Plan: Derivadas e Integrales

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### Introducción: Tu Guía de Cálculo ¡Bienvenido/a a tu mini-libro de Cálculo! Este recurso está diseñado para complementarte en tu viaje por las derivadas y las integrales. Aquí encontrarás: * **Conceptos Clave:** Explicaciones concisas de los temas. * **Ejemplos Resueltos:** Para entender la aplicación de las reglas. * **Ejercicios Propuestos:** Para que practiques y afiances tus conocimientos. * **Soluciones:** Para que puedas verificar tu progreso. **¿Cómo usarlo?** 1. **Lectura:** Lee la sección de teoría y ejemplos. 2. **Práctica:** Intenta resolver los ejercicios propuestos por tu cuenta. 3. **Verificación:** Compara tus respuestas con las soluciones. Si te equivocas, revisa el proceso. ¡Mucha suerte en tu estudio! ### Bloque 1: Fundamentos de Derivadas #### 1.1 ¿Qué es una Derivada? La derivada mide la **tasa de cambio instantánea** de una función. Geométricamente, representa la **pendiente de la recta tangente** a la curva en un punto dado. **Fórmula de la Definición:** $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ #### 1.2 Reglas Básicas de Derivación | Regla | Fórmula | Ejemplo | | :--------------------- | :---------------------------------------------- | :------------------------------------------------- | | Constante | $\frac{d}{dx}(c) = 0$ | $\frac{d}{dx}(5) = 0$ | | Potencia | $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ | $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$ | | Múltiplo Constante | $\frac{d}{dx}(cf(x)) = c f'(x)$ | $\frac{d}{dx}(4x^2) = 4(2x) = 8x$ | | Suma/Resta | $\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$ | $\frac{d}{dx}(x^2 + 7x) = 2x + 7$ | **Ejemplo Resuelto:** Deriva $y = 3x^4 - 2x + 8$. $y' = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(8)$ $y' = 3(4x^{4-1}) - 2(1x^{1-1}) + 0$ $y' = 12x^3 - 2$ **Ejercicios Propuestos 1.2:** 1. Deriva $f(x) = 7x^5 - \frac{1}{2}x^2 + 10$. 2. Deriva $g(x) = \sqrt{x} - \frac{3}{x} + \pi$. (Pista: Re-escribe como potencias) 3. Calcula la pendiente de la tangente a $y = x^2 - 4x$ en $x=3$. #### 1.3 Reglas del Producto, Cociente y Cadena **Regla del Producto:** Si $y = f(x)g(x)$, entonces $y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$. **Ejemplo Resuelto (Producto):** Deriva $y = (x^2 + 1)(3x - 2)$. Sea $f(x) = x^2+1 \Rightarrow f'(x) = 2x$ Sea $g(x) = 3x-2 \Rightarrow g'(x) = 3$ $y' = (2x)(3x-2) + (x^2+1)(3)$ $y' = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3$ $y' = 9x^2 - 4x + 3$ **Regla del Cociente:** Si $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, entonces $y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$. **Ejemplo Resuelto (Cociente):** Deriva $y = \frac{x^2}{x+1}$. Sea $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$ Sea $g(x) = x+1 \Rightarrow g'(x) = 1$ $y' = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2}$ $y' = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2}$ $y' = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$ **Regla de la Cadena:** Si $y = f(g(x))$, entonces $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. (Derivada de "afuera" por derivada de "adentro") **Ejemplo Resuelto (Cadena):** Deriva $y = (2x^3 - 5)^4$. Función "afuera": $u^4 \Rightarrow \text{derivada es } 4u^3$ Función "adentro": $2x^3 - 5 \Rightarrow \text{derivada es } 6x^2$ Sustituyendo $u = (2x^3 - 5)$: $y' = 4(2x^3 - 5)^3 \cdot (6x^2)$ $y' = 24x^2(2x^3 - 5)^3$ **Ejercicios Propuestos 1.3:** 4. Deriva $h(x) = (x^3 - 2x)(4x^2 + 5)$. 5. Deriva $k(x) = \frac{e^x}{x^2+1}$. 6. Deriva $p(x) = \sqrt{x^2 + 3x}$. (Pista: Re-escribe como potencia con exponente fraccionario) 7. Deriva $q(x) = \frac{1}{(5x-2)^3}$. #### 1.4 Derivadas de Funciones Trascedentales | Función | Derivada | | :------------- | :------------------------------------- | | $\sin x$ | $\cos x$ | | $\cos x$ | $-\sin x$ | | $\tan x$ | $\sec^2 x$ | | $\cot x$ | $-\csc^2 x$ | | $\sec x$ | $\sec x \tan x$ | | $\csc x$ | $-\csc x \cot x$ | | $e^x$ | $e^x$ | | $a^x$ | $a^x \ln a$ | | $\ln x$ | $\frac{1}{x} \quad (x > 0)$ | | $\log_a x$ | $\frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0)$ | **Ejemplo Resuelto:** Deriva $y = \sin(x^2) + e^{3x} - \ln(x+1)$. * Para $\sin(x^2)$: Con regla de la cadena, $\cos(x^2) \cdot (2x) = 2x \cos(x^2)$. * Para $e^{3x}$: Con regla de la cadena, $e^{3x} \cdot (3) = 3e^{3x}$. * Para $\ln(x+1)$: Con regla de la cadena, $\frac{1}{x+1} \cdot (1) = \frac{1}{x+1}$ $y' = 2x \cos(x^2) + 3e^{3x} - \frac{1}{x+1}$ **Ejercicios Propuestos 1.4:** 8. Deriva $f(x) = \cos(4x^2)$. 9. Deriva $g(x) = e^{-x} \tan(x)$. 10. Deriva $h(x) = \ln(\sin x)$. 11. Deriva $k(x) = \frac{\sec x}{e^{2x}}$. ### Soluciones: Bloque 1 **Ejercicios Propuestos 1.2:** 1. $f'(x) = 35x^4 - x$ 2. $g(x) = x^{1/2} - 3x^{-1} + \pi \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 3x^{-2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{3}{x^2}$ 3. $y' = 2x - 4$. En $x=3$, $y'(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$. **Ejercicios Propuestos 1.3:** 4. $h'(x) = (3x^2 - 2)(4x^2 + 5) + (x^3 - 2x)(8x) = 12x^4 + 15x^2 - 8x^2 - 10 + 8x^4 - 16x^2 = 20x^4 - 9x^2 - 10$ 5. $k'(x) = \frac{e^x(x^2+1) - e^x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2} = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$ 6. $p(x) = (x^2+3x)^{1/2} \Rightarrow p'(x) = \frac{1}{2}(x^2+3x)^{-1/2}(2x+3) = \frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x}}$ 7. $q(x) = (5x-2)^{-3} \Rightarrow q'(x) = -3(5x-2)^{-4}(5) = -\frac{15}{(5x-2)^4}$ **Ejercicios Propuestos 1.4:** 8. $f'(x) = -\sin(4x^2) \cdot (8x) = -8x \sin(4x^2)$ 9. $g'(x) = (-e^{-x})\tan x + e^{-x}(\sec^2 x) = e^{-x}(\sec^2 x - \tan x)$ 10. $h'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot (\cos x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ 11. $k'(x) = \frac{(\sec x \tan x)e^{2x} - (\sec x)(2e^{2x})}{(e^{2x})^2} = \frac{e^{2x}\sec x (\tan x - 2)}{(e^{2x})^2} = \frac{\sec x (\tan x - 2)}{e^{2x}}$ ### Bloque 2: Técnicas Avanzadas de Derivadas #### 2.1 Derivación Implícita Se usa cuando $y$ no se puede despejar fácilmente en términos de $x$. Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$, recordando aplicar la regla de la cadena para los términos que contienen $y$ (es decir, cada vez que derivamos un término con $y$, multiplicamos por $y'$ o $\frac{dy}{dx}$). **Ejemplo Resuelto:** Encuentra $\frac{dy}{dx}$ para $x^2 + y^2 = 25$. Derivamos ambos lados con respecto a $x$: $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$ $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ Despejamos $\frac{dy}{dx}$: $2y \frac{dy}{dx} = -2x$ $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$ **Ejercicios Propuestos 2.1:** 12. Encuentra $\frac{dy}{dx}$ para $xy + y^2 = x^3 - 3$. 13. Encuentra $\frac{dy}{dx}$ para $\sin(x+y) = y^2$. #### 2.2 Aplicaciones de las Derivadas: Optimización Las derivadas nos permiten encontrar máximos y mínimos (valores extremos) de una función, lo cual es fundamental en problemas de optimización. * **Puntos Críticos:** Donde $f'(x) = 0$ o $f'(x)$ no está definida. * **Criterio de la Primera Derivada:** Si $f'(x)$ cambia de signo de positivo a negativo, hay un máximo local. Si cambia de negativo a positivo, hay un mínimo local. * **Criterio de la Segunda Derivada:** Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) > 0$, hay un mínimo local en $c$. Si $f''(c) 0 \Rightarrow$ Mínimo local en $x=2$. $f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$. **Ejercicios Propuestos 2.2:** 14. Un agricultor tiene 120 metros de cerca para delimitar un corral rectangular adyacente a un río (no necesita cerca en el lado del río). ¿Cuáles son las dimensiones del corral que maximizan el área? 15. Encuentra los máximos y mínimos locales de $f(x) = x^4 - 4x^3$. #### 2.3 Regla de L'Hôpital Permite evaluar límites de formas indeterminadas como $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ derivando el numerador y el denominador por separado. **Regla:** Si $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ es de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último límite exista. **Ejemplo Resuelto:** Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$. Cuando $x \to 0$, $\sin x \to 0$ y $x \to 0$. Es una forma $\frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos 0}{1} = \frac{1}{1} = 1$. **Ejercicios Propuestos 2.3:** 16. Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$. 17. Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$. ### Soluciones: Bloque 2 **Ejercicios Propuestos 2.1:** 12. Derivamos implicitamente: $\frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3)$ $(1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx}) + (2y \frac{dy}{dx}) = 3x^2 - 0$ $y + x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = 3x^2$ $\frac{dy}{dx}(x+2y) = 3x^2 - y$ $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - y}{x+2y}$ 13. Derivamos implicitamente: $\frac{d}{dx}(\sin(x+y)) = \frac{d}{dx}(y^2)$ $\cos(x+y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = 2y \frac{dy}{dx}$ $\cos(x+y) + \cos(x+y)\frac{dy}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$ $\cos(x+y) = 2y\frac{dy}{dx} - \cos(x+y)\frac{dy}{dx}$ $\cos(x+y) = \frac{dy}{dx}(2y - \cos(x+y))$ $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x+y)}{2y - \cos(x+y)}$ **Ejercicios Propuestos 2.2:** 14. Sean las dimensiones del corral $x$ (lado paralelo al río) y $y$ (lados perpendiculares al río). * Perímetro: $x + 2y = 120 \Rightarrow x = 120 - 2y$. * Área: $A = xy$. Sustituyendo $x$: $A(y) = (120 - 2y)y = 120y - 2y^2$. * Para maximizar, derivamos $A(y)$: $A'(y) = 120 - 4y$. * Igualamos a cero para encontrar el punto crítico: $120 - 4y = 0 \Rightarrow 4y = 120 \Rightarrow y = 30$ metros. * Si $y=30$, entonces $x = 120 - 2(30) = 120 - 60 = 60$ metros. * Para confirmar que es un máximo, $A''(y) = -4 0 \Rightarrow$ Mínimo local en $x=3$. $f(3) = 3^4 - 4(3^3) = 81 - 4(27) = 81 - 108 = -27$. * Mínimo local en $(3, -27)$. No hay máximos locales. **Ejercicios Propuestos 2.3:** 16. Es de la forma $\frac{\infty}{\infty}$ cuando $x \to \infty$. $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. 17. Es de la forma $\frac{0}{0}$ cuando $x \to 0$. $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1$. ### Bloque 3: Fundamentos de Integrales #### 3.1 ¿Qué es una Integral? Así como la derivación es encontrar la pendiente de la tangente, la **integración** es encontrar el **área bajo la curva** de una función. Es la operación inversa de la derivación (antiderivada o primitiva). **Integral Indefinida:** $\int f(x) dx = F(x) + C$, donde $F'(x) = f(x)$ y $C$ es la constante de integración. **Integral Definida:** $\int_a^b f(x) dx$ representa el área neta entre $f(x)$ y el eje $x$ desde $a$ hasta $b$. #### 3.2 Integrales Indefinidas Básicas | Regla | Fórmula | Ejemplo | | :--------------------- | :---------------------------- | :---------------------------------------- | | Potencia (n $\ne -1$) | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$ | | Logaritmo (n = -1) | $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ | $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ | | Exponencial | $\int e^x dx = e^x + C$ | $\int e^x dx = e^x + C$ | | Exponencial General | $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ | $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$ | | Seno | $\int \sin x dx = -\cos x + C$ | $\int \sin x dx = -\cos x + C$ | | Coseno | $\int \cos x dx = \sin x + C$ | $\int \cos x dx = \sin x + C$ | **Ejemplo Resuelto:** Integra $\int (4x^3 - \sec^2 x + \frac{1}{x}) dx$. $\int 4x^3 dx - \int \sec^2 x dx + \int \frac{1}{x} dx$ $4 \frac{x^{3+1}}{3+1} - \tan x + \ln|x| + C$ $4 \frac{x^4}{4} - \tan x + \ln|x| + C$ $x^4 - \tan x + \ln|x| + C$ **Ejercicios Propuestos 3.2:** 18. Calcula $\int (6x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3e^x) dx$. 19. Calcula $\int (5^x - \frac{1}{\cos^2 x}) dx$. (Pista: $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$) #### 3.3 El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) Relaciona la derivación y la integración. **TFC Parte 2:** Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $F$ es cualquier antiderivada de $f$ en $[a, b]$, entonces: $$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$ **Ejemplo Resuelto:** Calcula $\int_1^2 (x^2 + 1) dx$. 1. Encontrar la antiderivada $F(x)$: $\int (x^2+1) dx = \frac{x^3}{3} + x + C$. Elegimos $C=0$. $F(x) = \frac{x^3}{3} + x$. 2. Evaluar en los límites: $F(2) - F(1)$. $F(2) = \frac{2^3}{3} + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3}$. $F(1) = \frac{1^3}{3} + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3}$. 3. Restar: $\frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$. **Ejercicios Propuestos 3.3:** 20. Calcula $\int_0^3 (x^3 - 4x) dx$. 21. Calcula $\int_0^{\pi/2} (\cos x + \sin x) dx$. #### 3.4 Técnica de Integración: Sustitución (Cambio de Variable) Es la "inversa" de la regla de la cadena. Buscamos una función $u$ dentro del integrando tal que su derivada $du$ también aparezca (o un múltiplo escalar). **Pasos:** 1. Elige $u$. 2. Calcula $du = u' dx$. 3. Reescribe la integral en términos de $u$ y $du$. 4. Integra con respecto a $u$. 5. Sustituye $u$ de nuevo en términos de $x$. **Ejemplo Resuelto:** Calcula $\int x(x^2+1)^5 dx$. 1. Elige $u = x^2+1$. 2. Calcula $du = 2x \, dx$. Esto es casi $x \, dx$. Para que sea exacto, podemos dividir por 2: $\frac{1}{2} du = x \, dx$. 3. Reescribe: $\int (u)^5 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^5 du$. 4. Integra: $\frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{12} + C$. 5. Desustituye: $\frac{(x^2+1)^6}{12} + C$. **Ejercicios Propuestos 3.4:** 22. Calcula $\int (2x+3)^4 dx$. 23. Calcula $\int x \sin(x^2) dx$. 24. Calcula $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$. 25. Calcula $\int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx$. (Recuerda cambiar los límites de integración si haces sustitución en una definida). ### Soluciones: Bloque 3 **Ejercicios Propuestos 3.2:** 18. $\int (6x^2 + 2x^{-1/2} - 3e^x) dx = 6\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^{1/2}}{1/2} - 3e^x + C = 2x^3 + 4\sqrt{x} - 3e^x + C$. 19. $\int (5^x - \sec^2 x) dx = \frac{5^x}{\ln 5} - \tan x + C$. **Ejercicios Propuestos 3.3:** 20. $\int_0^3 (x^3 - 4x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_0^3 = \left( \frac{3^4}{4} - 2(3^2) \right) - \left( \frac{0^4}{4} - 2(0^2) \right) = \left( \frac{81}{4} - 18 \right) - 0 = \frac{81}{4} - \frac{72}{4} = \frac{9}{4}$. 21. $\int_0^{\pi/2} (\cos x + \sin x) dx = \left[ \sin x - \cos x \right]_0^{\pi/2} = (\sin(\pi/2) - \cos(\pi/2)) - (\sin(0) - \cos(0)) = (1 - 0) - (0 - 1) = 1 - (-1) = 2$. **Ejercicios Propuestos 3.4:** 22. Sea $u = 2x+3 \Rightarrow du = 2 dx \Rightarrow dx = \frac{1}{2} du$. $\int u^4 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \frac{u^5}{5} + C = \frac{(2x+3)^5}{10} + C$. 23. Sea $u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} du$. $\int \sin(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} (-\cos u) + C = -\frac{1}{2}\cos(x^2) + C$. 24. Sea $u = \sqrt{x} = x^{1/2} \Rightarrow du = \frac{1}{2}x^{-1/2} dx = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \Rightarrow 2 du = \frac{1}{\sqrt{x}} dx$. $\int e^u \cdot 2 du = 2 \int e^u du = 2e^u + C = 2e^{\sqrt{x}} + C$. 25. Sea $u = x^2+1$. Cuando $x=0$, $u = 0^2+1 = 1$. Cuando $x=1$, $u = 1^2+1 = 2$. $du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} du$. $\int_1^2 \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} [\ln|u|]_1^2 = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2} (\ln 2 - 0) = \frac{1}{2}\ln 2$. ### Bloque 4: Técnicas Avanzadas de Integrales #### 4.1 Integración por Partes Se usa principalmente para integrar productos de funciones, basada en la regla del producto de la derivada: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Para elegir $u$ y $dv$, se suele usar la mnemotecnia **ILATE** (Inversa, Logarítmica, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial) para elegir *u* en ese orden de preferencia. **Ejemplo Resuelto:** Calcula $\int x e^x dx$. Elegimos $u=x$ (Algebraica, primero en ILATE) y $dv=e^x dx$. Entonces: $du = dx$ $v = \int e^x dx = e^x$ Aplicando la fórmula: $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx$ $\int x e^x dx = x e^x - e^x + C$ **Ejercicios Propuestos 4.1:** 26. Calcula $\int x \sin x dx$. 27. Calcula $\int \ln x dx$. (Pista: Haz $u = \ln x$ y $dv = dx$). #### 4.2 Integración de Funciones Trigonométricas Requiere el uso de identidades trigonométricas. Algunos casos comunes: * **$\int \sin^m x \cos^n x dx$**: * Si $n$ es impar, guarda un $\cos x$ y convierte los demás a $\sin x$ usando $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Luego haz $u = \sin x$. * Si $m$ es impar, guarda un $\sin x$ y convierte los demás a $\cos x$ usando $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Luego haz $u = \cos x$. * Si ambos son pares, usa identidades de medio ángulo: $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$, $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$. * **$\int \tan^m x \sec^n x dx$**: * Si $n$ es par y $n \ge 2$, guarda $\sec^2 x$ y convierte las demás $\sec^2 x$ a $\tan^2 x+1$. Sea $u = \tan x$. * Si $m$ es impar y $m \ge 1$, guarda $\sec x \tan x$ y convierte las demás $\tan^2 x$ a $\sec^2 x-1$. Sea $u = \sec x$. **Ejemplo Resuelto:** Calcula $\int \sin^3 x dx$. Aquí $m=3$ (impar). Guardamos un $\sin x$: $\int \sin^2 x \sin x dx$ Convertimos $\sin^2 x$ a $1 - \cos^2 x$: $\int (1 - \cos^2 x) \sin x dx$ Sea $u = \cos x \Rightarrow du = -\sin x dx \Rightarrow \sin x dx = -du$. $\int (1 - u^2) (-du) = \int (u^2 - 1) du$ $= \frac{u^3}{3} - u + C$ Sustituimos $u = \cos x$: $= \frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$ **Ejercicios Propuestos 4.2:** 28. Calcula $\int \sin^2 x \cos^3 x dx$. 29. Calcula $\int \tan^3 x \sec^2 x dx$. #### 4.3 Fracciones Parciales Se utiliza para integrar funciones racionales $\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde el grado de $P(x)$ es menor que el de $Q(x)$. Si no es así, primero divide polinomialmente. Se descompone la fracción en sumas de fracciones más simples. **Casos Básicos de Descomposición:** 1. **Factores lineales distintos:** $\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{cx+d}$ 2. **Factores lineales repetidos:** $\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \dots$ 3. **Factores cuadráticos irreducibles:** $\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$ **Ejemplo Resuelto:** Calcula $\int \frac{1}{x^2+x} dx$. Primero, factorizamos el denominador: $x^2+x = x(x+1)$. Descomponemos en fracciones parciales: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$ Multiplicamos por $x(x+1)$: $1 = A(x+1) + Bx$ * Si $x=0$: $1 = A(0+1) + B(0) \Rightarrow A=1$. * Si $x=-1$: $1 = A(-1+1) + B(-1) \Rightarrow 1 = -B \Rightarrow B=-1$. Entonces: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$. Ahora integramos: $\int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$ $= \ln|x| - \ln|x+1| + C = \ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + C$. **Ejercicios Propuestos 4.3:** 30. Calcula $\int \frac{5x-2}{x^2-x-2} dx$. 31. Calcula $\int \frac{x+2}{x^2(x-1)} dx$. #### 4.4 Aplicaciones de Integrales: Área y Volumen Las integrales definidas son herramientas poderosas para calcular cantidades geométricas. * **Área entre curvas:** $\int_a^b (f(x) - g(x)) dx$, donde $f(x) \ge g(x)$ en $[a, b]$. * **Volumen de Sólidos de Revolución (Método de Discos/Arandelas):** Si rotamos $y=f(x)$ alrededor del eje x entre $x=a$ y $x=b$, el volumen es $V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx$. (Discos) Si hay un agujero (arandelas): $V = \int_a^b \pi ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) dx$. * **Volumen de Sólidos de Revolución (Método de Capas Cilíndricas):** Si rotamos $y=f(x)$ alrededor del eje y entre $x=a$ y $x=b$, el volumen es $V = \int_a^b 2\pi x f(x) dx$. **Ejemplo Resuelto (Área):** Encuentra el área entre $y = x^2$ y $y = x+2$. 1. Encuentra los puntos de intersección: $x^2 = x+2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0$. Intersecciones en $x=-1$ y $x=2$. 2. Determina qué función es "superior": En el intervalo $[-1, 2]$, elige $x=0$. $x+2 = 2$ y $x^2 = 0$. $y=x+2$ está por encima. 3. Integra la diferencia: Área $= \int_{-1}^2 ((x+2) - x^2) dx = \int_{-1}^2 (-x^2 + x + 2) dx$ $= \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^2$ $= \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right)$ $= \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$ $= \left( -\frac{8}{3} + \frac{18}{3} \right) - \left( \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} \right)$ $= \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$. **Ejercicios Propuestos 4.4:** 32. Encuentra el área de la región acotada por $y=x^3$, $y=0$, $x=-1$ y $x=1$. 33. Calcula el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por $y=\sqrt{x}$, el eje $x$ y la línea $x=4$ alrededor del eje $x$. 34. Calcula el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por $y=x-x^2$ y el eje $x$ alrededor del eje $y$. (Usa capas cilíndricas). ### Soluciones: Bloque 4 **Ejercicios Propuestos 4.1:** 26. Sea $u=x$, $dv=\sin x dx$. Entonces $du=dx$, $v=-\cos x$. $\int x \sin x dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) dx = -x\cos x + \int \cos x dx = -x\cos x + \sin x + C$. 27. Sea $u=\ln x$, $dv=dx$. Entonces $du=\frac{1}{x}dx$, $v=x$. $\int \ln x dx = (\ln x)(x) - \int x \frac{1}{x} dx = x\ln x - \int 1 dx = x\ln x - x + C$. **Ejercicios Propuestos 4.2:** 28. $\int \sin^2 x \cos^3 x dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \cos x dx$ $= \int \sin^2 x (1 - \sin^2 x) \cos x dx$. Sea $u = \sin x \Rightarrow du = \cos x dx$. $= \int u^2 (1 - u^2) du = \int (u^2 - u^4) du = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$. 29. $\int \tan^3 x \sec^2 x dx$. Sea $u = \tan x \Rightarrow du = \sec^2 x dx$. $= \int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\tan^4 x}{4} + C$. **Ejercicios Propuestos 4.3:** 30. $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$. $\frac{5x-2}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$. $5x-2 = A(x+1) + B(x-2)$. Si $x=2$: $5(2)-2 = A(2+1) + B(0) \Rightarrow 8 = 3A \Rightarrow A = 8/3$. Si $x=-1$: $5(-1)-2 = A(0) + B(-1-2) \Rightarrow -7 = -3B \Rightarrow B = 7/3$. $\int \left(\frac{8/3}{x-2} + \frac{7/3}{x+1}\right) dx = \frac{8}{3}\ln|x-2| + \frac{7}{3}\ln|x+1| + C$. 31. $\frac{x+2}{x^2(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x-1}$. $x+2 = Ax(x-1) + B(x-1) + Cx^2$. Si $x=0$: $2 = B(-1) \Rightarrow B = -2$. Si $x=1$: $3 = C(1)^2 \Rightarrow C = 3$. Si $x=2$: $4 = A(2)(1) + B(1) + C(4) \Rightarrow 4 = 2A - 2 + 12 \Rightarrow 4 = 2A + 10 \Rightarrow -6 = 2A \Rightarrow A = -3$. $\int \left(-\frac{3}{x} - \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x-1}\right) dx = -3\ln|x| + \frac{2}{x} + 3\ln|x-1| + C$. **Ejercicios Propuestos 4.4:** 32. La función $y=x^3$ es impar. Entre $x=-1$ y $x=0$ está debajo del eje $x$ (área negativa), y entre $x=0$ y $x=1$ está por encima (área positiva). Para el área total, debemos tomar el valor absoluto. Área $= \int_{-1}^1 |x^3| dx = \int_{-1}^0 (-x^3) dx + \int_0^1 x^3 dx$ $= \left[ -\frac{x^4}{4} \right]_{-1}^0 + \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1$ $= \left( 0 - (-\frac{1}{4}) \right) + \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. 33. Método de Discos. $R(x) = \sqrt{x}$. $V = \int_0^4 \pi (\sqrt{x})^2 dx = \int_0^4 \pi x dx$ $= \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$. 34. Método de Capas Cilíndricas. La región está entre $x=0$ y $x=1$ ($x-x^2 = x(1-x) = 0 \Rightarrow x=0, x=1$). Rotamos alrededor del eje y. El radio es $x$, la altura es $f(x) = x-x^2$. $V = \int_0^1 2\pi x (x-x^2) dx = 2\pi \int_0^1 (x^2-x^3) dx$ $= 2\pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 2\pi \left( \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{4} \right) - \left( 0 - 0 \right) \right)$ $= 2\pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{4-3}{12} \right) = 2\pi \left( \frac{1}{12} \right) = \frac{\pi}{6}$. ### Recursos Adicionales * **Libros de referencia:** * *Cálculo de Una Variable* por James Stewart * *Cálculo* por George B. Thomas * *Cálculo Diferencial e Integral* por N. Piskunov * **Plataformas de Ejercicios Online:** * **Khan Academy:** Ofrece lecciones en video y ejercicios interactivos para casi todos los temas de cálculo. * **WolfrAm Alpha:** Excelente para verificar resultados de derivadas e integrales (solo ingresa la expresión y pide "Differentiate" o "Integrate"). * **Canales de YouTube:** * **JulioProfe:** Explicaciones claras en español de muchos temas de cálculo. * **3Blue1Brown:** Visualizaciones intuitivas de conceptos de cálculo que profundizan la comprensión. * **Foros y Comunidades:** * Participa en foros de matemáticas online para hacer preguntas y ayudar a otros. **Consejos para el Estudio:** * **Práctica Diaria:** La clave del cálculo. Resuelve tantos ejercicios como puedas. * **Entiende el "Por Qué":** No solo memorices fórmulas, trata de entender el concepto detrás de cada regla. * **No te rindas:** Los temas avanzados pueden ser desafiantes, pero la perseverancia es crucial. * **Revisa tus Fundamentos:** Si te estancas, es probable que haya alguna brecha en los conceptos básicos. Revísalos. --- ¡Felicidades por completar tu mini-libro de Cálculo! ### Cómo Descargar y Usar este Mini-libro Para descargar y usar este mini-libro, puedes seguir estos pasos, dependiendo de tu dispositivo y preferencias: 1. **Copiar y Pegar en un Editor de Texto:** * Simplemente copia todo el texto del cheatsheet que te he generado. * Pégalo en un editor de texto (como Notepad en Windows, TextEdit en Mac, o cualquier editor de código como VS Code). * **Guárdalo como un archivo `.md` (Markdown):** Esto conserva el formato para una fácil lectura o conversión posterior. * Para una mejor visualización, puedes abrir este archivo `.md` con un visor de Markdown (muchos editores de texto tienen vista previa), o convertirlo a PDF. 2. **Convertir a PDF (Online):** * Copia todo el texto del cheatsheet. * Dirígete a un conversor online de Markdown a PDF (busca "Markdown to PDF converter" en tu navegador). Algunas opciones populares son: * HackMD * Dillinger * StackEdit * Pega el texto en la ventana de entrada del conversor. * Usa la opción de "Exportar" o "Descargar" como PDF. Este método te dará un documento formateado y listo para imprimir. 3. **Usar una Aplicación o Extensión (más avanzado):** * Si usas un editor de código como **VS Code**, puedes instalar extensiones de Markdown (por ejemplo, "Markdown Preview Enhanced"). Pega el texto y la extensión te mostrará una vista previa con el formato aplicado. Desde ahí, muchos permiten guardar como PDF o HTML. * Hay aplicaciones de toma de notas compatibles con Markdown (como Joplin, Obsidian, Typora) donde puedes pegar el contenido para organizarlo y visualizarlo. **Consideraciones importantes al descargar:** * **Matemáticas (KaTeX):** Las fórmulas matemáticas están escritas en sintaxis KaTeX ($$...$$ para ecuaciones en línea y $...$ para bloques). Cuando lo pegues en un conversor de Markdown o visor, asegúrate de que soporta KaTeX para que las ecuaciones se rendericen correctamente y no aparezcan solo como texto. La mayoría de los conversores de Markdown modernos lo hacen. * **Formato de Títulos:** Conserva los `# Bloque 1: Fundamentos de Derivadas` y las tablas para mantener la estructura. ¡Espero que esto te sea de gran utilidad para tus estudios!