. $\text{nullity}(A)$.
Định lý hạng-số vô hiệu: $\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$ (số cột của $A$).

Ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$: $P_{B' \leftarrow B}$.
- $[v]_{B'} = P_{B' \leftarrow B} [v]_B$.
- $P_{B' \leftarrow B} = [ [b_1]_{B'} \ [b_2]_{B'} \ \dots \ [b_n]_{B'} ]$.
- $P_{B \leftarrow B'} = (P_{B' \leftarrow B})^{-1}$.